장음표시 사용
161쪽
AD GEOMETRIAM SITI PERTIREXTIS. ias
numerus ducit, capi debet. Sin autem numerus Omnium vicium uerit unitate minor, quam pontium numeru8 nitate auctus, tum transiitus succedet incipiendo e regione, in quam par pontium numerus ducit, quia hoc modo vicium numerus unitate est augendus. f. I . Propossit ergo quacunque aquae pontiumque
sigura, ad iuvestigandum, num quis per singulos semel transire queat, sequenti modo operationem instituo. Primo singulas regiones aqua a se inuicem diremtas litteris , B, C etc. designo. Secundo sumo omnium
pontium numerum, eumque nitate Ugeo, atque sequenti operationi praefigo. Tertio singulis litteris A, B, C etc. sibi substriptis, cuilibet adscribo numerum pontium
ad eam regionem deducentium. Quarto ea littera , quae pares adscripto habent numeros signo asterisco. Quinto singulorum horum numerorum parium dimidia adiicio, imparium vero unitate auctorum dimidia ipsis adscribo. Sexto hos numeros ultimo scripto in unam summam coniicio, quae summa, si et unitate minor fuerit vel aequalis numero supra praefiXo, qui est numerus pontium Vnitate auctus, tum conchado transitum desideratum perfici posset. Hoc Ver est tenendum, si summa inuenta fuerit unitate minor, quam numeruS supra positus, tum initium ambulationis e regione asteristico notata fieri debere, contra Vero e regione non
signata si summa suerit aequalis numero praestripto. Ita ergo pro casu Regiomontano operationem instituo, ut sequitur:
162쪽
Numerus pontium , habetur ergo
Qtata ergo plus prodiit quam , huiusmodi transitus nequaquam fieri potest. pigura a. f. as Sint duae insula A et i aqua inircum
datae, quacum aqua communicent quattuor fluvii, trem admodum figura repraesentat. Traiecto porro sint ii per aquam insulas circumdant Imr et fluuio quindecim Ponte a, b, c, d, etc. et quaeritur, num qui cursum ita instituere queat, ut per omne ponte tranSeat, per nullum autem plus quam semel. Designo ergo Primum omne regiones, quae aqua a se inuicem sunt
163쪽
AD GEOMETRIAM SITVS PERTINENTIS. 1 a
Tertio litteras , B, C ae sibi inuicem subscribo, et
ad quam lite numerum pontuim, qui in eam regioncm ducunt pono, ut ad A Octo ducunt pontes, ad B quatitor etc. Qtiario littera S, quae pare adiuncto, habent nil meros sterilco nolo. Qtiint in tertiam columnam scribo parium numerorum dimidia, impareM Vero ni tale augeo, et semisse oppono. SeXto tertiae 4olumnae numeros inuicem addo, et obtineo summam G. quae cum aequali sit numer supra posito a s. se iubtur 'ansitum desiderato modo fieri posse, si modo ii
sus vel ex regione o vel in incipiatur quippe quae
non sunt sterisco notatae Cursus autem ita feri po
ubi inter litteras maiusculas ponte simul collocaui, per quos fit transituS. f. 6. Hac igitur ratione facile erit in casu quam maxime composito iudicare, trum transitu per omnes pontes semel tantum fieri queat, an non. Hoc tamen adhuc multo ficiliorem tradam modum idem dignoscendi, qui ex hoc ipso modo non dissiculter eruetur, postquam sequentes obseruationes in medium protulero. Primo autem obseruo omne numero pontium singulis litteris A, B, C adlcriptos inaui stimios duplo maiores esse toto pontium numero. Huius rei ratio est, quod in hoc computo, quo ponte omnes in datam regionem ducente numerantur, quilibet pons bis numeretur; refertur enim quiSque pota ad Utramque regionem , quas iungit.
164쪽
*. 1 . Sequitur ergo ex hac obseruatione summam omnium ponti uin, qui in singulti regione conducunt, esse numerum parem, quia eius dimidium pontium n mero aequatur. Fieri ergo non potest, et inter numeros pontium in quamlibet regionem ducentium nicus sit impar neque etiam tore sint impareS, neque quinque, etc. Qitare si qui pontium numeri litteris A, B, C, etc, adscripti sunt impares, necesse est ut eorum numerus sit par, ita in exemplo Regionaon tano quatuor erant pontium numeri impare litteris regionum A, B, C, D adscripti, Vti e g. l. Videre licet atque in exemplo praecedente . Is duo tantum sint numeri impares, litteris D et E adscripti. f. 8. Cum summa omnium numerorum litteris A, B, C etc. adiunctorum aeque duplum pontium numerum, manifestum est illam summam binario auctam, et per et diuisam dare numerum operationi praefiXum Si igitur omnes numeri litteris A, B, C, D etc. adscripti suerint pares, et eorum singulorum medietate capiantur ad numeros tertiae columnae Obtinendos, erit horum numerorum summa nitate minor, quam numerus praefixus. Qiramobrem his casibus semper transitus per omnes pontes fieri potest. In quacunque enim regione cursus incipiatur, ea habebit ponte numero pare ad se conducentes, ii requiritur. Sic in exemplo Regio montano fieri potest, ut quis per omne ponteS bis transgrediatur, quilibet enim pons, quasi in duos erit diuisiuS, numeruSque pontium in quam ui regionem d centium erit Par.
165쪽
a smMVTRIAM SITUS PERTINENTIS. rast
*. 9. Praeterea si tro tantiam numeri litteris A, B C etc. adscripti sieritat impares, reliqui Vor OnineSpares, tum semper desiderii tus tam situs si iccedet, si modo cursus ex regione ad quam pontium impar numerus tendit incipiatur. Si enim pares numeri bisecentur atque etiam impare Unitate audi , Ut praeceptum est, imma harum medietatum nitate erit maior quam numerus pontium, ideoque aequali ipsi numero prae fixo. Ex hocque porro perspicitur, si quatuor vel sex vel octo etc. ierint numeri impares in secunda columna, tum immam numerorum tertiae columnae maiorem fore numero praefiXΟ, eumque Xcedere vel
unitate, Vel binario Vel ternario etc. et idcirco transitus fieri nequit. f. O. Casu ergo quocunque proposito statim sa-cillime poterit cognosci, utrum transitu per omnes pontes semel institui queat an non, ope huius regulae. Si fuerint plures duabus regiones, ad qua ducentium
pontium numerus est impar, tum certo mi mali potest, talem transitum non dari. Si autem ad dua tantum regiones ducentium pontium numerus est impar, tunc tranSitus fieri poterit, si modo cursus in altera harum regionum incipiatur. Si denique nulla omnino fuerit regio, ad
quam ponte numero impares conducant, tum transitus
desiderato modo institui poterit, in quacunque regione ambulandi initium ponatur. ac igitur data regula Problemati proposito plenissime setisfit. S , f. a I.
166쪽
, 6 SOLUTI PROBLEMATIS AD GEOM. ere.
f. I. Quando autem inuentum uerit talem trans itum institui posse, quaestio superest quomodo cursus sit dirigendus. Pro hoc sequenti tor regula tollantur cogitatione quoties fieri potest, bini pontes, qui X una regione in aliam ducunt, quo pacto pontium numerus vehementer plerumque diminuetUr, tum Uaeratur,. quod facile siet, cursus desideratu per ponte reliquos, quo inuent pontes cogitatione sublati hunc ipsum tir- sum non multum turbabunt, id quod paululum attendenti statim patebit; neque opus esse iudico plura adcursus rei a formandos praecipere.
167쪽
ΡLurima quondam a Fematio theoremata arithmetica d sine demonstrationibus in medium sunt
prolata, in quibuS, si vera essent, non solum Ximiae numerorum proprietate continerentur, Verum etiam ipsi numerorum scientia, quae plerumque analyseo limites excedere videtur, vehementer esset promota. Qiiamuis autem iste insigni Geometra de pharibus, quae proposilit,ilaeoremati asseruerit se ea vel demonstrare pos se, vel saltem de eorum Veritate esse certum tamen nusquam, quantum mihi constat, demonstrationes e posuit. Quin potiti Fermathι Videtur maximam the rematum suorum numericorum partem per inductionem escte assecutus, quippe quae via sere unica ad huiusmodi proprietates eruendas patere videatur. At vero quam parum inductionibus in hoc negotio tribui possit pluribus exempli possem declarares e quibus autem ni-
cum ab ipso Fermatio desiumtum attulisse sussiciat. Lo- a quor
168쪽
quo nimirum de illo theoremate, cuius falsitatem iam aliquot ab hinc annis ostendi, quo ei alius asserit omnes
numero hac forma et ' -- comprehensos esse numeros primos. Ad Veritatem autem huius propositionis euincendam inductio omnino sussicere videatur. Nam praeterquam quod omne isti numeri minores quam Io OOo sint reuera primi, demonstrari etiam facile potest nullium numerum primum, O non Xcedentem hanc formulam et ' H 1, quantumuis magnu etiam numerus pro i substituatur, metiri. Cum tamen nihilominus constet hanc propositionem veritati non esse consentaneam, ficile intelligitur, quantum inductio in huiusmodi speculationibus aleat. q. . Hanc ob rationem omnes huiusmodi numerorum proprietates, quae sola inductione nituntur, tamdiu pro incertis habendas esse arbitror, donec illae vel apodicticis demonstrationibus muniantur et omnino reis fellantur. Non plus etiam illis theorematiS, quae ego ipse illi schediasmati, in quo de memorato theoremate Fematiam numerisque persectis tractaui, subieci, fidendum esse censerem, si tantum inductionibus, qua via quidem sola tum temporis ad eorum cognitionem e ueni, niterentur. Nunc vero, postquam peculiari me thodo demonstrationes horum theorematum firmissimas sum adeptus, de Veritate eorum non amplius est dubitandum. tiocirca tam ad veritatem illorum theorematum ostendendam, quam ad methodum ipsam, quae sorte etiam in aliis numerorum inuestgationibus ot litatem
169쪽
AD NUMEROS PRIMOS SPECTANTII M. I a
litatem afferre poterit. in hac dissertatione meas i monstrationes Xplicare constitui. f. 3. Propositio autem, quam hic demonstrandum suscepi, est sequenS: Signiscant numeri primimr, formula ast ' - I semper per diuidi poterit, nisi a pers diuidi queat. Ex hac enim propositione demonstrata sponte reliquorum theorematum Verita fluit Casium quidem sormulae propositae, quo et a 2 iam ab aliquo tempore demonstratum dedi; attamen tum demonstrationem ad generalem Ormulam Xtendere non licuit. tiamObrem primo huius casu probationem asserre conueniet, quo transitus ad generaliora eo ficilior reddatur. Demonstranda igitur erit sequens propositio: Signiscant numerum primis imparem quemcunque, jormula 2 semper per Diuidi poterit.
etc. cuius serae terminorum numerus est, et pro inde impar. Praeterea quilibet terminus, quamui habeat fractionis speciem dabit numerum integrum quisque enim numerator, Uti satis constat, per suum denominatorem diuidi potest. Denato igitur seriei termino primo I erit I - p
170쪽
quorii numerus est - et propterea par Colligantii igitur bini quique termini in nam sitim mam, quo terminorum numerus fiat duplo minor erit ρ'
etc. cuius seriei ultimus terminus Obis numerum Imparem erit h Apparet autem singulo termino per posse diuisibiles, nam,cum p sit numeria primus et maior quam ullus den minatorum sector, nusquam diuisione Olli poterit. tiamobrem si fuerit numeria primu impar, per illum semper et diuidi poterit. Q. E. D. Ahter Si p per numerum primum p diuidi potest, diuidi quoque poterit eius duplum 'ρ- et vicitassim est χρα I es t i 1 Quae series' terminis primo et vltimo truncata dat φ p -ρ et Perspicuum autem est istius seriei quemvis terminum per pom diuissibilem, si quidem p uerit numerus primus. Quamobrem etiam semper 2ρ- per p et Propterea quoque p. I per sdiuidi poterit, nisi sit pia E. D. q. s. Cum igitur 2 - per numerum primum imparem p diuidi queat facile intelligitur pers quoque diuidi posse hanc sormulam ' Θ' - denotante in numerum quemcunque integrum. Quare sequentes o