Elementa conica Apollonii Paergei et Archimedis Opera noua & breuiori methodo demonstrata a Ioanne Alphonso Borellio

171쪽

: Spiralium. ad eius trientem. ergo ex squo se λ,r . GAP ad spirata spatium AF

erit ut ax ad trientem ipsius a f.

Sed prius spirale spatium Ain ad

spirale truncatum fuit ut triens a s ad y. igitur ex aequo sector GAP ad coinpraehensum spirale spatium truncatum se habet ut a x ad y Quod&c. Corollarium. Hinc deducitur quos spatium spirale secundum ad circu lam secundum eandem proportio. nem habet quam 7 ad 1a. Quia si radius primi circuli sit partes qualium radius secundi cir- culi sit ὀ partes,erunt duo sequentes

termini proportionales 1 α & et eritque extremorum y & aq. diffe- rentia et i,& huius triens 7; & diis rentia postremorum 12 2c et erit

a a.

Similiter spatium spirale tertiuna

ad circulum tertium erit Ut I9 ad 27. . positis enim quatuor continue proportionalibus in ratione si ab exquialtera aq, 36. Fq. 8a. erit triens dis. ferentiae extremorum 19. & diffe-

ostremoririn erit a7. Ientia, Et lcirculum quartum erit ut 37 ad G. Nam positis quatuor proportionaliabus in ratione sitbsexquitertia. SI, IO8' aqq. I9a erit triens differentiae

extremorum 37. di differentia postremorum q8. Et

172쪽

Et spatium spirale quintum ad circulum quintum erit ut 61. ad 7s. quia positis quatuor propoletionalius in ratione sub sexqviqitaria I92. asto. 3po. 37S. erit triens differentiae extremorum 6 I, dc dictientia duorum postremorum TF. Et eactem methodo reliqua reperiri possunt. PROPOSITIO VI. Tab. V. Fig. 7. In circulo HEF, cuius diameter EF: applicata G H ei parallela .

tro duci a sit perpendicularis AB ad GH ; & H C tangens circulum H FE, in H . Dico quod quaelibet recta AN ex centro A ducta ad partes

F efficiet segmentum No inter GH , & conuexam peripheriam, quae ad ad arcum circuli OH maiorem rationem habet quam B H ad BA . Quia BH parallela est AC a erunt alterni anguli ΒΗΑ & HAC a quales , & anguli B & AHC sunt rect i. ergo b similia sunt triangula HBA& AH C: & ideo AH ad H C est xt HB ad BA: estque AR maior quam ΑΗ , & RC minor quam HC. Ergo e AR, ad RC, seu d N Rad RH maiorem rationem habet quam AH ad H C, seu quam I B ad BA. Cumque No maior sit, quam NR : & arcus circuli HO sit minor tangente ΗR . Igitur No ad arcum

173쪽

OH maiorem proportionem habet quam NR ad RH : & proinde No ad arcum OH multo maiorem rationem habebit , quam HB ad BACliod &C. PROPOSITIO VIL TA. V. Fig, 8. Iisdena positis: Dico quod quaelibet recta AN R ducta ex centro A ad partes B efficit segmentum No

inter GH-cauam peripheriamo interceptum,quod ad arcum circuli: OH minorem rationem habet quam

Ducatur HS parallela RA , . erit a HS , seu, ei aequalis NA . mira . quam radius A O, seu quam radius

R ad RH, minorem rationem habet quam AH ad ΗC seu e quam B ad BA . Et diteta RV parallela reetae OH' secante NH in V: erit R V d maior quam circulum tangens RH, ob angulum obtusum RH VEt proinde ΝR ad RV ,seu a NO ad Ore minorem rationem habebit quam NR ad RH . Estque a1cus O, Η maior recta subtensa ore. Ergo INO ad arcum OH est in minori ratione quam NO ad rectaHO, ideoq; NO ai arcum Ore est in minori ra- rione . quam NR , ad RH ; Ec fuit NR ad RH in minori ratione quam His ad BA. Igitur multo magis Noad arcum OH minorem proportiornem habebit quam HB ad BA,Qu'd .&c. LEM-

174쪽

E LEMMA. Tab. V. Fig. 9. Si re H eligerit circulum H GE in H , occurrens radio AF in §a tangentis portione HS . Dico oliod alicuius HR a puncto H incidentis intex puncta F & Q, portio ZR aequalis esse potest HS . . Intelligatur tangens Hinransla- ta circa punctum H versus F. P tet quod lineae motae portio ZR i tercepta a peripheria H F & a recta

FQNontinenter minuitur quousqu*F omnino deficiat. ergo in tran-

stu intermedio possibile est ut RT aequalis sit HS & cendat ad Η . PROPOSITIO FIII. Iisdem .positis sarim Si per H extrae circulum inter GHN, & conuexam circuli peripheriam ad partes dia metri EZ ducatur IH , quae circu- in secet in HK. Duci poterit recta linea ad centrum A pertingens , cuius portio inter HI , & periphe iam comprehensa ad peripheriam

interceptam minorem rationem ha-

eat quam HB ad BA . Ducatur AL perpendicularis ad ΚΗ, & ex centro A ducatur Aa parallela ipsi ΚHI . Patet quod H ad IA minorem rationem habet quam ΗΒ ad BA eo quod a sub- m. a.

175쪽

gente circulum in H & occurret

te ipsi AQ. aequidistante L HI, in erit o AH, ad Η , ut HL ad A , ob similitudinem trian ulorura, HLA,& ΑΗ Et fiat &H ad HS ut HB ad BA: & d intelligatur dii cta RZ aequalia HS pertinaeias ad Η; iungaturque AXE , Ostendeta dum est XZ ad arcum Z re minoreii rationem habere quali. ΗΒ ad BA . Quia vi HB ad BA, ita est AH as alHS, seu AZ ad ZM & ὸ XZ ad ZH Et fXZ ad accum ZH minorem rationem habet quam ad rectam ZHi, Ergo XZ ad arcum ZΗ minorem ra- tionem habebit quam BR ad BA

Quod PROPOSITIO IX.

H. Iisdem positis .. Si per H intra circulum inter GH , & centrum ducatur ΚH . Duci poterit recta ad ocentrum pertingens , cuius porti inter HK, de peripheriam circuliadinterceptam ' peripheriam' maiorem rationem habeat quam ΗΒ ad BA . AE

catur tangens QZ circulum in Ziungaturque radius ZA, secans HK in. X . Et quia ut BHab ΗΑ ita est

176쪽

conuersionem rationis in triangu

PROPOSITIO X. Tab. V. Fig. ar. Si in spiraIi ABCDΗ ad radi- um AH ducatur AF pereendicul

ris ex centro circuli HGOR: sitque AF aequalis peripheriae circuli primi in spirali prima , vel reuolutioni radia in extremo circulo factae radio,vel sit aequalis peripheriae se toris circuli descripti a radio ad terminum portionis spiralis ductae; coniungatur recta FH. Dico FH agere spiralem in puncto H. A quolibet puncto N retae FGNextra triangulum H FA sumpto ducatur recta ARN secans circulum

quia in triangulo HAF rectangulo in A, est a angulus AH F acutus cer- a r. iste H F secabit circulum in H, & G , G H. a& HG bissecta in Se iungatiir SAedi haec b erit perpendicularis ad FI G. v II. a. Quare e HS ad SA erit, ut I A ad e IV. AF , ob solitudinum triangulo

177쪽

15α Spirali L . 'rum. Postea d NR ad arcum RHest in maiori ratione quam HS , ad SA , seu quam AH ad AF: permi tando NR ad AH , vel ad AR erit in maiori ratione quam arcus RH ad AF, seu ad ei aequalem circuli peripheriam HOH . Et componendo N A ad AR , vel ad AH erit in m tori ratione quam arcus RHOH ad arcum HOH, seu e quam QA ad II A . Igitur fNA maior est quam in

A. E t ideo punctum N cadat eXtrae spiralem . Similiter a quolibet puncto ii in recta H F sumpto ad partes G ducatur recta Λ n x: eritg n r ad arcumr H in minori ratione quam HS ad SA, seu h quam H A ad AF . Permi tando rer ad HA , seu ad r A in minori ratione erit quam arcus r H ad

AF, seu ad ei aequalem periphaeriam Holl. Et per i conuersionem rationis intiersam H A ad n A minorem rationem habebit quam arcus ΗΟΗ , ad arcum r OH seu i quani HA ad q A. Ergo ista A maior est quam qA. Et ideo ia punctum ca-At extra spiralem proindeque tota recta linea NΗF cadit extra spiralem & ideo eam solummodo tanget in unico puncto H . Dico pusterea quod in spatio a tangente NH , & linata spirati H contento aliqua recta linea , ut est

TXH duci non potest, Quia

178쪽

Arebimedis IsrQuia per H extra circulum RH G , ct infra rectam HN ducta eff

recta HT: ergo u duci potest recta X A ad centrum pertingens secans Circulum in Z, & spiralem in V , ita ut XZ ad arcum ZH minoren , rationem habeat , quam HS ad SA, seu o quam HA ad AF, seu ad ei qualem peripheriam H OII. Et permutando , componendoque XA ad ZAci seu ad ΗA minorem rationem habebit quam arcus ZHOII ad aris . cum H OH, seu p quam VA ad ean. dem HA; & proinde q XA minor exit quam VA. Quare punctum X in recta TXH existens cadit infra is punctum spiratis V versus centrum; de ideo spiralem secare debuit recta TXH. Simili modo per propositionen is huius ostendetur quod inter tan- gentem I F, & spiralem ΗD ad partes concursus F , nulla recta li- nea ad punctum contactus H duci potest, quin spiralem .ipsam secet.

179쪽

ARCHIMEDIS

Vae demonstrantur in egregio libro Archimedis de conoibus non sine difficultate , & dii turno studio se inuehisse fatetur ipsemet Archimedes in epistola ad Dositheum . haec quoque theoremata diuersa methodo . longe faciliori puto me demonstrasse.

DEFINITIONES

Si parabola, hyperbola, aut eI, Iipsis rectet manente axe circunducatur , quousque redeat in locum a quo discesserat . Vocabo solidum serutum comidam paria cum quod a parabola gignitur. Hiper ipso Oida , quod ab hyperbola. Et

Apharai am quod ab Ellipsi produci-

tur . .

Et uniuscuiusque νινιεκ erit idem putatiuin supremittat axis figurae geonitriciS Bases vero erit circulus genitus a

reuolutione basis sectionis conicae genitricis erectae ad axim . Duo

180쪽

Duo conoides , aut duo sphaeroi- IV.

des sellii interse sunt , quae fiunt a similibus figuris genitricibus .

Duae portiones conoidum, tr e t M. sphaeroictu similes interse sunt si ba ses fuerint circuli,vel ellipses similes, & axes similiter ad basium licia mologas diametros inclinati eanis dem ad eas proportionem habue-

rint. PROPOSITIO I. Tab. V. ra. In parabola ABM sit X latiis rectum diametri Η ΒΚ, & Z sit latus

rectium diametri FCG, ducantu que tangentes Verticales BF , C H , se secantes in N . Dico quod quadratum BN ad quadratum NC est ut X ad Z. A punctis verticalibus B 8 C du- Cantur ordinatim appIicatae BGM , CKA ad diametros,nempe parallelae tangentibus CH , BF, & a diametri parallelae sunt in parabola . ergo b in parallelogramo KF , est b I. as. BK aequalis FC; suntque segmenta e c multa ΗΒ , ΕΚ aequalia facta a tangente CH & ordinata CR. igitur FC ae- ualis est HB. & eadem ratione 'Cr aqualis est ΒΚ. quare rectangu- lupi K , lseu d ei aequale quacira- 4tum KC, vel BF ad rec-lum GCZ , a3. seu ad ei aequale qua-mm GB , vel

CH eandem a pro-tionem abebit quam latus rectum X ad latus rectum