장음표시 사용
181쪽
ctum Z , inempe ut bases rectanguloru aequalium altitudinum ΚΒ , GC. & quia duo latera HB, FC hο- mologa sunt aequalia & par-la in tri-lis similibus, ergo BN ipsi NF, nec non HN ipsi NC aequale erit , errat & ideo g quaintum B N ad qua-tum NC erit ut quadratum duplae BF ad quadratum duplae ΗC , seu ut i tus rectiim X ad latus rectum Z quod
PROPOSITIO II. Tab. V. Fig. 13. Si eiusdem spatij parabolici ΑΙ
D duo segmenta ABC & DEF ha- buerint diametros BG , FΜ aequa- illes . Dico quod segmenta sunt aequalia inter se . aeotiis. Ducatur parabolae a axis OK, in 31 ι ii mio fiat abscissa IK aequalis BG, seu EH, & ducantur ordinata MKR, &tangens BN,quae occurat IN in Ν.& axi in Oi& AP sit perpendici l laris super BG productam in P ,- iungantur rectae AB, BC, IM, IR ; ib sitque. X latus rectum diametri S G, & Z sit latus recurum diametri, seu l
gentis BN seu e aequalis No ad , quadratum tangentis NI,seu ut qua- dratum GA ad qua-tum AP ob si- militudinem tri-lorum ONI, & GAP d ita esst latus rectum X ad latus rectum Z ς & ob aequalitaem abscisiarum BG , IK . , ut latus re 'etum
182쪽
na-tum ΚΜ. ergo quadratum G A L andem rationem nabet ad duo qtia-
drata ex AP & ex KM , & ideo f AP aequalis est EM , & sitiat ambo perpendiculares AP ad basim BG productana, ἐ&s: MK ad axim IK .il ergo h triangula AGB & MIK aeque .s alta & super aequales bases BG, IKl ccnstituta aequalia interse erunt; & eorum dupla tri-la ABC , MIR Ge- qualia quoque erunt . & insuper i segmenta parabolica ABC , MIRquae illorum triangulorum inscriptoriim sexqui tertia iunt, aequalia in terse erunt. Eodem progressu Oilei
detur segmentum parabolicum D EF sequale eidem segmento MIR . Quapropter segmenta ABC & DEF erunt interse aequalia. Quod &c. PROPOSITIO III. Tab. V. Fig. 1 . Si circuli ABCD diameter AC fuerit axis maior alicuius ellipsis A E C F. Dico quod elypsis ad circulum est ut minor axis eius EF ad circuli diametrum BD . Ducatur quaelibet ordinatim applicata HMI seu par-la basi BG in quadratibus circuli BAG &ellipsis. EAG . In eisdem figuris a vi re tingulum C GA ad rec-lum CIA, ita est qua-tum basi s BG ad quadra tum ordinatae HI, sicquoque in el-llipsi quadratum EG est ad qua- tum MI. igitur eorundem quadrato
183쪽
iiim latera sint propol tionalia scilicet BG ad ΗΙ est EG ad MI,& pei mutando ut BG ad EG , ita est HI ad MI,& sic quaelibet aliar,rdinatae ubicum e ductae fiterint. qitare duae e figurae UAG. & EAG aequae altae sunt proportionaliter analogae & ideo quadrans circuli BAC ad qua drantem ellipsis EAG erit vi basis BG ad basim EG, seu ut diameter BD ad diametrum FE. idemque ostendetur de relisuri quadrantibus quare circulus ABcD ad ellipsim AECF erit ut BC ad EF quare &c. PROPOSITIO IV. Tab. V. I s. Duae quaelibet Ellipses ABCD ad EFGH, sunt interse ut rectangu- Ium sub AC in BD ad rectanguluin
BG in FH sub axibus contenta. ii Circa diametros maioreS AC , .
EG describantur duo circuli AKC i & ELG . Quia a ellipsis ABC ad circulum AKC est ut BD ad AC , seu sumpta communi altitudine AC vi . rectangulum BD in AC
ad qua-tum AC; estque ς circulus AKC ad circulum ELG Vt qua- tum AC ad qua-tu EG; circulus d vero E .
LGad ellipsim EFG se habet ut quatum EG ad rectangulum ex EG in
FH. ergo ex aequalitate ellipsis AB C ad ellipsim EFG eandem ratio- ,i nem habet quam rectangulum AG I
184쪽
c.raliarium . Hinc deducitu r quod illes ellipses se habet ut quadrata arium maiorum interse, vel axium
Quia a similes ellipses habent e Misis axes proportionales, & ideo squadrata homologorum axium erunt a terse ut rec-la sub axibus propo tionalibus contenta . PROPOSITIO V. Tab. V. Fig. i5.17.18. Si conoides aut sphaeroides ABC secetur plano per aXim ducto. Dico quod sectio RBS exit' smilis & aequalis eidem genitrici fi-turae ABC. & si secetur plano pa- rallelo basiAC sectio IRL circulus
. Quia ectio RBS per axim AD facta coincidit & congruit cum sectione ABC genitrice conoidis vel sphaeroidis ; & ideri similis aequalis erit illi . Quod vero
185쪽
Ducatur planum RBS aequi i- stans plano FE H quod in parabolico corioidea efficiet parabolam RBS de a quolibet pimeto F lectionis FE H ducatur plantina perpendicui re ad axim BD,quod essiciet circuis Iuni IFRI SH cuius centrum Κ, &b diameter I L secabit bifariam & peetendiculariter rectas FH , RS iiii ci & Κ , cum e sint communes se- s. cor. ctiones planorum aequidistantium ,
FEH , RBS pei pendicularium ad l. ABC factae a per-lari plano circuli II L . tandem fiat axis abscissa ΒΜ aequalis EG, & pex M Vplicetur ordinata No par-la ipsis RS , FH Et quia in parabola ABCd Vt BKas FG ita est rec-lum I KI ad rectan gulum LGI, scii e qua-tum KR ad aqua-tuni GF , ob semicirculum , sed in parabola RBS fui eadem BK ad BM ita est idem quadratum KR ad qua-tum MN . ergo sicuti EG, BI, aquales factae fuerunt, sic a pariter
potentia & longitudine aequales erunt GF & MN. & sitiat anguli EG
F, B MN aequales,nemse recti. igitur facta intellceuiali uipex positio ne puncta FE HG congruent ptin- bi, NBOM. Similiter alia pimeta ses ionis Fl H congruent coi relatiuis punctis parabolae NBO; & proinde figura FEH congruens ipsi NBO erit quoque ei aequalis vs miliS,
186쪽
eu aa et aequale quadratum GF, ob inscirculum , eandem rationen . abet quain latus transuersum M Bad recitum Bo , sedi quam rec-lum i Cmici
emper a quocunque puncto sect1o- iis FE H ducatur ad axim EG ordi- iatim applicata par-la FG. Ergo
st similis ipsi RUS per aXim ductae, Desiν. et figurae genitrici ABC . quod
si OPOSITIO VII. Tab. V.Fig. i9. In conoide hyperbolico ABCilanum RFH per cetrum I hyper-; oles genenitricis ABC duatim: Pessicit hyperbolam non similem ge- mitrici. Per duo quἰ libet puncta F , Rillaucantur duo plana erecita ad axim l MB, quae is efficient circulos quo. una diametri DC, IL sunt intersei dii lar & per-lariter & bifariana decantes R H, FG p xoductas , quq proinde par-l quoque interie e- Hz runt
187쪽
& per-lares ad sectionis diame strum EH in eodem subiecto plam ACB existentem . Ducantur b postea per E & B tangentes hyperoo lani ABC occurrentes in V & per G, H rectae AP KO par-lae tan genti EV & id eo ordinatim applia satς ad diametrum EH, & bifariam
NGE ita est qua-tum RH ad qua tum'. FG. in axe s figura EFR hyperbole est . Postea per E diicio plano par-lo axi MBX & pe lari ad planum hyperboles DBC efficier g h-ns g uam hyperbosam EST sinis se figurae genitrici, cuius ver tex E , basis ST in circulo IFT
erit QE pa tum axi MX. Et quia ' latus transuersum NE malui est hi ro. quam QE,sicuti ER semissis illius maior est quam EZ secta ab RZ
QE,& oblique incidens , EG maior est quam ES per-
188쪽
DX circuli Ia L proximiori. Ergoo --gulum NGE ad qua tum GF , t .mla. seu latus transirersum ad rectum , aq. hyperboles EFG maiorem rationebadet, quam rec-lum QSE ad quatum ST ,seu quam latus transuersum
e rectum hyperboles ETS . propter m hyperbolae FEG & TES dia sunt similes , quae &c.
PROPOSITIO VIII. Tab. V. Fig. Si Conoides hyperbolicus BAC contineatur a cono EDF aba ymptotis descripto, & secetur a planis AIX par-lo plano DF3 tangente conum . Dico suod si toAX Parabola est similis parabolae V quae in cono efficitur . A puncto contactus F ducaturaeirctili EVF diameter FE , quae a cum sit per-laris ad tangentem FI erit quoque per-laris ad V I par- nam eidem tangenti; & planum trili DEF per axim coni ducti b eff- ciet in parabola GV diametrum GI ilius e latus rectum sit GR.Et quia qua-tum d VI, ob semi circulum,aequale est rec-lo EI F, quod ob par. bolam aequale e est rec-gulo IGR. AErgo aequalia rec-la EI F&ΙGR sunt reciproca σ& ideo ut EI ad IG,seu OA ad AG ob similitiidinem tri-
189쪽
qua-tum IX ad sua-tum HS erit trec-lum IA in GR ad recolam Hin GR -- I seu quam abscissa IA ad abscissaria HA. apropter u puncta X, S, A sunt in parabola cuius dia metex IA & latus reictum est RG , qtiod fuerat quoque latus rectum parabolae proindeque o ae qualis & similis esse potest parabolo in cono genitae.. quod &
PROPOSITIO IX. Tab V: Fig. 27. Si conoides vel sphaeroides AS CH secetur plano ENH neque erecto, neque paseis axi, dummodo in hyperbolico emciat sectionem rotundam is Dico quod sectio erit Ellipsis. Du-
190쪽
' Archimedis 37s Ducatur per axim plantina ABC er lare ad planum ENH, & perii Oelibet puncta F, N in peripheria ectionis silmpta extendantur diros lana NAC , FXL par-la interseu pe laria ad planum figurae ABC. patet ii rectas AC, KL esse circulo- ' rum diametros interse aequidistantes bifariam 5 perpendiculariter se- -are rectas NM , FG productas in irculis, & in sebione EN H appli- atas interse paselas, & eroinde re- a EG H diameter erit sectionis NH . Tandem in fistura genitrice ABC ducantur b duae tanῖenteS, IO par-lae applicatis AC & H sibi occurrentes 'ino.&ideo re-clum H ME adre Iuni CMA. ς u ad qu tum MN , ob semicircu- ' .m , erit ut qu tum tangentili Iod qua-tum tangentis Og. eadematione rec-lum H GE ad rec-lum GK, seu ad qua tum GP erit ut dein qu tum Io ad idem qua tuo B ergo ut recta glum ΗME ad tua-tum MN , ita est recolum GE ad qua-tu GP, cin q, hoc semer verum sit eric d figura rotuna ENH ellipsis , cum rec immo ME inaequalesit rec-Io CMA , sicuti e IO non est aequalis OB tan enti 'erticem axis B. quare &c- corolliarium I. Constat ex tribus ramissis propositioniblis quod in A