De superficie vngulæ, et De quartis liliorum parabolicorum, & cycloidalium. Tractatus duo geometrici. Authore F. Stephano de Angelis Veneto ..

361쪽

296 nactatus Secundia, dicentra grauitatis solidorum quotandam I de quiabus quum nunquam pereSerint geometrae haud pu tamus geometriae fieri accessionem spretu dignam.

PROPOSITIO XXIII

S primu qvirta Zibi parabolici duplicata circa axis, eum

rectangulo sibi circumscripto rotetur circa latus Axi parallelum, Erit tubus ulindricus circumscriptu annulo orto ex 'otatione prima quartae exterioris,ad imum annu- Ium,misextuplus numerra parabola ἀuodenario auctus, ad triplum nμmerum =uinario auctum.

ΡRima quarta Lilij parabolici B A F D, sit dupli

cata circa axim FD, in B AFST; quaecum rectangulo ML sibi circumscripto laxelligatur rotari circa V ut ex rectangulo generetur cylindrus, & ex duplicata quarta solidum,.quae sunt mente intelligenda, Dico tubum sylindricum ortum . ex gyra tione M D, circa Vri esse ad stlidum ex B A F D, circa V T, in antedicta ratione. Nempe in prima parabola, ut Iri ad 8. In secunda, via , ad I i. In tertia, ut 3 o. ad Iq.& scin infinitum, aucto antecedente sedario , consequente vero te

Nam quum tot tis cylindrus ex M T, facile eli ciatur esse ad totum solidum ex B A FS T, in ratiore dupla, quia est ad ipsum,ut rectangulum, addu- . Ilicatam quartam: erit ad ipsum, ut Ocxuplus nume

rus Diuitigoo by Corale

362쪽

Ius Iris. auctus, quadruplum numerum octonario auetum. Ast ex numero a. schol. s. propositi3. est cylindrus ex FT, circa VT, subquadruplasprioris, ad solidum ex DF ST, circa VT, ut duplus numerus quaternario auctus, ad numerum ternario auctum . Ergo reliquus tubus cylindricus ex MD, erit ad reliquum annulum ex B Α F D, ut sextuplus numerus duodenario auctus, ad triplum numerum quinario auetum. Quod Sc.

Sed ad illud, quod princi paliter int elligitur deue-

363쪽

198 rra aω me itan , latendo, ΠIindrus, solidum intelligantur secti se no erecto figuris genetricibus, & aequidistantempsi UT, &transeunte per FD, ut exsectione cylindri generetur rectangulum G D, & ex sectione solidi se- uti figura B HEDiquae sint seorsim posita ad e, ptum facilitandumὶ ut KD, sit idem ac FD, Mintelliganius G D, cum B H Κ D, rotari circa E D. Cum haec solida genita sint propoitionaliter analinga cum antedictis. Erit etiam cylindrus ex GD, ad solidum ex B HKD, ut sextuplus numerus duodenario auctus, ad triplum numerum quinario

Quod s super M P, & super B AF D, concipia tur cylindrici recti atquealti secti diagonaliter bano transeunte per UT, & per latus oppositum ipsi

364쪽

c A. BAFD, habebimus cubatiothees: Haec autem erit

eadem cum cubatione trunci sinistri cylindrici recti extantis super B H h D, figura seorsim posita, & r secti plano diagonaliter transeunte per ED, &perlatus oppolitum ipsi GB. Quae omnia sunt clarisisma ex saepe sepius in nostris operibus patefactis.

Pariter si solidorum rotundorum dictorum alvu quando reperientur centra grauitatis: assignata pariter crunt centra aequilibrij dictorum truncorum. cylindricorum secundum axes appensorum. Quae

omnia facile intelligentur ad similitudinem sepe sumptus explicatorum.

365쪽

ΡROPOSITIO XXIV.

i Mnubpropositionis anteceae . possumus iis ipsus axi centrum 'gramtatis assignare o

triplus numerus unitate auctus , ad numerum unitate auctum . Ergo ex schola l. proposit. I. erit Z, centrum grauitatis solidi ex B A F S T o inuentatur in UT, ex schol r. proposit. 6. centrum grauitatis solidi ex DF ST, reuoluta circa UT, & sidhoc &fiat hi Z, ad Eo, reciproce , ut annulus ex B A F D, ad solidum ex D F S T r nempe ex. schol. s. proposito I. ur quintupluS numerus ternario auctus, ad triplum numerum Vnitate auctum. E fit, inuentum O, tanquam centrum: grauitatis, dictis annuli ia

Sed, ut explicatum suit in scEol. proposit. Grec dent. existente annulo proportionaliter analogo cum selido orto ex rotatione semifigurae B HED, seo sim pplitae , circa E D. Habebimus in E D, centrum grauitatis dicti solidi. Quare ipsius tenebimus Si mensuram , & centrum grauitatis. Reliqua latent. Quare & ipsa figura augebit numerum alias

366쪽

De quanis Liliorum Parab. oec cc sol explieatarum , dc geometri ' speculanda propo

ΡROPOSITIO XXV

s prima quarta Libi parabiaci duplicata circa basim . eum

refrangulo circumjcripto rotetur circa latus rectanguli basi parallelum o Erit tubus Ilindricus circumscriptas annulo orto ex quarta exteriori, ad ipsum annulum, me. duodecubus numerussenario auctus, adquintuplum uu- merum ternario auctumo

AST prima quarta dicta sit duplicata circa ba

si in BD, in F A BS T, quae cum M T, rectangulo intelligatur rotari circa MF. Dico tubum cylindricum ex rectanguio -V esse ad annulum ex quarta T s B D, in dicta ratione. Nempe in prima parabola, ut 1,ad 8. In sec. ut 3 o. ad i3. In teristia, ut qz. Et sic in infinitum, aucto antecedenti duodenario, consequenti vero quinario oPariter enim nunc , cum sit totus cylindrus ex MΤ, circae M F, ad totum solidum ex duplicata quarta in ratione dupla: nempe ut sextodecuplus numerus octonario auctus , ad octonarium numerum quaternario auctum. Et quum ex numeroq. schol. r. proposit. 3. sit cylindrus ex DM, circa MF, prioris subquadruplus, ad solidum ex DB AF, circa MF, ut quadruplus numerus binario auctus , ad triplum numerum unitate auctum. Erit reliquus tu-

367쪽

3ox Trasutus Secunias. bus cylindricus ex V D, . ad reliquum armatάm eieΤSBD, ut reliquum, ad reliquum . nempe, vidum decuplus numerus senario auctus,ad quintuplum n merum ternario auctum . QVd - ,

SCHOLI V M.

Solidis lactis rectangulo GD, & semifiguraia

B H h D, transeuntibus per BD, ut supra explicatum fuit,&his omnibus rotatis circa BD. Erit cylindrus. ex GD, ad solidum ex B HED, in dicta ratione. Sicuti erunt assignabiles cubationes. truncolum- cylindricorum Sc

PROPOSITIO XXVI,

AN Oproposit. auteceae possumus in ipsi saxi contra graduitatis assigrare .

numerus ternario auctus, ad numerum Vnutate auctum. Ex schol. I. proposit. a. erit Z, centrum grauitatis totius solidi ex duplicata quartaci ca MF, reuoluta. Inueniatur punctum R, tanquam centrum gratii tatis solidi ex qlia ita DBA F, rotata circa MF, ex schol. i. proposit. 8. & fiat RZ, ad ZO, ut annulus ex TS BD, ad solidum ex UBAE: nempe exschol a proposit. .ut triplus numerus qui

368쪽

,ario auctus, ad numerum ternario auctum. Erito, centrum grauitatis dicti annuli.

Consequenter erit repertum in BD, centrum gru

369쪽

3οι nactatus Secundus uitatis semifigurae E H B D, rotatae circa B D. Cum verbdicti solidi sit etiam assignata mensura, di reliqua semifigurae aceidentia ignorentur: propouaturci ia m haec geometris.

PROPOSITIO XXVII

Si fecunda quarta Lilis parasoliti duplicata circa basim, cum

rectangulo circumscripto rotetur xirca latus rectanguli basi parallelum. Erit tubus cylindricus circumscriptus avnulo orto ex quarta exteriori, ad ipsum annulum , moduodecuplus numerusparaboia 24, nitatibus auctus, at quintuplum numerum denario auctum ,, συπὰ cum duabus partibus initatis diuisae secundum numerum

nitate auctum.

A T v A F D, supponatur secunda quarta Lilii

parabolici, de quidem duplicata circa basim BD, in FABST.& cum M T, rotata circa M F,&c. Dico tubum ex T B, esse ad annulum ex Tin D. ut explicatum fuit. Nempe in prima, vd 36, ad I GIn secunda, ut q8. ad aol. In tertia, ut 6O, ad Et sic in infinitum. Etiam enim nune totus cylindrus , est ad totuimannulum in ratione dupla: nimirum ut sextodecuplus numerus parabolia 32. unitatibus auctus, ad octu-plum numerum I 6, auctum. Ast cylindrus ex DM, iubquadruplus cylindri ex TM, est ex schol. . pro-p0sit f. ut quadruplus numerus octonario auctus, ad

370쪽

triplum numerum quinario auctum , Una cum rei, quis partibus unitatis sectae secundum numerum Vnitate auctum, duabus partibus ablatis . Ergo reliquus tubus cylindricus erit ad reliquum annulum . Vt reliquum, ad reliquum: nempe, ut duodecuplus numerus aq, auctus , ad quintuplum numerum de