장음표시 사용
51쪽
b Vr.s ἰ tiro secantia in linea IZ: ergo b Igς Ur parallela est eidem HO; &ideo edua tangentes ES , IZ sunt paraII S. ea . telae inter se . Quare ἀ reeta linea BI earum conlaetus iungens Di meter est sectionis rotundae HBIO, o quae bis iam secabit applicatam IHO, in X . Postea in plano trian
cto plano , fessiciet sectionem rotundam ΜGND parallelam ipsuBHIO; eritque a MN Diameter illius bifariam secans DG in L parallelam tangentibus N P , & Eo quia in cono ABCT ductae sunt dua sectiones rotunda parallele inter se BHIo, & ΜGND, quarum diametri BI, MN cadunt in eodem triangillo ABI per uerticenm Coni ducto: ergo ex precedenti quadratum GL ordinatim. applicatae ad Diametrum M N ad quadratia moHX ordinatim applicatae ad diame-hhistis trum BI, se habet h ut rectangulum
MLN ad rectangulum B XI , eisque rectangulum MLN ad rectangulunae BXI, ut abscissa LF ad X F : ergo quadratum G L ad quadratum HKse habet ut linea LF ad lineam XFQuod &ς.
Gloriarium Ex constriictione liti ius prop-nis deducitur quod in Pa
52쪽
rabola qtia libet recta linea paral-Ia
diametro , erit quoque diameter eiusdem . Nam non ab unico puncto F. sed etiam a quolibet alio ut a D silmpto in clinia Parabola duci potest recta I V paral-la lateri contactus AB ς & ideo para-la FL erit. verum est tamen quod tangens verticalis DR non est para-Ia tangenti FE , ob curvitatem parabolas & ideo ordinatim applicatae ad diametrum DV scilicet para-lat tangenti DR inclinatae erunt ad Ho ordinatim , applicatam ad alteram diametrum
iectionibus oppositis GFDR ge- nitis in cono ABCT . Dico quod quaelibet Diameter transitersa RFnifariam diuidit omnes GD, O Happlicatas in, seci ionibus parallelas tangentibus 3 erti calibus FE , Rus& quadrata ordinatim applicatarum I G , HX se habent inter se, ut rectan illa FLR , FAR sub segmentis vel nim produetionibus diametri ablicatis factis: er verticem Coni A , & per FRdiametrum transuersam sectionis ducatur planum eruiens in Conotriangulum. ABI, quod secet circ tum BCT in linea BI ,-ixardeat P
53쪽
per punctum X existens in cominu , ni sectione diametri RFX & HO Postea per lineas BI, HO ; ducatur planum effciens in Cono sectioilem rotundam RHIO; quia ordinatim is applicata HO parallela est tangen, tibiis verticalibus FE, Rin.& pe parallelas HO FE ducuntur citro plana nempe sebionis rotundae BFI I ,. & tangentis Conum AFE quae se mutuo secant in linea IZ : ergo IZ contingens sectionem B HI , pa rallela est ipsi, HO Similiter qui per duas parallelas RQI HO ducuntur duo planae quae se muttio secat in recta ilia ea BS ergo b: BS pa' rallela est eidelia HO , & ideo duae tangentes sectionem rotundam in ,
IZ parallelae sitiat inter se; Quare recta linea BI tactus coniuntans Diameter est rotundae sectionis B H IO & bifariam secabit ordinatata , HO in X . Similiter per punctum L ducta recta linea MLN parallela BI: & per MN, DG parat selas ip- e VI.io sis BI .HO ducto plano , es effciet rotundam sectionem equidistante in ' rotundae sectioni BHIO& illitis Diameter erit MN existens, in eo dem Triangoelo ABI per verticem
ergo quadratum GL. ad qlladratillax HX, se habet ut rectangulum ML.
ctangulum MLN . se habet ad re
54쪽
FLR aa, rectangultim FXR: ergo Maduattam GL au quadratum HX , G haticit ut rectangulusii FLR ad xectangulum . FX κ . Qii d &c. Cor i lium Cosaltat ex hisce dilamus propositionibus quod quaelibet rectae tinctu in sectione conica a Plicatae para-lae tangenti verticali ad taliaetro secantur bifariam . DEFINITIO XV. O. II. Fig. s. In Parabola si fuerint rectae lineae BR ordinatim applicata DC, dc
abscisia BD continue proportiona Ies .. Vocetur recta linea I B Luitii R. ymn Parabolς - & qiia-tum cx BR vocetiit figuris Paraboles .
transuersum DT ad BR , ut rectan- . pulum sub segmentis vel pro-i ductionibus Diametri ad qἡadra- tum DA ordinatim applicatae. V et cetur rem linea BR, Maum in sectionis. Et rectangulum I BR ali late laus transuerso & recto contenis tum Vocetur figura hyperboles aut ellipsisse
re In Parabola ABC quadraetum cuiuslibet ordinatae AD aequa le est rectangulo sub abscissa BD, de ius latere recto G -
55쪽
qtiadratum . EG ,:aa qiudratilin Ata se habet, ut linea GBad BD , & facta BR tertia proportionali duaruni BG, & GE : A eri BR latus reci lina Parabolae; rectangulum GBR erit aequaje quadrato EG : est ite o BG ad utreetangulum G BR assi rectangiiiii in DBR,ob aequalem altitudinem Al x ergo quadratum EG ad quadratum AB se habet, ut rectangulum G BR ad re anaulum DBR.: & erat qua dratum EG aequale reci augulo GnR. . Ergo etiam quadratum AD est aequale re tangulo DBR . Cim.
PROPOSITIO X XIV. λ s D ED. In Hyperbola, Ellipsi f& Circulo ABC: quadratus cuius' libet ordinatae AD est aquale re ctangulo BDH sub, abscisia BD ad latus rectum BR applicato quod tangat sectionem in B, deficiente in ellipsi , .& excedente in hyperbo la rectangulo GH , simile ei quod
continetur a lateribus recto transuerso BT . . Coniuncta. rectat linea TR secet'
DA parallelam ipsi BR in H : de quia a vi rectangulum I DB ad qua- dratum A* , ita se habet linea I B, ad BR , seu TD ad DH : sumpta is 4
DB communi altitudine idem . rectangulium I DB ad rectangulum x
56쪽
Compendiaria q3ΗDB se habet ut linea a D ad DII ,
I DB ad quadratum D A : ergo diuadratum AD, aequale est rectan-:ulo F DB, hoc vero rectangit lum ontinetur stib abscisia DB, & ap- dicatur ad rectum latus ΒΗ cum
xcessu in hyperbola , in ellipsium defectu rectanguli HIR, quod mile est et , quod continetur a I B., scilicet a lateribus Transirerm , Recto sectionis. Quod&c. PROPOSITIO XXV. Tab. Lr: H. Datis duabus rectis lineis A, &c, & anpulo D : Describere arabolam, cuius Diameter sit AB,:rtex A , latus rectum C; &orditim ad AB applicatae inclinentur anguIo D . In plano, in quo BA iacet, fias ιulus A BE aequalis angulo D : &aliquo plano per BE extenso ,3modoli Det inclinato super pla-n ABE educatur ex puncto B lia: ΚBN perpendicularis ad line-EB: extendaturque recta NB Iat a rectangulum N BK aequale angulo sib AB , C contento :i pnno BEN, diamet roNΚ decatur Circulus secans perpendi
57쪽
cribatur Conus secans planum per
AB, & EB ii, figura curua EA FHanc Dico esse Parabolam quaesitam. Ductis b Circulum & e co-
nuria tangentibus RG , Nil, & ALquia NK est diameter Circuli: ergo tangentes ΚG,NΗ perpendiculares sunt ad Diametrum ΚΝ : & ad eandem perpendicularis facta filii EB: ergo tres KG, FE, NH parali telae sunt interse & communis sectio planorum FAE, & tangentis conum ONII, scilicet AL tangens 46.8 Conum, & figuram EAE in A , δὶ ' parallela erit eidena EF ; & sunt, A R , OK parallelae, nec non ER, GK parallelae: ergo planum EAFese . quidistans plano OKG conum tan ἡ:. ii gentis efficit in stiperficie c'nica F ' parabolam EAF , cuius et dian inter Est linea AR aequidistans lateri contactus coni OK, & Vertex eius est A: atque EF parallela tangenti verticali AL est, ordinatim applicata ,hIi secaturque Abifariam in B cum in circulo linea EF sit perpendicularis
BE factus filitae rualis an io D. IV. a Tandem quia in semicirculo ν qu .dratum BF est aequale rectangulo N BK: & rectangulum C AB factum is , fuit aequale rectan illo NBK: atque in Parabola E AF Irectangulum sub abscissa. & latere recto eius aequale est quadrato ordinatae BF: E
58쪽
o rectangulum CAB ae male est reis tangulo rub abscissa A B, & laterercto Paraboles: estque AB altitudo
ommiinis rectan lorum : ergo la-as rectum Paraboles descriptae ae-
uale est lineae datae C . Quod &c. PROPOSITIO XXVI. Tab.II.
U. 13. Datis duabus rectis li-
cribere Hyperbolam , oppositas sectiones, & Ellipsim , cuius Di meter transuersa sit AB, & linea S sit latus rectum & ordinatim ad ' AB applicatae inclinentur in angula D . Recta AB producta pro hyperbo-.Ia , & intra pro ellipsi, secetur u
cunque in E: & in plano, in quo iacet AB fiat an ullis AEF sequalis, anguIo D ; Postea per FE ducto plano NFE quomodolibet inclinato 'ad planum AEF , ducatur in eo recta NEX perpendicularis ad FE: &inter AB, C ponatur quaelibet recta linea Η: dummodo pro ellipsi , ii-nea Η non sit media pi oportionalis inter AB, C; & fiat a BE ad FK, ut a IV.ix
Patet quando E cadit extra BA lineam NA productam intra triangulum ME, secare Iatus ΒΚ alicubi in o. At si E eadit inter A,B, quia i m non est media proportionalis in ter AB,&C non erit AE ad EN ve
59쪽
K non erimi 4nter se parallelae , sed conuenient alicubi ut in O eo quod tri la ABN & BEΚ non simi aequi, angit la) . Postea diametro NK des cripto circulo NFΚG in plano pex FE , NX extenso , & vertice O, D s eodem circulo , describatur Conus oNK; & in eo extenso Plano per lineas AEFG Dico FAGB
X , sectionem in cono factam esse a figuram quaesitam . Ductis circulum e tangentibus NI, ΚΜ, & sectionem Conicam tangentibus M,. , BPostendetur , ut in precedenti ineas:
NI, ΚΜ, AL, BP parallelas esset eidem applicatae FE G , quae bifariam secatiir in E , quia d perpendicularis est ad circuli Diametrul , NER: &a recta FE ordinatim a plicata erit ad diametriim ABE 1ectionis AFBG , quae in primo casti erit hyperbola , in secundo ellipsis ,
cum Diameter stibtendat anguluna Verticis extra Ti rangulum ONK in primo cata; ω intra in secundo . .
Tandem quia AB ad Ccompotitana rationem habet ex proportione An uad H, seu BE, ad ET; de ex ratione
H ad C , seu AE ad EN . Ergo An
ad C est fui rectati ut anu BEA iai rectangit luin NEK, seu g ad qua', diatum FE , ob semicirculum; sed ob sectionem b rectangulum BEA ad quadratum FE ordinaturi a pli
60쪽
catae, est ut latus transuersum AB ad latus rectum: ergo linea C . est aqualis praedicto lateri recto : &Angulus AEF factus est aequalis amgulo D. Quare &c.
j. Raura et q. IS. Quaelibet recta linea AH parallela diametro trani mersa EB in ellipsi, & sectionibus oppositis , ducta . .utrinque sectio-i occurrit : & bifariam secatura recta linea ZX per centrum G xdinatim applicata ad diamet-
A puncto A ducatur ordinaca A, ponaturque abscissa EP aqualis EO , & ducatur ex P ordinata DP ; conitingatira que recta linea a D ad A. Dico AH coincidere cum AD, secari bifariam in H ab ordinata 2X per centrum G ducta. Qui BO , EP sunt a quales , subtractae, ei additae communi EB. erit Eo a qualis BP: & ideo a rectangulumi EOB .ad quadratum OA , vel re- angulum BPE ad quadratum PDe sit ut latus transuersum EB ad rectum BR: Ergo sicut rectangula i antecedentia sic consequentia quadrata AO, PD aequalia sunt inter . se ; & ideo rectae linea AO, PD sunt aequales , & sunt parallelae inter se: ergo b conitingentes OP, AD