Elementa conica Apollonii Paergei et Archimedis Opera noua & breuiori methodo demonstrata a Ioanne Alphonso Borellio

291쪽

quare recta NE producta d transiiDς ri. per centrum grauitatis residui AR C , quod sit Y: & essicit angulum MχR , seu Eas acutum. Ergo soli e hisLa dum ABC e flectetur ad partes an guli acuti , & talis flexio tandiu per

seuerabit quamdiu axis inclinatu perseuerat, quae selummodo in siti axis erecto cessat . Quare &c. i. . VIII. Fie λ7.Cuiuslibet conoidis pa- irabolici ABC , cuius semierectus , iF minor sit quam radius EB , si axis i

BD magis vel miniis' inclinetur qira , exigit positura stabilitatis ad superit . iciem conuenientis fluidi extante vel demersa tota base AC . nonquiescet conoides , sed sponte redibit ad cande inclinata positura stabilitatis Reperiatur stabilitatis a positu :ah..iri inclinata in qua conoides ABC iky. Io. quiescat innatando base tota extante idii. vel depressa in conuenienti fluido; i' sitque pars demersa Vel eXtans co sinoides obliquus ROS, cuius radiust iMO , & coniunctA ME centra coimi nectens b perpendicularis erit ad si-l. perficiem fluidi transeuntis per RS: i & patet quod in tali positura stabiliri tatis axis DB exigit determinatum angulum D TR cum superficie fui di per RS: transeunte . Iam si axis DB erigatur ut perpendiculariter, insistat super fluidi superficiem,tunc PROPOSITIO XXIII.

292쪽

s Ililii e

alis

Arebimedis

plane quiescet coniades e dum in illa positura persistit . At si deuiat ab illa erecta positura, ut angulus D VG factus ab axe cum superncie fuidi GL sit acutus,sed ut maior quam DTR, tunc non redire ad erectam sed ad inclinatam stabilitatis posituram,sic ostendetur. post translationem pars demersa vel extans sit conoides obliquus GHLcuius axis IIJ,& radius TH. Et quia recta Ity ex puncto R parallela GL eadit inter bases AC, & RS , facile deducitur quod diameter I H. cadit inter NO & DB . - Postea quia idem a fluidum ad eundem coisnoidem innatantem eandem rationem habet quam solidum ABC ad eius partes demersas ,r ergo paristes demersae aequales interse sunt, ει proinde in casu basis extantis duo conoides ROS & GHL demersi sequales interse erunt , & in casu basis demersae sidem conoides extantes pariter interse erunt aequales. er o illius o axis NO aequalis est axi I H, proindeque eorum radia ΜO , ΚΗ aequales quoque erunt. postea a

punctis O, H Ω Κ ducantur ad axim DB perpendiculares OP, Ηc ; quia Mo in s recedit ab axe DB quam distet IH . ergo ex conicis axis abscissa PB maior est quam aB, de eisdem additis aequasibus F

293쪽

TH aequalibus in *arallelogramis . erit summa BF maior quam BX et ideoque XE maior erit semiere FE . quare coniuncta recta EΚfes ciet angulum ErG acutum . & .ET coniungit g centra grauitatum K pa tis demersae vel extantis & E totius conoidis . igitur h conoides ABCfeetetur ad partes anguli acuti DvG a Secundo angulus DVG fiat mi- nor, scilicet acutior quana DTR. . ostendetur ut prius quod condidis GHL axis IH magis recedit ab axe

E minor erit quam FE semierecto axis BD . quare i recta ΚE coniungens centra grauitatum ι Κ & E ei cit angulum EaG obtusum. igiturm flectetur conoides ABC ad paristes anguli acuti ErL . Et hoc se per efficietur , quousque fluidi su-

perficies GL reuituatur ad planum

per RS transeuntem ubi est positura Ninclinata stabilitatis. Quod erat &c. Et actenus faciliori methodo e posuimus ea omnia suae in libro se- cundo insidentium in fluido Archi. . medis extant, de positura Conoi dum parabolicorum innatantium. Post haec ob argumenti similitudinem agilemus de positura quam ser

294쪽

Arebimedis . et οὐ

uane Coni innatantes . quae exigum nouas definitiones.

DEFINITIONES TERTIAE.

b. νIII. Fig. 8. Si intra triangim ρIII. Iam GAH per axim CA coni recti ductiim a medio punctoC basis HG, ad latera GA, HA ducantur perpendiculares CB, & CD . Voco inscriptum quadrilaterum CBAD

Et rectam lineam BD angulos re elos coniuUentem voco basem Rom-bviis & AE axim eius , atque AE is Urtionam vertici conterminatim di CE basi ebulleuam a cir portun- .

PROPOSITIO XXIV. Tabuti

νIII. Fig. 9. In triangulo is scelera ABD si recta EF secans basim BD in C effecerit duo laterum segmenta BE & DF sequalia. Dico quod EF secatur bifariam in C , & e conuerso .

Ducatur Eo parallela DE secans DB productam in O . Et quia trianguliAEOB o est simile trian milo i&scelio, ob parallelas AD , EO. erit in i laete EBO Iatus Eo aequale EB, siue DF. postea in triangulisb smilibus EOC CD , cum homologa latera parallela EO, FD aequasa offensa sint. erunt relictu homologa EC & CF aqualia in- . . M 3 E con-

295쪽

α o Deysociae et Mnnuiro . E contra positis EC, CF χ' - ibus . in triangulis similibus eisdem latera homologa EO suae BE R DF

- χqualia erunt i

coronarium Minc percipitur quod

'si EB maior 'fuerit quam DF. erit quoque Ec maior quam CF,ob ean dem triangulorum similitudinem

PROPOSITIO XXV. Tabia

VIII. Rh. Io. In cono IIIC recto ' cuius axis BG , &obliqui DBF ab eadem superficie compraehensis , si planum per axim BG ductum pex pendiculare quoque fuerit ad ha- coni obliqui , & efiiciat duo triangula ABC, &DBF aqualia . Dico quod coni ipsi sunt aequales idi e conuersis .

Secta FD bifariam in N, & per H ducto plano MLN perpendieuia'

. re ad idem triangulum ABF , erunt a VI.ὸχ α Lli & EP communes sectiones bais 3, in a. sium perpendicularium ad planun ABF, perpendiculares quoque ad

, AC & MN in eodem plano existentes. Et quia triangula ABC. DBF aequalia supponuntuGablato communi trapetio DBCE, erunt

di ideo circa angulos aequales adb Ira 'verticem E b erunt latera reciproca

296쪽

et I cor.

Arabimedis . 27 I ponendo FD ad DE erit ut AC ad CE,& semisses antecedentiu FH ad DE erit ut AG ad CE, &permutando ut FH ad AG ita erit FE ad AE & DE ad CE. quare e quadra' e Ivas tum FH ad quadratum AG erit ut rectangulum FED ad rectane lum AEC, seu d vi rectangulum FND vel quadratum FH ad rectangulum LI HN , vel o ad ei aquale quadra- tum H L in semicirculo . igitur idem quadratum FH eandem rationem , hibet ad duo quadrata ex AG & ex HL , quae proinde aequalia interse erunt. Quia veros Alipsis FLD ad circulum APC est ut rectangulum FH L ad quadratum AG seu Vis re is Iv.i. eia FH ad AG ob altitudines ar-

quales ΗL , AG vel ut dupla Flaad duplam AC. ergo Elliptis FLO

ad circulum APC e1t ut recta FD ad . ri lectam AC. Verum ob triangulo- .rum FBD , & ABC aequalitatem liIV.M

ut basis FD ad basim Azita est reci- proce altitudo BG ad altitudinem BK , perpendiculariter ductam ad G FD, & bae perpendiculares sunt

quoqus altitudines conorum . ergo

eooliqui coni basis FPD ad recti coni basim APC ita est reciproce huius altitudo BG ad illius altitudinem ΒΚ . proindeque conii BDE N i ur.3

BAC sunt aequales interse . Postea sit conus tectus ABC ar-

297쪽

axim 'G ducto plano perpendiculari quoque ad basim FLD. Dico triangulum FBD aequale esse triangulo ABC . Si hoc verum non est fiat I triangulum M BN aequale FBD & simile ipsi ABC. Et compleatur conus rectiis , BMLN, hic ex prim' arte erit aequalis eidem cono BDLΡ. quare duo coni ABPC ,&AMLN aequales sunt interse, pars & totum quod est impossibile sciare &c. . t :c

PROPOSITIO XXVI. , c. .

.adam Iisdem positis. Dico quod portio lateris FC maior est quar AD , & FE maior quam ED . Coniungantur AP, DC & duc tur DO parallela AC . Quia trian gula ADC, & FBD supponuntur

aequalia , ablato communi triangulo CDB , exit triangulum ADC aequale triangulo F DC, & habent basima IV. κ DC communem:ergo is AF paralle-

- la est DC; ideo b FCad CB erith IV. . ad DB; estque BC maior quam BD cum latera AB, CB ini isbscete sint aequalia ) igitur FC ma- ior est quam AD , seu quam CO; eradj estque e FE ad ED ut FG ad co . ergo etiam FE in or est quam ED.

PROPOSITIO XXVII. Tab. VIII. Fig. II.,Si in Cono recto, G

298쪽

AΗ linea EF oblique secans basim BD romboidalis abscindit laterum portiones BE , DF aequales interse . Irico quod CL perpendicula; is centro C ad EF diici a secat bifariam eandem EF iii T. Coni gantur rectae, CE , CF . .Quia triangula CGB ; ' habent an los G aequales'ad bas ii ii scelis G ΑΗ anotos a B . ectos in romboidali , atque hypoch uias G C, H C . aequales excentris, ei uti GH . ergo mera b iCB CD aequalia sunt. Postea in triangulis CBE , V F circa recto; angulos B, D latet, CB CD silexunt aequalia& latera BE , DF ex hypothesi sunt aequalis. ergo bases

, CE aequales erra; Mideo tria angulum ECF erit imo

re illa CL perpendiculariter ad basim EF ducta secabit eandem EF bifariam in L, in quo puncto paritersecat basim romboidalis

PROPOSITIO XXVIII.

299쪽

EB ad quadratum radi; MO im ma- itori ratione quam quadratum sumismae AC, IH ad quadratum sextantis differentiae earundem AC, IH .e reperiatur fluidum RS quod ad iii solidum ABC in specifica grauitate sit ut quadratum EB ad quaaraitim MO . Postea imponatur soliduna A

BG supra fluidum base & axe extati litibus quousque fluidi superficies ut ii

prius attingat planum per RS pe pendichilariter ductum ad planitin is paraboles ABG, Et quia d ut quadratum EB ad quadratum Ilo, ita est conoides ABC ad ROS demer- isum, & ita e quoque est fluidi ad solidi grauitatem in specie. ergo corinoides quiescet in tali positura inna-

ad quadratum se .

di grauitatem in specie maiorem proportionem habet quam quadratum ex summa CA & IH ad quadratum sextantis differentiae earundem AC, IIJ. Quod erat

PROPOSITIO XXI.

a. Iisdem positis reperiri potest fluis clu in quo conoides ABC situ inclinato quiescat innatando tota base &axe integro depressis . sed oportet ut fluidi ad solidi grauitatem in specie in minori ratione sit quam quadrati summae ipsarum AC, IH ad

300쪽

η Archimedis et os

excessum huius quadrati supra qila, dratum ex sextante differentiae carumdςm AC & IH . Hoc demonstratur eodem progre si uno in duabus praecedentibuS pr potitionibus usi rumuS .

PROPOSITIO XXIIaab.VII A S. Si conoidis parabolici recti

ABC radius EB aequalis aut minor fuerit semi ereeto EF parabolae ge- nitricis eius. Dico quod conoides Mon quiescet innatando supra quod libet fluidum eo grauius situ incli- nato,base tota extante, vel depressa; ed sponte ad recta positura redibit. inia conoides ABC secatur a splano superficiei fuidi RS, ab hoc Iecatur conoides obliquus extans vel demersus SOR, cum basis AC tota extans vel tota demersa suppo' ' natur . Et per duos axes BD , & O: N diicio plano hoc a efficiet duas aeomidparabolas ABC & ROS per quarum centra M , & E ducatur recta ΜΕ , & alia MX perpend-ris ad BE , & hae intercipient EX, minorem quam sit semi erectus EF eo quod integer radius EB non sit maior quam bbn.I3

EF b ergo recta ME essiciet anguini tum ΜΖ R. seu EZS acutum. Et quia Μ N est triens axis O N e .discis uel centrum grauitatis cono 37 hoidis ROS. Et limiliter E eriti centrum grauitatis conoidis ABC; , - M qua-