장음표시 사용
161쪽
sis diametri CAV quare duo antecedentia rec-luni CRA & quadratiim RA simul, idest ire lum AR maius est duobus :consequent bus , scilicet rec-lo sub AK & sub KC cum CX . Fiat tandems ΜΚ a K A ut XK ad KC, & ducatur tangens EN aequalis EF , compleanturque coni MBD & LNO . erit trec-lum MKC sub extremis aequale rec.lo AKX sub intermedijs illarum pro-lium; & ideo rec-lum CAR in ius erit rec-lo ΜΚC; unde h AC ad CK maiorem rationem habebit qua MK ad AR siue ad EL ; sed ut i AC ad CK ita est quadratum AB ad qua dratum BK, Rue ι circulus radio AB siue EF, vel EN ad circulum i Ddio BK descriptum . ergo circulus NO ad circulum BD maiorem rationem habebit quam MK ad EL . Lare conus m cuius basis est circu tus NO altitudo EL maior est cono cuius basis est circulus BD altitudo MN . Suntque eisdem n conis aequa. les portiones sphaericae FEH , de
AC. igitur tartio FEH maior est portione BAD . Quod &c.i
162쪽
Iinearum doctrina quan- tuna est ingeniosa & praecIara, tantum abstrula, & captu difficilis est , ut innuit ipsemet Archimedes ni epistola ad Dosithetim. Hanc ni fallor noua methodo planiorem a redidi , & ne dum amrmative tangentium spirades proprietates de-
monstraui , sed etiam ostendi quod
. Iocus inter tangentes & spiralem is compraehensus unius rectς lineae ca- pax non est, quod desiderabatur .
Duo mobilia aquabili velatitato L. ferri dicuntur, cum spatia quibus cumque temporibus eXacta prop-nalia fuerint temporibus ijsdem quibus spatia transiguntur. Si in Tab. V. A. I. puncitum ' H. A per circuli radium AB ex centro
A aequabili velocitate moueariir , i eodemque tempore radius A B a-l quabili motu circumdatur circa ν centriim fixum. Punctum A duplici P motu translatum describet cur- G a uam
163쪽
Spiralim . Et Principium lineae spiratis est centrum circuli . Et Principium eirculationis est ra
dius AB .' Linea spiralis Prima est AFMisacta ab integra circulari vertigine Et spatium a recta AB & spiricompraehensum dicitur Primum spi
Et recta AB vocetur Prima . Et circulus RDB vocetur Primus. Et ulterius ijsdein duobus moti. biis continuatis post complemen, tum primae spirae , quousque secun da reuolutio compleatur, continuatio lineae curuae vocatur Spiralis se cunda . Et Spatium secundum. Et continuatio radij, Linea facunda, de Circulus secundus , & sic ulterius Trilineum AXBCE Tab. P.M. a cuius vertice A omnes reetae AB, AS , AR , &c. ad basim directam vel curvam BC ductae secantur a latere cavo AEC- Voco To
In duabus figuris in apicem de ficientibus aequales bases & altitii- dines habentibus, si quaelibet interceptae linete par-lae basibus, & aeque ab eis remotae semper aequales fuerint inter se. Vocentur figurae aequa-
164쪽
a. 3. Cuilibet trilineo cauo ABCE nius basis BC sit recta vel circula- ris , adscribi possunt duae figurae gra- datae ex trapetus aeque altis , quae eX lateribus ad apicem concurrentibus rint Compositae; quarum disserentia
minor sit qualibet data magnitudi- Coniungatur recta AC . & pr ducta BA fiat AQ aequalis AB, se- - ceturque AB bifariam in H, & rus lus bifariam,& sic successive quous - que in L, qua-tum a AB ad rectan- gulum VLB maiorem rationem h π beat quam tri-lus vel sector ACB
erit btriagulus vel sector ABC ad trapetium PCBL ut qua-tum AB ad Glum in B; & ideo idem trianis gulum vel sector ASC ad trapeti- um PB maiorem proportionem si 'ebit quam ad spatium Y; proinde que e trapetium Ps minus erit quam
iratium Y. Postea ab omnibus diuisionibus G E lateris AB ducantur lineae GI, H
N , & par-lae basi BC secantes cu il iam AEC , & rectas AS, AR, AOvertice A per intersectiones D, E, transeuntes , a quibus resulta- bunt figurae gradatae adscriptae tria lineo. Et quia a trapetium NM mi- irta est aeque alto trapetio FR cum
165쪽
isso Spiractia , basis OR maior sit quam FM, & Itera concurrant in A eademque ratione trapetium IK minus quam IIS , & ADG minus est quam SL . ergo addito communi trapetio PO ; erit summa omnium differentialium trapetiorum PO, NM, IK, AG in nor trapetio infimo PB ; & multo minor spatio Y . quare figura Sradata AINPB circumscripta trilineo ex trapetijs aeque altis ex lateribus ad apicem A concurrentibus composita superabit figuram gradatam . DEFBG eidem trilineo AEC Binscriptam, eXcessu minore quacuminque data magnitudineY. quod sociendum erat.
a. 3. Si duae figurae triliseeae cauae ae- que altae AB CE cuius basis BC fue- rit arcus circuli , & a b c e cuius h sis est recta b c aequalis BCn figi rar fuerint aequaliter analogae; Dico quod trilinea sunt aequalia interse . Coniunctis rectis AC, & ac como spleantur sector ABC, & triangulum ab c; & cauo trilineo ABCE a adscribantur figurae gradatae eX trape- tijs aeque altis , quae ex lateribus ad apicem A desinentibus sint compostae, ita ut earum differentia minor i sit quacumq; data magnitudine;& di uisa altitudine ab in tot partes aequa
166쪽
secanti Dus curuam a e c in punctis d, e, & coniunctis rectis alis, aer, a s o consurgent duae figurae grassatae adscriptae trilineo cauo a ecb. & quia trilinea supponuntur aeque alta & aequaliter anologa. ergo sicuti bases b BC, b c aequales sunt ita , b LF, l f aeque a basibus remotae aequam es sunt interse: & sic reliquae om
nes EH , e li erunt aequales &α Pariterque e L P , t p sunt aequales ob eo similitudinem triniorum , vel secto- σrum ACB, APL ) non secus NH, n li erunt aequales & sic reliquae similiter positae ,1 suntque altitudines BL , b l aequales. erso sector ABC ad sectorem ALP est ut triangulum ab c ad tri-lum alp; suntque ho- mologa interse aequalia scilicet se- ctor d ABC aequalis est tri-lo a b c . dlitiai-
ergo eorum differentiae aequales erui mei ei
nempe trapetium PB aequale ipsi pb , & sic di L aequale erit n I, FB aequale f b , & sic reliqua trapetia si
militer posita aequalia erunt. Qua re uniuersae figurae gradata: ex trape tua colimosit, circumscriptae trili-
neis ABGE & a b c e aequales extinny interse . pariterq; eisdem inscriptae
aequales erunt. Cumque sint duar, figurae trilineae & duae aliae interis aequales circumscriptae sint una in iores illis excessu a prima minori quolibet dato spatio. pariterqlle
167쪽
duae inscriptae inteise aequales sun una minores eisdem defeetis a prima minori quolibet dato. igitur sprima trilineum ABCE aequale est secunds o b c e. Quod erat &c.
s. p. PROPOSITIO III. Tab. r. . 6.1. q. Si in spirali AFGB si mantur duo quaelibet puncta F &G . Dico quod transitus circulares eorum a princisio circulationis i eoati ΗF, ad LG duplicatam proin portionem habent eius quam trans, tus directi AF habet ad AG . Quia motu aequabili eodemque tempore punctum A fertur per roetam AB & recta AB circumducitur , ergo recta a AH ad AL; parseterque angulus HAF ad angulum LAG eandem rationem habet quam tempus, quo transigitur AH ad te pus transitus per AL ; estque , angulus HAF ad angulum LAG ut arcus LP ad arcum I PG. igitur recta AH ad AL . seu arcus HF ad LP est ut arcus LP ad arcum LPG .& arcus d LP ad arcum LP G lest veAH ad AG . ergo arcus I F ad amcum LPG duplicatam rationem habet eius quam AH habet ad AG . Quod miscorollarium . Patet quod si punctum in linea secunda sumptum fuerit . Transitus a circularis eius
168쪽
principis retrolutior ta superat qua tuor angirios rectos: & ideo totus motus ab eo facitis constat ex int gro circulo , &ex portione eiusdem recundi cuculi in coatic Et sic vite,
q. s. & 6- Spatium spirale Primum, . vel quodlibet aliud siue eius portio AEGRA tertia pars est circuli primi vel alterius, aut sectoris BDR A id compraehendentiS. Sumatur recta a b aequalis radio,
circuli AB ; br aequalis sit peripheriae BDR sectoris . vel circuli primi in spirali prima, duplo secundi circuli in spirali secunda, & sic ulterius; sitque a b p pendicularis ad b r,
compleaturque triangulum a b cierito, id aequatae circulo,uel circulis, vel
sectora, ABDR;& copleatur rectangulum a p x b, & axe p a ordinatap r b deteribatur Parabola a s r , quam tanget ab parallela basi p r; distetis AB, ab ubicumque ita Η &h vi HB, h b sint arct ales , lducantur centro A arcus I V,. & recta listi pa ta basi br- & quia in tritineis altitudines AB, & a b aequales sunt, pariterque AH , aequalis est
& circuloru vel sectorum ABDR NAH FV similitudinem, & aequalitatem basium BD R de b d r c arcus
169쪽
circulus vel sector H FVA aequalis erit tri-gulo ali u . Postea ob pa- xabolam ) e ut tangens ab ad ah po. testate , ita est Iongitudine b r ad li
ut a b ad a Ii potestate, sic est Ionstudine peripheria BDR ad Hi s cum sint in duplicata ratione. ergo BDR ad ΗF est ut b d r lad h f; & sunt BDR , b d f aequales, igitur peripheria BF aequalis est rectae,
Quapropter sunt duae figurae trilineae cauae ABRFA circulari base & a b r f a base directa , quarum altitudines, & bases aequales sunt &lineae ΗF, h Lparallelae basibus ubia cumque diustae sunc interse aequales ergo g trilinea caua sunt aequaliter analoga. & ideo trilinea B Iuperstiacies ABRFA aequalis est spatio a b rfa . ostensum autem miti trianguis tum rectilineum a b n sex uialterum trilinei a b r f a , ergo circulus vel sector ABDR , qui aequalis erat triangulo a b r erit quoque sexquialterum trilinei spiralis: & per conue .sionem rationis circulus vel sector
BDR A triplu; erit spatij spiralis A FGR A . Quod erat &C.
Coro rism . Hinc patet similitudo, & transformatio spatij spiralia
170쪽
s. q. Si fuerit spatiiim spirale ca- rens principio compraehensum, a a
& sint continue pro-nales a si a D a x, a Z in ratione AF ad AG, & yst triens differentiae fet. Dico quod sector GAP ad sibi inclusini spa-
trum spirale truncatum eandem ra-
tionem baben quam X. 2 ad y . Quia a sector HAF ad ei similem a M. sectorem I AP duplicatam rationem. Mai 1 -
i af ad a X tertiam proportionalem , seditor PAL ad sectorem LPGAest , ut basis LP ad LGJeu ut a fada g, seu Vt a X ad a Vergo eX aequo sector II A F ad sectorem LPGAerit ut a s ad aet: & in eadem ratione erunt mentes eorundem sectorum , scilicet e spirale spatium AFA ad G uti : spirate AFGA. ergo diuidendo sp, rate spatium AFA ad spirale trunca- tum 1ub rectis FA, AC & spira GF contentuna, erit ut af ad fg, vel Vt triens ipsius as ad trientem alteriussa, seu ad y. Postea quia d sector GILA ad sectorem PAL est ut rectai GA ad AF, seu ut et a, ad X a, diui-λ dendo G AP ed PAL erit ut Z X ad x a, & sector PAL ad FAH ei similet est ut Xa ad a si atque se ior FAHa contentum spirate AFA est vi. Hi