Elementa conica Apollonii Paergei et Archimedis Opera noua & breuiori methodo demonstrata a Ioanne Alphonso Borellio

151쪽

Iuni & pariter BE per-Iariter secise Iv.f. hypothenusam AC. Ergo ut e CAAD i ad AF ita est qua-tum C A ad qua tum AB,seu ut qua-tum CB ad qua tum BE ob simlitudinem triangu lorum; ) suntque d circuli ut quata radioruli ; ergo circulus radio CB ad circulum radio BE est ut CA ad AE: estque o superficies curua portionis sphaerae BCF aequalis cir- culo radij CB, ergo ut DR ad Hotta est superficies curua BCF ad circulum diametri, BF . Quare productum ab estremis scilicet silmina . vel differentia conorum DBF ,. & ΗBF, vel romboides DB HE aequalis est producto ex intei medi)s, sese liceis sectori iliserae BCFH. & ab Iato in prima lagura,& addito in se cunda,communi cono HBF erit conus DBF aequalis portioni sphaerae BCF, quod erat, &c,

Corollari . Hinc deducitur quod quaelibet portio sphaerae ad conubia, eandem basim & axim er habentem, S se habet, ut radius sphaerae una a

cum me residuae portiouis ad eun- 'dem axim.

ia conus DBF seu es aequali a portio sphaerae BCF ad conum cBF est ut altitudo DE GEc , seu ut is Acum ΑΕ ad AE.

PROPOSITIO X V.

Tab. ID, Fig.

152쪽

3q. Inter rectam lineam AC iaiorem, &BA minorem duas me- ias proportionales reperire . Conueniant illae ad angulos re- ctos in A , & compleatur paxallelograminum ABDC,cui a circumscri-γatur circulus diametro D A, & per

i puncitum D circa asymptotos C A

B describatur hyperbola DF ; &

ducatur e recta DM circulum tangens in D , de recta a IDK secti n ibidem contingens , occurrens asymptotis in I, & Κ ; erunt aquidem ID, & DK aequales inter se , & DC parallela est AK , ergo f IC siv. b. aqualis est CA : pari ratione ΚΒ aequalis erit BA, sed posita fuit CA malox quam AB , ergo in triangulis I AD , & ΚDA basis I A maior ei it , quam AK, & latera ID , DA aequalia sunt, & DA est commune, igitur angulus ADI maior erit an- gulo A D K, qui proinde acutus erit, & propterea grecta linea IK

sectionem contingens in D intra scirculum cadet , & ideo h hyperbola per D punctum inter tangentes KD,&DΜ incedens secat circulum , in alio puncto F praetex D; de eoniungatur recta linea DF , qtiae producta secet asymptotos in pun-r tis G, & Η: ostendendum est re-BH,& GC esse duas medias prs fortionales quaesitas. Quoniam

153쪽

rectangulum A ri B aequale est re angulo DHF eo quod l, eo iei

puncto H extra circulum postq

cirritur duae reetae linea: circuitim ,

secantes: ) simili modo rectangulum AG C aequale est rectangulo F GD igitur duo rectangula AGC& AH B aequalia inter ψ erunt, n IV.i6-is ut GA , ad AIl , ita ei it reci riis , Pr ce B H ad GC , sed ut O GA ad ΑΗ, ita est DB ad , nec non G C ad C D propter aequi li- statutam ipsarum DB, GA,

ad B H eandem propor i in m belli ,q iam B H ad UC, S: eaod ni qitam habet GC,ad CD, hii ad AB, & propterea quatuor ructae linea CA, B H, CG, & BA eruat intinua prost M tionalitate . Quod ei a

154쪽

C esse ut radius DG , una cum GD axe reliquae portionis ad GD, hilicet ut duplum DG aa subdit-

riuin eiusdem DG ; igitur hemis pharium aquale est duplo coni BA Ci cumque idem conus b tertia ' hars sit cylindri AF erit ex aeuuo hemisphaerium ad cylindrum ut duo

PROPOSITIO XVII. Tab. I

Cylindro vel cono da- ω A sphaeram ei aequalem describe

Fiat a cylindrus rectus BD se uialter ipsus A & inter b BC , & bhi..is D duae mediae E & FG in continua prop-ne reperiantur , & altitu Uine F G fiat cylindrus rectus FII lambiens sphaeram S cuius basis dia- meter GH ac ualis sit FG. Qui BC, E, FG, CD , continuae pro-les sunt, ergo ut e lonstitudine est BC ad tertiam pro-lem FG , ita est pomtentia FG sed GH ad CD , & ideo circulus basis GH ad circulum CD, est: reciproce ut altitudo BC , ad F G altitudinem ; & proinde a cylin- dri BD,& FH aequales inter se sunt. est quee cylindex FGH sexquiriter inscriptae Uphaerae S, sicut cylinder . BD sexquialter factus fuit ipsius '. igitur a phara S aqualis es, cylii Ao A . Si vero A fuerit con is facto cr

155쪽

lii adro circa coitum reliqua fiant , ut prius,& idem deducetur. 1PROPOSITIO XVIII ab. IV. 37. Sphaerae superficiem ABCD in data ratione R ad S secare. Fiat a aYis AC ad AE vi R simul cum S ad R : & per E diusto plano BD per-ri ad axim A C , coniun-oantur AB, CB in circulo maximo ABCD. b Quia ut C A ad AE seu vi R & S ad R , ita est potentia C A ad AB seu ι circulus radio AG ad ci culum radio A B descriptum; est- que d circulus radio A C deici iptus aequalis stiperficiei totius sphaerae cum ambo sint quadrupli circuli in ximi ABCD , & a circulus radii AB aequalis est portioni superficiei sphaerae BAD . Ergo ut R cum Sad R, ita est tota si nero superficies

ad superficiem BAD , & diuidendo& in vertendo ut R ad S ita erit sphaerae superficies BAD, ad supς ficiem BCD, quod,&c. PROPOSITIO XIX. Tab. Fig. Datam sphaeram, A Lai

secare ut portiones interse habeant ii rationem datam CD ad DE . Producatur axis ut fiat AF aequa-

Iis dimidio AB, & fiata AF ad AG

tangentem circuli vi CE ad ED, dc sit b AH media prop-lis inter FAης . s. & AG &axe o AF , latere recto

156쪽

. . Archimedis I r

, secans parabolam in L , discatiirque

ducantur paselae reliquo a symptoto

AB . Ostendendum est planum per IMV erectium adaxim AB proble- ma efiicere . Erit a rec-lum LMB

inde e qua-t i LM , seu et aequale rec-lum FM in AG ad quadratiina a GA erit ut qua-tum AB ad quadra- tum BΜ; & ob parabolam Fu, ML, AG continuae pro-les erunt, ideo , ut F M, ad AG ita est qua- dratum LM ad quadratum AG seu qua-tum AB ad qua-tum B M , vel potius ι circulus radii AB ad circu- Ium radij BM est ut FM ad AG; ex quo sequitur quod m conus basi ci culo ex BM, in altitudine FM ςqua. iis sit cono circuli ex AB in As dii.

eto:esst vero conus v ex circulo radii

t AB in axim FA aequalis sphaerae Al OBV , & conus circuli radij AB in 7 AG a qualis fuit mox ostenis cono circuli MB in FM , ergo sphaera AQB ad conum circuli MB in FM se habet . ut FA ad AG seu vi CE

Fiat tandem p ut Fb1 ad M A ita ΟΜ ad MA, permutando FM ad M

157쪽

a semicirculo continue pro-les sunt igitur ν conus circuli MB in FMae-x Vro qualis est cono circuli ex radio Q l

in ΜΟ, huic verooono aequale est segmentum sphaerae B V ; ergo sphaera AQBV ad segmentiim eius B V, se habet ut FA ad AG , vel vi CE ad ED; & diuidendo spharae segmentum A ad segmentum S

est ut CD ad DE, ut inapeia

tum fuerat os . PROPOSITIO XX. Tab. I vij. s. Datis duabus spherae por tionibus ACB & EGF tertiam H

K constituere, quae alteri earum,

similis sit, alteri vero ACU a b r 'Fiat conus a X tioni sphaerae ACB, & conus V EF fiat aequalis partioni sphaerae Ela P ; iis & vi b Va ad EF ita fiat XT ad lineam D, & intere An & D tur duae mediae continuae prop-les HK & I: & super circulum ex dia nietro HK fiat HI K portio sphaerae

ionem HLK aequalem esse portionias. i. ACB. Fiat d conus ZHK aeq portioni ΗΙ Κ, & ideo conus similis erit cono VEF, sicuti portio

158쪽

portioni; quare t VC ad EF, seu kt XI ad D sic ZY ad HL; & pci mutando, illucr - . tendoque , ut ZY ad XT ita erit H

L ad D, cumque Aia , HK, I, D

l cbntinuae proportionales sint, erit e i ΗΚ potentia seu circulus A B ad inculum HK ut NK ad I .

seu ut ZY , ad HK , permutando Z V ad XT erit HR ad D . erdo circu-l ius AB ad circulum HK est ut ZY hi ad XT. unde conus ZHK aequalis critaeono XAB ; proindeque I por-itio sphaerae HLΚ cris aequalis portio ni sphaerae ACB . Quod &c.

it. qn. Datis duabus portioniblis sphaeticis ABC, & DEF tertiam KLM raferire cuius superficies a ualis iit ni pellici i , latus DEF &similis sit superficiei alterius ABC . . In circulis maximis AB, DEF. c6niunctis rectis BC, EF, ut a Bc a triri

ad EF it fiat diameter B H ad LN , descripto circulo, & sphaera I K, & secto b axe N L in R in ra-: tibile I S ad BP , & ducto plano Ki J V perpendiculari ad aesim & L

i Μ: erunt e portiones circulorum 8i

159쪽

& d circuli ab eisdem radijs se qui aequales sunt Imperficiebus portionum aequales sunt interse ; & por,tio sphaerae KLM habet superficiem

KLM aequalem superficiei DEF; similem ipsi ABC . Quod &c. PROPOSITIO XXII. Tab. qt. Ex data sphaera ABCD p r.

tione ni abscindere ABC quae ad in- scripti im conum ABC datam habe- i at rationem RS ad S. sed proportio data maior sexquialtera

debet o

Sic vi R ad S ita fiat raditis ED circuli ABD ad DF; quia EDR ad D fa IV. a B est ut 3 ad a, ergo R, S ad S ma I iorem rationem habet quam EDBlad DB, & diuidendo R ad S , quae fuit ut ED ad DF est in maiori ratione quam ED ad DB , & proinde

DF minor erit diametro DU , Ducatur iam ner F planum Ac per-lare ad axim BD , & fiat coniis BAC , j b hu.ex &-conus b G AC aequalis portioni νε- sphaerae ABC. Quia vi RS ad S, seu ieeau ut EDF ad DF irae est GF ad 4 VI ex seii 4 conus G AC ad conum BAC, le L. i. estque e portio sphaerae ABC aequa ''' lis cono GAC . igitur vi RS , ad ' i ita est portio ABC ad conum dii

BAC . PROPOSITIO XXIII. Tabari

Fig. 42. Portionum sphaericarui

160쪽

non siimilium habentium curuas se perficies BAD, FEΗ aequales, om-D Mium maxima est lis i sphaeriuFEH. Ducantur AB , EF ; & CX fiat aequalis radio CI, & quia superfici. es BAD & FEH sunt aequales, erunt quooue a AB, EF circulorum. radu aequalium eisdem superficiebus sphaericis aequales interse: & sece-

ponuntur aequales , & non similes, i duella circulis maximis erit FE Hsemicirculus & DAB segmentum maius vel minus, & in minori ses mento qua-tum . AB subtendentis tr acutum angulum ad centrum I mi- bus est duplo quadrati radii AI, & e maius quam duplum qua-ti AK, eo quod in tegmento minori circuli ut erv.eaeo diametri minor portio AK ad maio- ro. 17. Diem KC,ita est qua-tu ΑΚ ad qu tu pe laris ΚΒ. ergo recta AB seu ei

t aqualis AR minor est radio AI & maior quam AK; e contra in maiori segmento AR maior est radio AI & minor quam AK . proindeque tam in maiori quam in minori segmento punctum R propinquius est circuli centro I quam ipunctum K. Igitur d rectangulum QR A, maius est rectangulo CXA; sed qua-tum a AB

aequale est rec lo C AK . ergo qua--α,.e tu dratum AR semissis illius aequale ΙΙ. 11.