장음표시 사용
21쪽
reliquae intercipient duo segmenta FG, & GH inteis aqualia. Et primo q transeat recta FH per C concursum AC , & BE - Quia BE ad ED est vi BC ad CD , erat permutando EB ad BC, ut ED ad DC, & ob par las AE & FΗ triangula ABE, FCB,& ADE, H DC runt similia a ergo ita est AE ad
FC, ut EB ad BC , siue ut ED ad DC: sed eadem AE ad CH est ut ED ad DC . igitur . FC est aqua-
lis CH. Secundo FH non transeat per oc-
par-la OΚ ι igitur sicuti in oΚes ciuntur duo segmenta a qiralia a trI-bus rectis AB, AC, AD disceden- tibus a punel o A, sic quo ue FH, ab eisdem secatur bifariam in G. quod
positis H F secta sit bifariam in puncto C . Dico fore in parallelam reliquae AE . Sin minus , ducatur recta line oo CN parallela AE. Ergo a DC, aqualis est CN & erat FC a qualis CH,circa angulos ad verticem C α- ales. Ergo Triangula OCF, N C sunt inter se similia . Ergo An- .
22쪽
Com endiaria. Titus CoF est aequalis Angulo CH; N sunt Alterni. Ergo lineae bI. 16. etse BA , HA sunt inter se paralloe ; de conueniunt in puneto A . uod est absurdum. Ergo non sita quam FH secatur in C bifari
PROPOSITIO III. rab. atadia i recta FH secetur in duas partes quales a tribus rectis ab eode punio discedentibus & parallela sit Iuartae AE. Dico quod qualibet
tecta BE occurens illis quatuor , ab eis secatur in conterminali ratione.
Per purulium G in recta AC sumptum ducatur recta O G Κ parali la ipsi FH , seu AE: .serit quoque OK secta bifariam in G , sicut ei pa- rallela FH ab eisdem trilnis rectis AB, G A, AD, secta in duas partes aequales erat. Et quia propter parallelas OK, AE, &similitudinem latriangulorum , recta EB ad in S, est b H ,t AE , ad OG: & ED ad DG est δι mxt eadem AE ad KG , seu ad ei aequalem Go. Ergo EB ad BG estvtED ad D G. quod &Q. PROPOSITIO IV. Tah. 1-M 9. Si Vita recta linea FH sit paralleIa uni AE ex quatuor discedenti ibus ab eodem puncto A , in ea me sciantur duo aqualia segmenta FCLii a tribus xcliquis. Dico Ctiam-
23쪽
libet rectam lineam GM. in duas aequales partes sectam a tribus ex eis esse parallelam quartae: & si GM pa rallela sit uni ABHecabitiir a tripus reliquis in duas partes aequaleS. Quia ex eo quod recta FH parautela uni AE secatur in duas partes aequales a tribus reliquis. Sequitura quod secantes effciunt Contermi- nalem proportionem . Ergo quaeli-
but G M parallela viai AB secabitur
bifariam in Y t Et si b bifariam secatur erit parallela AB. quod &c. PROPOS. V. ia. Si in Circulo a quolibct puncto A ducatur tangens AC ; & AE sit perpendicularis ad diametrum FD . occurrentem tangenti in C . Dico qualibet rectam ex ptincto C ductam a circulo secari conterminali proportione in punctis C, D, E, F . Sit primo CDF diameter, ciconiungantur rectae lineae AD,AF rEt ODI' parallela sit ipsi AF . O ita AB est perpendicularis ad Dianae-tru DF.Ergo a Arcus AD est aequalis arcui BD,quibus insistent anguli aequales, & ideo angulus D AB est ae- qualis Angulo DFA: Estque b Angulus C AD a tangente , & secanici factus , aequalis AnUlo AFD in alterno segmento . 'Ergo Angulus
EAD est aequalis Angulo DAC a lsuntque Anguli ODA . PDA xecti.
24쪽
illat sint aequales e alterno D AF in semicirculo. Ergo latera OD, D sint aeqnalia , Et est OP paralle- AF , dc secatur m duas par tes Σ-aales a tribus reliquis, ex puncto. ductis. e Ergo diameter CF dii a Per punctum D secatur aquatur lineis in Conterminali propo
Secundo Tab. I. Fig. H. e 1 Si E non sit diameter; dummodo per occursum diametri &taingehtis,aud ametri & applicatae AB usque ad E perp-rem ad diametrum transe- . Dico DF secari in C, E pro : conterminali Ducantur rectae lineae DG, D H
, . Cui CI per centrum tranuas in Circulo secatur a tangente perpendiculari AB in Contermilli proportione in puneris CG, H, . Idemalle prestant quatuor rectae puncto D cadentes , quae sunt DC,
G , Dii , DI. Ergos FN, quae acta est parallela Vni DG, secatur
i duas partes aequales a tribum reliris : Et in II Anguli striat recti , im sint aequales Alterno GDI , ii in i semicirculo est rectus . Er- in triangulis FDM, A NI Μnguli FDI, ID Κ sunt aequales . t ideo I Arcus ΕΚ secatur in I bi-xiam. Ergo subtensa FK secatur a tametio G I bifariam , & pespen'
25쪽
i o Apostonis Conseadiculariter in o Ergo FK est pa
rallela AB perpendiculari quoque ad GI . Cumqne CFE secetur a quatuor rectis lineis ex puncto Hdescendentibus, & FK , quae est parallela unt HE secatur in duata artes aequases a tribus reliquis. Ergo in secatur Conterminali rarione in punctis C, D, E, F - quod &c.
13. Si una redia linea CF duci a ab eodem plincto C extra Circtritum msiimpto secta fit a linea ΑΒ perpendiculari ad Diametrum in Conter- ni mali ratione . Dico uosquelibet alia recta Iliaea CI ducta ab eodenimincto C secans circulum , pariter I catur in contei minali proporti ne . Et si duae rectae lineae AC, BG tangentes circuIum ducantiri: ab eodem puncto C . Dico quod linea α S iungens contactus secat in Cori terminali ratione omnes Iliaeas ab eodem puncto C intra Circulum , ductas. & recta AE coniungens contactum unius tangentis A & runctum E rectae diluti in Conterminati ratione Di co quod per reliquum contactum B transibist . Primum probatur . inia ex eo quod CF secatur conterminali ratione: facta eadem constructione praecedentis propositionas ) ostendetue quod Diameter sis etiam in conter-
26쪽
Compendiaria. IIninali ratione secatur a recta linea A. Et hinc constat quamlibet Iram ductam ab eodem puncto C , bcari a perpendiculari in Conter-
unali ratione . Secundum probatur quia conitin-
sunt aequales est latus com-uine , cui opponuntur anguli b reci ad contacius A, B ergo rectae C. , CB sunt aequales ,& anguli AC γ, BCo aequales quoque sunt. quae intri-lis ACH , BCH latus CHum sit commune,& Iatera AC, BC
qualia circa angulos equales, erunt, B H aquales. & anguli ad Hecti, ergo e CI secatur :contcrini ali ratione . Et sic alia qua libet. Tertium probat irrini recta linea, uaea' contractu umus tangentis Aucitiir ad punctiina E secans quam-bet CF in conterminali proportio-e nou transit per reliquum contatum n alterius tangentis Sit CXangens & iungatur A X , secans a puncto S , lineam CF. Ergo din , conterminali ratione secatur . Uod est falsum. &c. quod &c.. PROPOSITIO VII. Tob. I. Fg. l. 13. Si a Termino communi AeII diametri Hic Circuli in con iminalr ratione diuis , ducatur quet bctreeta linea AF D secans CHA 6 culum
27쪽
cillum . Dico quod concursus Nperpendicularis EI ad diametruin is RH a Termino communi eductae;& GO pei pendicularis ex Centro ad D F , erit idem ac concursus tangentium a punctis D, F, educta
Iungantur radii FG, CG, DG :& rectae lineae FNDN . Quia Anguli AIN, & AON recti sunt equales . Ergo a perquatuor puncta A, I, O, N Circuli peripheria transit; quam secant duae rectae lineae G ΙΑ , GON concurrentes in G . Ergo brectangulum AGI est squale rectangulo NGO . Et qilia Triangula AC G, CGI sunt rectangula , & habent angulum communem I GC . Ergo e AG, GC, GI siunt continue proportionales. Ergo a rectangi luna AGI est a quale Quadrato G C. 8c e rectangulum NGO est aquale quadrato FG . Ergo lineae N G, FG, GO sunt continue proportionales circa angulum communem N GF. Ergo i Trian aula NGF, FGO sunt similia; & ideo Angulus GFΝ
est aequalis angulo recto GOF . Qitare a linea NFcirculum tangit in in F. Eadem ratione recla ND d monstrabitur tangere circulum in D.Ergo in puncto N concurrunt,&tinea EI est perpendicularis ad dia- nictrum , & radius Go perpendicularis au PD: α duae tangentes ab
28쪽
Compendia 1 ia D. eductae . quod . m. ROPOSITIO VIII. Tab. I. 16. Si ab aliquo stincto B lateris Sesti ianguli AGH , Ducatur rei linea BD parallela lateri oppos AH M secet intra Triangtiluinastibet rectas lineas ΕΚ,HG su identes verticis aiVuliun A , quae t parallelae' basi HG . D ico quod stangula sitb segmentis subtensa-siuit ut abscisia: ex linea secante. ilicet rectangulum H FG ad re-ingulum EIC, est ut linea FBai
Quia linea EI K parallela est linee FG; pariterque FI parallela est E. Ergo in parallelogranimo EFI a latera opposita Ei ,FH sunt er se aequalia ' & ideo b rectangu-D EI K ad rectangulum HFG a:-e altum habet eandem proporti
na, quam basis IK ad FG . Estque B ad BF , ut IK ad FG ob simi-udinem Triangulorum BiΚ, BF) . Ergo rectan3ulum EI K ad re- angillulia H FG se habet ut abscis I B ad abscissam BF. quod &c.
PROPOSIT. I. I7. . Si a puncto B lateris AL in Tri-agulo ALC ducatur recta linea Bi subtendens angulum Verticis CL: Vel eum qui deinceps est: io,& sit parallela rectae AM a
29쪽
Vertice ad basim CL i latra vel extra triangulti duetae , atque intra Trian- tum quodcunq; rectae lineae EX , HG subtendentes angulum Verticis sint paralle basi CL Dico rectangilla sub seumentis prioris in eam is vel extra factis se habere Vt recta u/gula sub segmentis stibtensariim Scilicet rectana tum MD ad re- elangulum BFD, se habere virectangulum EIK ad rectangulum H FG : & unum rectanguliam DFlaad rectangulum H FG . se habere ut quadratum A. Μ ad rectandulum
Quia ratio tectanguli DF Dadrectan gallim ΗFG componitur ex proportione DF ad HF: & ex proportione FB ad FG . Estque , AMad MC ut DF ad FH. ob similitiidinem Triangulorum . & ob equi- distantiam rectarum H FG, & MCLatque rectarum; AD , & M A - ) Et smiliter AM ad ML se habet ut DF ad FG . Ergo ratio rectangiui DFB ad rectangultim ΗFG componi tur ex ratfone AM , ad MC , & ex ratione AM , ad ML . Verum ex .4jsdem rationibus e componitur prΟ- portio quadrati AM ad rectangulum LMC . Igitur compositae rationes eaedem inter se sunt ; scilicet ratio rectanguli DFB ad rectangulum H FG est eadem ac quadrati AM ad rectangulum LMC .
30쪽
B ad rectangulum EIK erit, verri quadratum Ari ad rectania LMC : Quare rectangulum D; ad rectangultun HFG eandenrionem habebit, quam rectan Iaa DIB ad rectanguluin EIAE , &rimulando rectangulam DFB ad raum in B est ut reclum HFGrec tum EI K . quod &c . PROPOSITIO X. T .Fis Conus C AF secetur plano ABCr verticem eius C ; sectio in C , facta Triangulum erit. Si vero etur pIano NGH vallato ei f/o bans: Sectio circulus. erit. ia recta linea, quae est latii; ni per C , & A extensa iacet in raque superficie , plani nempe CB , & superficiei Conicae r Ergocta Iinea CA qua est latus coni incidit cum earum communi scione - Ergo communis sectio AClea recta est r & sic BC est linea cta; quare C AB trianUlam erit. Secundo her axim CD coni dii intur qualibet plana CAD , & Cui aquae triangula emcient: & desi abunt in planis ABF, & NGHirallelis inter se, b rectas GE; MD communes sectiones parallelas ater se.&NE, AD paralello uoq; inter se. Ergo ob similitudineriangulorum a erit BD ad GE, nec