장음표시 사용
171쪽
AD NUMEROS PRIMOS SPECTANTIUM. I s
etc. per numerit primum 1 diuidi poterunt. Demon strata igitur est veritas theorematis generali pro omnibus casibus, quibus a est quaevis binarii potestas, et pquicunque numerus primus praeter binarium. f. s. Demonstrato nunc hoc theoremate eius Ope sequens quoque demonstrabimuS.
Densante p tWrrum primum quemcunque praeterra,
per illum semper haec formula a diuidi poterit.
Si a ' - per numerum primum p Xcepto a diuidi potest, tum p - perpdiuidi poterit, quoties pluerit numeru primus quicunque, et vicissim. Est vero p -- . 2p 3- - 2P, cuius serie singuli termini praeter primum et vltimum per sdiuidi poterunt, si quidem suerit numerus primus Per Digitur diuidi potest ista sermula ap-2p-I, quae aequali est iii a -a ap - 2. At p in semper per numerum primum diuidi potest ergo etiam ' a. Quare - semper per diuidi potest, quoties p uerit numeru pri mus Scepto Q. E. f. 6. Eodem modo ulterius progredi liceret ab hoc ipsitus a valore ad sequentem nitate maiorem. Sed quo demonstrationem generalis theorematis magis concinnam magisque genuinam eiciam, sequens praemitto
172쪽
t 6THEOREMAT QUORUNDAM DAE .cte. Theorema.
Denotante umerum primum s at a per uidi potes tum per idem p quoque 1brmula a H I P a a dividi poterit.
ia' a per hypothesin per diuidi potest, ergo et
I - - a)ρ-a-T Q. E. D. g. . Cum igitur, posito quod per j i- inerum primum diuidi queat, per quoque haec sor mula a H I)ρ-a- diuisionem admittat sequitur etiam a--2 p a- , item a ' a' - - et generaliter a --b ἴ-a per diuidi posse. Posito autem a 2 quia p-2, t iam demonstrauimus, per diuidi potest, perspicuum est formulam b-- et o b et diuisionem per I admittere debere, quicunque integer numerus loco b substituatur. Metietur ergo formulamas' - 1, nisi fuerit a p vel muliipio ipsius . Atque haec est demonstratio generalis theorematis, quam tradere suscepi.
173쪽
Ethodus uniuersilis series summandi , quam exeunte praeterito anno Xpotui, latissime quidem patet, cum e solo termino generali seriei disto exhibeat brmulam summae seriei aequalem interim tamen dissiculter ad eiusmodi series, quarum termini generales algebraice Xprimi non possimi, sed vel exponentiales quantitate inuoluunt vel etiam transcendentes, accommodatur. Cum enim posito termino X , cuius inde est x, sit summa seriei a prid a termino usque ad X
ficile apparet si X s litem huium odi quantitate a in- uolitat, tam Xpressionem X dae quam differentialia ipsius X ad logarithmos deduci, Unde maxima oritur molestia in summa quaesita sitiem proXime assignanda. g. et Praeterea etsi X fuerit quantitas algebraica, tamen saepius eius differentialia, quae ad summam obtinendam sumi debent, tam fiunt complicata, Vt non solii in dissiculter exhiberi queant, sed etiam seriem non mulium convergentem praebeant, ut id euenit in serie j H Μιφι etc. circuli quadraturam continente.
Cuius dissicultatis ratio in eo potissimum versatur, quod a indi-
174쪽
indices terminorum unitate restentes assumsi, quas si alio numero crescentes sumsissem, terminus generalis X sorte
tractabilim prodiisset. Denique si terminus 2neralis X ne quidem exhiberi potest, ut id in plurimis seriebus accidit, tum data formula summam Xhibem ne sum quidem habere potest. f. a. His dissicultatibus quomodo occurrere possem diu sum meditatus, tandemque obseruaui e eodem pri cipio, cuius ope illam sormulam inuenissem , alias quoque formulas elici posse ad quasque series summandas idonea, quibus exhibiti pro quassis oblata serie, ea sormula sit eligenda, quae esset commodissima. EX quouis
autem huiusmodi formularum genere conueniens visilmest, ut binae in mulae tradantur, quarum altera apta sit ad series a termino primo ad datum Sque terminum summandas, cuiusmodi erat Ormia iam ante a me communicata, altera ero ad series a dato termino in.
infinitum usque summandas. Quam ui enim haec posterior summatio e priore fluat, tamen Xpediet pro hoc casu peculiarem formulam praebuisse. q. . Incipiam igitur a seriebus, quarum terminus generalis algebraice potest Xhiberi, pro quibus etiam methodus in praecedente schediasmate data inseruit; sed indices in progressione quacunque arithmetica progredientes assumam, quo formula inuenta latius pateat saepiusque commodiorem calculum suppeditet. Sit igitur series ab initio ad datum usque terminum summanda
175쪽
SEMESE MANDI ULTERIUS PROMOTA. a s
A-DB--C HX Sxbi indices hiantitate b crescunt, primique terimini Attide est a. Ponatur huius erici si amma S, in qua expressione si loco X substituatur X-b perspicuum est eam exhibituram summam eandem demto X seu ore aequalem ipsi S X. At si in S loco x ponatur X-btum prodibit pay- Idy IIὸP- etc. Vnde sebitur sequens aequati et sed Trabs' US .u -- etc. Ex hac Vero aequatione elicitur ista formula
176쪽
atque summa seriei '-- a--by-- a--2 by Quae expressiones simile sunt eis, qua pro summi potestatum numerorum naturalium in superiori dissertatio ne dedi, atque e ii quoque facile formantur. g. 6. Sit nunc ad alteram huius generis formulam inueniendam series a dat termino , cuius index sit in infinitum usque summanda, haec scilicet
stans est adiicienda ut fiat si ponatur X cui si enim terminus ciam uerit infinitesimus seu ultimus in serie, summa debet esse evanescens, si quidem series finitam habeat summam, pro quo casu haec formida est accommodata. q. Quo sus huius formulae appareat, si X ἡ seu ista series bH si H- b i H etc. in infinitum
177쪽
sERIES SVMMANDI ULTERIUS PROMOT . 1 uex
si constantem non rcquirit, cum per se evanescat posito Eo magi mitem convergit haec series quo maior fuerit ae respectu ipsint b. tiare si datae seriei aliquot termini initiales addantur adtu, reliquorum hac methodo summa inuenta illi aggregato addita dabit summam propositae seriei in infinitum continuatae. g. . Sed missis his, quae priorem regulam tantum commodiorem reddunt, progredior ad series summandas, ad quas illa sormula non suffcit. Sit nimirum series summanda, in qua signa terminorum alter nantur, uti
IN 'υν etc. et comparandi terminis homologis
178쪽
ita debet sis comparata, ut fiat haec summa a posito aetata a. q. . Ulterius autem huius formulae terminis continuatis prodibit possit summa huius seriei
q. Io. Consideremus nunc huiusmodi seriem in in finitum productam, scilicet
179쪽
SERIES SVMMANDI ULTERII PROMOTA. isa
TIO, Ozo 9 I9Is q. r. ad quam si praecedentium terminorum Ἀ-j-- - etc. , inuenta summa addatur, prodibit quarta peripheriae Tars radio existente I.
12. Hae iam formulae hactenu traditae , quo facile expediri queant calculo, requirunt, ut X sit iunctio algebraica ipsi a X, cuius disserentialia cuiusque gradus commode Xhiberi queant. Vi enim vel ne vix quidem istaeirmulae in sum Vocari possent, si huiusmodi quantitas Xponentiali is in termino generali progressionis inesset. Pro huiusmodi ergo progressioni bus, hoc termino generali n*, ubi X ut ante deno ta sun istionem algebraicam ipsiuS v, contenti aeculia-
180쪽
res formulas summatrices erui coniueniet Sidi itaque ista Series
P tas TF etc. X qua aequatione valor ipsius S erui debet. q. 13. Ponatur igitur ' m, eritque i H I;
ὀaD - etc. I in terminis homologis comparandis posito breuitatis ergo m-1 Ita ut sequitur