Elementa conica Apollonii Paergei et Archimedis Opera noua & breuiori methodo demonstrata a Ioanne Alphonso Borellio

41쪽

, his. c. FE in Si. fig. ) Patet quod b recta linea DE conii agens contactus perpendicularis est ad ONC , per trum circuli N ducta,& e ab ea seca. bitur bifariam in puncto O. Tandem coniuneta recta linea OA, haec secabit planum Ellipsis in puncto PDico punctum P esse centrum Ellipsis. Per punctum P ducatur quae-lidet applicata I PH in eodem pla-

Ellipsis; δc per I H , AO ducto

plano , id 2 secabit conum in trian gulo AQS, & eius basim in QS, qtis cum diametro BC coincidat ut in 3o. fig. vel elim secet ut in fig. 3i vel transit preci se per DE. In primo & secundo casu, quia recta linea S ucitur per punctum O bis

secans reetam DE tactus coniungentem , & per concursum tangentium, aut per rectam RF parallelam ED: Ergo a secacur conterminali ratione in punctis R, O, S,& ibidem a vertice A iunauntur quatuor rectae lineae, estque L H parallela uni ipsaium I A eo quod

sunt Icommunes sectiones plano

.catur in Prop ne aequalitatis a tribus

reliquis Ai AO, AS . Denique planum extensum per I PG,& APO

transeat precise per lineam DE ta- .cilis coniungentem , & planum E ' . lipsis

42쪽

Compendiaria. 27s secet planum circiui basis in a ZY . Patet RP, dc ZY paral- h vI.8.s esse quia sunt communes se nes planorum aequidistantisoscit Ellipsis & ARF factae a plano uti basis , estque recta linea Darallela BF. Ergo ED, ZY pa-elae sunt inter se , & per eas duitur plana DAE & Ellipsis; Er- , sectil

parallela ipsi DE , & AO secatim DE trianguli ADE bifariam J : Ergo I pariter secabit et pselelam GI bifariam in puncto P . od&c: e

ΡROPOSITIO XVII. O L:

eisdem sex figuris.duci a qualibet metro HL,SI a verticibus eius Η, L Si ducitae fuerint diis recte line T, LΚ contingentes Hypo bola , t Ellipsina. Dico HT,LK esse in-

se parallelas & e conuerso .imo fiῖ.a' a8.&ῖo.linea QS basis anguli per verticem ducti diameam fecitionis efficientis transeat per centrum circuli basis coni; & aanaetri circuli terminis Q, S aduntur recitae linea: QV , SX circum tangentes , quae perpendicul s erunt ad diametrum CS; pariterie DE bifariam secta a diametro S perpendicularis quoque ad illami: ex construetione precedentis .

rgo b QS , NX, DE paralleis sunt

B a inter

43쪽

,8 Apollan F Conica inter se; estoue GI parallela ipsi D

E, ut ostentum fuit In pr cedenti e v ν. i re parallelae sunt

inter se , atque S , & GI parallelae quoque sunt. Cumque per paralle ias HY, GI ducta plana , tan rentis V QA & sectionis GHI se mutuo 1ecent in recta linea IK: Ergo dUK conum & sectionem a tangens parallela est ipsi GI. Eadem ratione HT est communis sectio plani tangentis XSA & sectionis GHI, qti: e per duas parallelas SX, & GI dii cuntur: Ergos tangens HT est 13 - rallela eidem GI: quare duae tan gentes verticales sectionis HT, LX parallel e stuat inter se . Secundo dii-cta diametro GI Ellipsis fg, 3 . parallela basi trianguli ADE,nempe ipsi DE , quae perpendicularis est ad diametrum basis coni QS : & a punctis G. I ductis tangentibus G

, I b . Dico eas aequi listare / Quia ex constructione in preceden-

exposita ΗL parallela est ipsi A

R; & ab eisdem ducuntur duo plana AER p contingens conum , &Ellipsis IH GL. Ergo communis eorum sectio G x, nempe contingens Ellipsim in G parallela est uni AR . Pari ratione continoens I bp rallela erit eidem AR ; lgitur ἐG1, Ib parallelae sunt inter se. Tertio In figura a7. 29.& 3 i QS basis trianguli AQS , per verticem co-

44쪽

diametrum LII efficientis , i transeat per N centrum circuliis coni. Et a subtensae QS te iis S, ducantur circulum a

ngentes QY, SV, quae in puncto i

'nuenient extra circulum; mise 27 saura conuenient i cum D Eante infariam & perpendiculari

ex centro. rectam . In a ira ,SV conuenient in V cum a DE tactus litiearum DO, EO iiungente : & recta in linea liuisa sit inconterminali ratione. in figura 31 lineae QV,SV u con- n b.. εitent cum recta RFV parallela a fi DOE, in V: de coniungatur relinea AV . Et quia planum AF Ο equidistans est plano sectionis aicae GHI: & ambo secantiir ab tem plano conum ta8gente ΑSV- goo occursus AVa qttidi stans erit ora. C sectionem tangenti. Eade ratio s illa duo plana secantiir ab eodemno conum tangente AU V: Er-ρ discit communes sectiones AV, parallelas inter se . Quapropter C, LX eidem A V sunt parallelae: o q & inter se quod &c. onuersum huius propositionis ostenψetur. Duae tangentes HI K sint parallelae inter se. Dico

iam L H tactus coniungenteir in metrum esse.

45쪽

gat sectionein inia: Ergo ν α β erit

parallela eidem LK & proinde ipsi

H T parallela erit. Velum duo priri cta Η, & a existunt in distinctii Coni lateribus : ergo duo plana co num tangentia per latera AH . Aa ducta se mutuo secant, ob superficiei conicae curuaturam: quare ab eodem plano sectionis GHI rectae lineae HT, & gineis designata se mutuo secabunt & ostensae fue runt inter se paralleIae : inod est absurdum . Igitur nulla alia preter L H ex puncto L educta diameter erit. Uoderat ostendendum.

PROPOSITIO XVIII

Fis. Ja. Qua libet recta linea CF in circulo basis coni ABE applicata non per centrum CircuIi. Dico quod potest esse diameter sectionis

'rotunda , quae bifariam secet omnes rectas intra rotundam sectionen ,

applicatas ear-las tangentibus ;s qua-ta semiatalicatariim sint , vj γ rec gula sub segmentis ipsius CF - Vocentur illis par-lae tangentibus verticalibus Ordinatim applicatae . a II.,, Ductis circulum BE tangentibus . CR , FR conueuient ad partes segmenti minoris in R, iungaturque

R A; & in planis conum tangentibus ACR , AFR per puncta C,F, ductae x sint CP, F a parallellat eidem AR

b VI quae proinde b parallelae inter ista

exund

46쪽

' Compendiaria . 3 a

iem. Si modo per parallelas CP,

ducatur planum efficiens no Ellipsim aut circulum LCMF ; in ea applicentur qu libet rectae 4, ON parallelae tangentibus veralibus EP, F Dico primum

mes LM , ON lecari bifariam a

imetro CF . Ab R concursu tan- . ntium ducatur quolibet recta RB cans tactus conivnsentem CF in: & conpleatur tri-lum ARE , aiunganturque rectae AB, AIq. Io d RE secabitur incolerminali d5-isione a 'uatuor rectis AR, AB, H, AE a vertice A eductis ; est- e LΜ parallela viai earum AR, o quod e LM est communis sectio e VI. 7

anorum per parallelas CP, RA tenserum ergo fLM secatur in as partes aequales a tribus reliquis H; & ideo a diametro CF. Si- ili modo ostendetur quod ON Ω-nir bifariam a diametro CF in I. Secundo Dico quod quadratuna oniapplicatae LIq ad quadratum I est virectangulum cHF ad re-inouluna CIF. Quia in triangulo

JE a puncto L ducitur L H Μ subadens angulum BAE , & est pa- ela ipsi AR , quae secat basim B

g rectangulum L HΜ seuxquale quadratum I H ad rectan-

47쪽

dem rationem , quam quadratum A R habet ad rectansulum ERB, seu ad . et aequale quadratum tangentis Rc. Eadem ratione quia ON pa rallela est CP & AR; atque secta P est in duo segmenta aequalia a lateri- bus ADN, AOG & AI: & coniun- cta RDIG: Ergo ut prius erit re tangulum OIN, seu et aequale

quadratum OI , ad rectangulum in G, seu ad ei aequale rectangulum cI

F in circulo , ut idem inradratum

AR ad rectangulum GKD , seu ad ei l aequale quadratum RC. Ergo quadratum LH ad rectangulum in F, habet eandem rationem , quam quadratum OI ad rectangulum in F; & permutando quadratum Lim ad q iadratiim OI se habet. Vt re- ' crangulum GH F ad rectangulum is F. uod &c. PROPOSITIO XIX. Tab. I

Cuiuslibet sectionis Rotun- di DKEL iu cono ATZ factae ali- tua diameter Coincidit aut aequidI-

stat plano Circuli basis BI CZ. Nycrtice Coni A ducatur planum. AVX aequidistans plano sectionis rotundae DKE secans planum Ci culi basis in V X ,& pex Centrum Circuli TZ ducatur Recta TV peris a Dendicularis ad VX & a ducantur V VC Circulunt tangente , On- iungaturque BC secans Circuli diametrum in N, ducaturque pia

48쪽

Compendiaris. 3τ

num Trianguli BC A secans sectionem rotundam in DE . Dico DE esse diametrum eius & ae iridis fatethii BC iii circulo basis existent in . Extendantur plana tangentia AVB, ia& AVc, quis secabunt planum Ellipsis aut circuli DKELinDR, 3 ES, quae b parallela: erunt eidem AV- interse , cima sint Communes ectiones planorum aequidistantium AVX, & DΚE . Igitur Recta e D ehu, ir: coniungens duas tangentes aequi istantes erit diameter . Tandem s

res ad diametrum. UZT erunt p. illelae, & ideo plana per eaS exten- efficient Communem sectionem

Y parallelam ipsi BC, & duo d dVI.. ana XVA , & DKE parallela in-r se secantur ab eodem plano CBY - Ergo DE & AY parallelaent inter se, & ideo e ipsi BC . e eadem

PROPOSITIO XX. Tab. II. Fit

In eodem Cono ABC si ductaerint duae sectiones Rotundae paedor inter se , & unius diameter aeqitidi stet plano Circuli basis D . Dico quod ambae sectiones ha-unt diametros in eodem Trian-ν PCruerticem ducto quadra Uinatim applicatarum MO, SVllelartim tangentibus verticali-criant interie ut Rectangula a

49쪽

3 Apollonii Crinei,

iub segmentis diametroruim Per diametrii H F extendatur Tri an tu FAH lecans altera section in PQ, & per SV & A ducatur planum Trianguli ASV secans planus I FG in rectaqG - Quia FH est dia meter ergo a tangentes FK, & HI sunt parallelae inter Q : suntque b vr.ω b PR, & FK parallel e interse quia sunt sectiones circulorum, fel EN lipsiti aequidistantvim factis a plano. tangente AF Κ, & pari ratione duae tangentes HL & si Z sunt inters

evI. . pal alellae; ergo duae rectaeo PR, & sunt parallelae interse , &rdeo ah..i1 P est diametet;& quia ob aequi- distantiam planorum circuloni vel Ellipsium sectiones factae a Trian-ῖulo per verticem sunt parallelo e VI.ρ- anterse; ergo SV e parallela est I

&PQ parallela est FH: &proinde ut 1 ST ad IX, atque TV a1 X G, nec non I P ad XF eandem propo tionem habebunt quam I A ad A X; suntque IX & XG aequales;ergo pariter ST, & TV aequales sunt&ideo a rectangulum STV , seu quadratum ST ad rectangulum: PT

eantam rationem habebit quam rem usum IXG, seir quadratum IIc ad rectangulu FXΗ:hsed quadrature MN ad rectangulum FNΗ est vequadratum IX ad rectangulum FNH, ergo ex aequalitate ordinata quadratum ST ad lectangulum' PTQ

50쪽

dem proportionem habebit, quam quadratuin MN ad rectangulurn

PROPOSITIO XXI. Tab, II,

Fig. a. Si in Parabola HFO par lapsino ABK tangenti conum ABCT , a quolibet eius puncto F ubictimque silmpto ducatur FL pasela lateri contactus AR, & sectioni appliceii-

tua: recta: DG, OH par lae FE tangenti sectionem in eius vertice F .

Dico FLX diametium esse bifariam '

secans omnes ordinatim ad eam applicatas GD, FIO , nempe pa lastangonii FE , de qua tum , L habere ad qua-tum H X, t abscissa FL ex diametro ad abscissam FX . Ducatur per duas parallelas ABFL planum trianguli secans circulum basis BC T in linea BI, quae I per punctum X in plano eiusdem Paraboles H FO existens transeat; & pex lineas BI, HO planum duca.

tuo efficiens. sectionem rotundam E'. i .

HIO, quae circulus crit si applicata . eHO iacet in plano circuli balis coni CBT quia, ab illius pIano se- 'Cantur duo plana parallela.nem ipsius parabolae H FO in linea HO ,.& tangentis Conum ABK in linea O. RS : ergo a BS parallela est ipsi id O . Pr terea quia per duas paral- telas FE, HO ducuntur duo plana cscilicet sectionis rotunda: BHIOB 6 M tata-