장음표시 사용
491쪽
proeedens. Nautem bene intelligatur quid sit verseas eoelusionis Geometrieae,& alia huc spectantia, lege Tractatum nostrum de natura Mathema. tirarum in fine operis nostri de Ioeis Mathem. ubi dictum est quid sit Materia intelligibilis , quae sola capax est geometrieae veritatis, & perfectionis r ea autem est quantitas abstracta,&e. fie vera & geometrica aequa inlitas ea est, qua duae,v.g. lineae ita lant aequales ut nullum omnino discrimen intersit, non solum sensibile , sed nee intelligibile. quaedam enim adsensum videri possunt aequalia, quae tamen geometrice & vere non sunt ae qualia. ubi notandum est Geometram, dum demonstrat, supponere se habere hane Materiam intelligibilem praesentem, atque in ipsa posse se operari , idest, ducere in ea lineas, angulos , triangula, &e. & quanuis in suo Λbaeo delineet lineas & figuras sensibiles, non tamen propterea ut ait Arist.tex. as. primi poster. falsum supponit. quia delineationes illas sensibiles pro intelligibilibus supponit, ut melius intelligatur.& ut ait Aristoteles Geometra nihil concludit eo quod haee est linea sensibilis, quam ipse exponit, sed virtute illius intelligibilis, quae per sensibilem ostenditur. 4cquanuis haec materia intelligibilis nulla nune extaret, satis est si possit extare, scientia enim abstrahit ab existentia sui subiecti.
Forma Geometricae Demonstrationis.
HAne debemus elieere ex Euelidis,& aliorum demonstrationibus qui
Primo Ioeo ponit Propositionem, quae stilicet proponitur ut Pr betur . vel ut effetatur ἰ illud dieitur Theorema, hoe Problema. Secundo Propositionem explieat apposita figura, quae in problemate eontinet quaedam Data, dantur enim vel puncta, vel lineae, vel anguli, &: sie in prima Euelidis,datur linea una, in secunda datur linea & punctum. in Theoremate exhibetur figura de qua passio demonstranda est, idest, quae est subiecta
demonstrationis: sic in quarta exhibentur duo triangula , de quibus demonstrandae sunt aliquot aequalitates, & in ijs explieatur propositio. Tertio, sequitur Constructio, ut plurimum enim praeter data, de subiectae aneeesse est ad demonstrandu eo ruere alias lineas, vel angulos, vel cireu los,&e. fie in Prima Euelidis construuntur duo cireuli, di duae lineae. in . omni problemate necessaria est eonsti uctio saltem ipsius problematis. in Theoremate, nulla aliquando opus est tonstructione,ut patet in I . primi. Quarto; sequitur discursus eirea figuram eonstructam, qui proprie est ipsa Demonstratio proeedens per enthymemata, quae probat aut factum esse, ut verum esse, quod proponebatur. hi autem discursus geometriei debent esse breues, & simplices, & propterea nihil in eis reperitur, quod ex praecedentibus non filiam manifestum, Sideo procedit enthymematice non syllogistiee; quamvis possit ad formam syllogistieam reduci, ut pa
492쪽
ae minus perspieuum ,& multa essent saepius repetenda , flesuperuleaneandemonstratio porro quo breuior, ae simplieior,eo melior. Est autem omnis demonstratio aut osten fiua, ant ad impossibile. Ostensiva ostendit petcausam materialem, aut formalem, aut a signo e Quae ad impossibile est, vel dedueit contra prineipia, vel contra demonstrata, vel eontra hypote sm, seu suppositionem. Sexta primi repugnat principio illi totum est maius sua parte. vij. est contra v.xxv. est contra hypothesim. Quinto. Tandemvliima pars huius distursus est conclusio , quae est ipsa propositio iam de monstrata, cur in Problemate subditur, quod erat faciendum; in Theore male vero, quod erat demonstrandum. sciendum p aeterea Lemma ess quandam demonstrationem in gratiam alterius demonstrationis ne ipsa
demonstratio prolixior euadat. Vide Clauium duobus eapit. vltimis prinlegom: in Euclidem.
OVoniam Paralogismus, seu Pseudographia, est fallax demonstrati
sequitur ut nunc de ea breuiter tractemus, hoc est de fallaeijs, seu erratis , quae aduersus rectum demonstrandi usum committi solent, quarum
Prima sit, si quid ab Authoritate probetur; haec enim ratio,nec conui eit, nee Geometrica est, idest, non proeedit ex proprijs Geometriae principijs, aut demonstratiS. Secunda est, eum quis ratione, seu experientiata sensus utitur, ut si quis probaret in praesenti triangulo lineam D E. quae est basi B C. parallela, ess eadem basi minorem , ex eo quod ipsis oculis id percipiatur; esset fallacia, quia Geometria tractat de materia intelligibrii,consensibili,nec sensus p test semper percipere ina qualitatem; potest enim linea DE. esse adeo proxima hasi BC. ut oeuluS
vel lynceus nullam cernat differentiam; semper ta men Geometrice ostendetur minor. ad hane fallaeiam redueitur mensuratio, ut si quis aut Circino,
aut alio instrumento, utranque ex dictis lineis metiretur , indeque Protharet illam esse minorem. Tertia deeeptio in qua Tyrones sere omnes imcidunt, est uti cireulo sensibili ad ostendendam aequalitatem linearum, v. g. in praesenti Is Oleel AB C. ducta DE. pararella basi B C. probandusit duas lineas A D. Α Ε, abscindi uales, & ad id construat quis circulum ex Α,interuallo A D. hic circulus transibit etiam per L. ad sev svm e ub
493쪽
denter. si igitur disturrat fie, lineae Λ D. A E. sunt ductae 4 eentro A,ad ei
cunferentiam DE. ergo sunt aequales. erit fallacia sensus , quia indoprobat,quia oculo id eernit.eertum quidem est lineam A D. pertinere a. centro ad circunferentiam, sed auxilio sensu saon est certum lineam A E. praecise terminari in ipsa circunferentia, quia non est ducta post descriptu circulum,nee iupponitur circulum transire per E. &quanuis Euclides in Prima,& aliis, utatur etreulo ad ostendendas lineas aequales, id bene habet, quia in Prima lineae ducuntur saltem una post factum circulum , qui per extremum alterius lineae transit ex hypothesi. in Seeunda vero propofitione ductis iam lineis circulus deseribitur interuallo minoris secans maiorem, quare pars maioris intra circulum intercepta necessario ducitur a centro ad circunferentiam, & sic illae duae probantur aequales. Q aarto, fallaciter demonstramus, quando in constructione assumitur aliquid, cuius constructio ignoratur, ut si ad quadrandum eireulum dicat quis, sumatur linea recta aequalis periferiae circuli; hoc enim geometriee nondum inuentum est; & si mechanice, vel organice fiat nititur sensu ; similiter peccant omnes demonstrationes in quibus usui sunt lineae puctuari Ies, ut est linea Cochoidis Nicomedis apud Clauium in Geometria practis' Ii. g. p. 13. & linea Quadratix apud Clauium ad finem 6. Euclid. huiusmodi
enim lineae non sunt quid continuum, eum ex punctis eonstent, & propterea nequeunt partes ipsiarum praecise haberi, cum incertum fit ubinam sine puncta lineam constituentia. in Quadratice praeterea ultimum punctum haberi nequit. Nicomedes paralogizat ducens lineam quandam quae ter minatur adConchilem puuctu alam,quia incertum est an ad unum ex pua-ctis illis desinat, secus terminari ab ea nequit. Quinta, est eum utimur communibus principijs aliarum seientiarum, sic Bryso in quadrando circulo utebatur, hoc prineipio, quaecunque sunt simul maiora & minora ijsdem, sunt inuicem aequalia, quod commune est magnitudinibus,numeris.temporibus,& qualitatibus & ideo ab Aristotile reprehenditur text. primi poneri vade nostram illius loci explieationem rΗine etiam non licet Geometrae uti illo prinei pio quae sunt eadem uni ter tio sunt eadem inter se, quia est commune alijs scientijs, sed pro eo ut, debet hoe; quae su ni aqua lia uni tertio,&c. Sexta, Rationes probabiles apud Geometras habetur pro paralogismis, ut si quis probaret superiore linea in D E, quae est bala aequid illas,esse minorem basi. B C. ex eo quod sit in angustiori loco, quam fit basis: deciperetur quia ibi poni potest linea maior basi,quae tamen non sit ei aequi distans. Septima. Djcitur principii petitio, estq;,quado in discursu assumitur pro vero id, quod est demonstrandu m. i. quod in principio positum est. Ari s . r. Priorum, c. 2I .affert hoc exem plum; vult quispia ostendere duas in seqv. figura lineas A B. C D. esse parallelas, quod faciat angulos alternos A G H. GH D. aequales, nam hoc posito per urge lima septima primi, id seqlinurrvo .lezs postea probare tales an Sulos este aquale&, id probat, ex eo quod sune
494쪽
hardu,stilicet,lineas ΛΒ.C D. esse parallelas Eamdem peeearet fallaeiam qui di mons rationem albquam eitaret, quae ex de-n Onstranda pcndcret, seu
sequere tur, ut si quis pro. haret I 6.p.per 3 3.primi. Octava, aliquando Tyrones dum demonstrationes Euelidis repetunt lalluntur ob similitudinem demonstrationum, sie aliquando probant a gulcs ad basim esse aequales in s. per ε. nium illi anguli opponuntur aequa libus lateribus,ergo inserunt per ψ. sunt squales.ei ror est quia in Gid pro hatum est ia ductua diuerta triangulis, in s. autem probandum est in uno
Nona, dieitur fallaeta uniuersalis, debet enim propositio esse talis, ut omnibus subiecti speciebus, & omnibus ea sidus aptari possit . si quis vellet ostendere, in omni triangulo parallelam hasi, esse bah mi orem,in demonstratione vero id solum ostenderet in figura Isoseelis, & ex natura eius, esset pseudographus. sic etiam quando habet varios easus; considera Meundam primi quae varios habet cassis pro varietate loeorum puncti A. dati, & tamen demonstrationem Euelidis eonuenit omnibus illis ea fibus, Decima est eos, tra Geometria mineipia ;fie errabat Antiphon dum ad quadrandum circulum assumebat lineam euruam e stare ex minimis rectis lineolis, quod falsum est. vide Misi otelena vito eap. Elench cum D stra explieatione, Undecima, cum aliquod falsum vel impossibiIe assmitur. sie fallit Hippocrates in sua circuli quadratione, qui eum lui uiam quadrasset, assumit postea ex quodam trapezio accipi posse tria triangula aequalia tribus lunulis, eo modo quo an rea ex quadrato quc dam triangulum aquale lusulaeaeceperat; quod falsum est. vide caput 3I. secundi priolum Aristotelis cum nosti a explicatione Duodecima, cum aliquid a Gmitur quod non sit euidens, gut quod non sit demonstratum, etiamfi verum sit. Ob jcies sorte, Euclides in prima a st mit duos illos eire u los se mutuo steare, quod non probat Respondeo id esse euidens , quid enim euidentius est, quam si unus circulus habearem trum in cireunferentia alterius, smulque per eentrum illius transeat, ip fiam secare. Alia similia sunt apud Euelide,& alios Geometra S, quae tamen
fi bene considerentur euidentissima sunt, & propterea sine probatioL
Lincimatertia,cum maIam illationem admittimus,ut siquis sie inferre
495쪽
eranfitur a minori ad maius di per omnia media, ergo per aequale ; vid Clauium ad I 6. propositionem 3. Elem. in fine illius longissimi stholii. fiesallebat Averr. dum sie ratioeinabatur, ut est ε. ad 3. ita A. ad a. ergore mutando ut 6. ad a. ita ε . ad s. haec enim non est permutata proportio, nee ullus alius modus argumentendi ex iis, qui ab Euelide compro-hantur, & apparet falsitas in numeris. nee pariter valet inferre,duae hae rectae lineat non sunt aquidistantes, ergo concurrunt.
Deeimaquarta, cum 2 liquid assumitur,quod atque obscurum est,ae ipsa propositio; debet enim ex notioribus deduci; fie Proetus deeipitur dum ad probandum axioma I s. Euelidis assemit illud atque ignotum, si ab uno puncto duae rectae angulum facientes infinitἡ producerentur, earum distantia exeedet omnem finitam magnitudinem. vide Gavium in scholio as. Propos primi Elem. pag. Io.
Decimaquinta, oritur ex ignoratione terminorum Geometricorum .fie Tyrones aberrant,dum putant se quadrare eirculum, si construant quadratum euius quatuor latera sint aequalia periferiae dati cireuli: vide Geo, metriam practicam P. Clavij, pag. 337. Tandem lectorem monitum volo ad vitandas fallaetas viise esse legere Ioan. Buteonem de varijs eireuli quadraturis: & Petrum Nonium de Orontii erratisi, & Io. Regiomontanum de quadratura Nieolai Cusani. hi enim aliorum varios paralogismos&fallacias detegunt, unde nos aliorum damno proficiamus.
- Τ Ars quavis bene tractetur non solum neeessarium est, vitia illi eo. V traria ut vitari possint, eognoscere, sed etiam , & quidem praeeipuum , praeeepra tenere quibus facile & optime artis finem consequamur; eum ergo de fallaci jS egirimus, quae arti huic eontrariae sunt, sequitur ut de Resolutione,& Compcsitione nonulla dicamus, per eas enim & optime di facile geometricae demonstratione& inueniri possunt. Resolutionem hane Geometricam primus omnium Plato adinvenit,etaque Laodamantem Thesium doeuit, cuius auxilio & ipse, & reliqui iunio. res Geometrae plurimis subtiliter inuetis Geometriam magnopere ampli . se aium: . de hae resolutione ut:refert Pappus initio 7. seripserat Eueli des, Apollonius. & Aristaeus, sede pera eoru intereiderunt. Marinus autemetaldusin suo Apollonio rediuiuo Resolutionam hane pariter rediuiuast propediem daturum recipit: nos tameu interim de hae nonnulla dixi- mus in locis math. ad titulum , Lib. I e lutor. N hic etiam nonnulla in me-
496쪽
quatuor resoIutiones,pretiosum antiqilitatis monumentu nonulli interpreris perpera omiseruato eam sic definitaResolutio est sumptio quisiti laqua coneesii, per ea quae consequuntur in aliquod verum eoneessum. postea addici Compositio est sumptio eoneessi per ea quae eonsequuntur in quaesi- ei conelusionem siue deprelie istae. Easdem definit Proetus lib. 3. in Euelidem ad 6. primi pag. rq s. &Pappus initio lib. 7. quos tu eonsule. Sensus autem Euelidis est hier Reislutio est diseursus, quo investigamus veritatem Theorematis, aut possibilitem Problematis quaesti hoc modoisi quaesitum est Theorema aeeipimus illud tanquam verum,& eoneessum. si vero est Problema,assumimus il ud tanquam factum, idest,supponimus illud verum esse, istud vero possibile, & iam factum I ex qua suppositione ratiocinamur per ea, quae ex suppositis vere deducuntur, donee aliquod verum vel falsum oecurrat: si enim occurrat aliquod verum,& concessum, signum euidens est etiam suppositum illud, ex quo istud sequitur verum esse , seu possibile esse. quae consequentia nititur hoc logico fundamento, verumtanos nisi ex vero in bona materia & forma sequitur. Inuento autem Vero illo, Demonstrationis Compositionem postea or dine retrogrado faciebant,idest, Demonstrationem qussiti ordine compositivo const ruebant, ratiocinantes ex vero illo inuento a a quaesiti eoneluissionem. Quod si salsum vel impossibile oceurrat, euidens lignum est quaesisitum esse falsum, vel impossibile. quae consequutio hoc nititur principio I gleo; falsum non nisi ex falso in bona materia & Qrma dedueitur. quae ar gumentatio dieitur ad impossibile. Verum haee multo melius intelliges si atteate legeris, ac consideraueris illaS. 3 Resolutiones ac Compositiones Euelidis iii Ix Element. & alias quas passim apud Apollonium, Archimedem, & Pappum reperies, quae tibi pro per spieui S exemplis inseruient melius enim exemplis, quam multis praeeeptionibus prosirimus. γ ex quibus facultatem Geometrice demonstrandi facile tibi eomparabis.. Tandem scias opus Datorum Euelidis huic resolutionis arti subserui.
T in eo enim ex varijs Datis varia inferuntur, & eonsequunrur, quae illationes, & consequutioaes etiantur postea in resolutionibus faetendis, ve videbis apud Euelidam ApollOuum, Pappum. Porro de Opere Datorum restaurando dictum est superius. Atque haec sunt quae de arte demonstrandi pud Gccmetras ex veterum naufrag0s eoIligere licuit. Pereepta igitur hac arte, auxilio eius pciterimus magna animi tueunditate subtili sit mis demonstrationibus , non soIum Geometriam, sed etiam Arithmeticam , quae eodem modo demonstrat, loeupletat e, ac Donnulla tandem
pς tinaei labore , &studio investigare , quorum difficultas veterum sisynia hactenus ineassum vexavit, & torsit; uti sunt Angulum datum in quotuta partes diuidere; similiter, Areum ei reuli datum in quotuisParteta dundere, Circulum quadrare, rectam lineam circulari aequalem ex abere; duplare cubum duas medias lineas proportionales inue8ire,
HςPzagonum regularedoscribere, Isoseeles habens angulum ad basimias . ' triplum
497쪽
triplum eius qui ad verticem construere , Re . Sed maxime omnium proderit ipsa demonstrandi exercitatio. quapropter dometriae DcctoriSpracipuunt munus existimo, subinde auditoribus suis faciles quasdam propositiones proponere, quod quotidie Plato, quanuis adiud agens, factitasse legimus. Ego quidem singulis annis au toribus meis propono publice demonstrandum illud, quod super in prim figura exhibetur, videlicut,in quolibet triangulo linea basi parallela, ipsa basi minor est. id autem non parua eorum iucunditate, & utilitate plusquam quindeeim modis demonstrarunt. vel istud, si trianguli aequi laterii: singula latera bifariam dividantur, ducanturque P ad tria diuisionum puncta tres rectae lineae, exurgune quatuor triangula pariter aequilatera, &inuicem omnino aequalia, necnon tria parallelogramma aequaliac et cuius figuram hane cotis,
De aliarum Mathematicarum promontone ''
A Rithmetica, eadem Arte ut dictum in multis adimentis ditari m.
test. Mechanica saeuitas eadem arte pariter locupletari potest,prq sertim cum nondum centra grauitatiS omnium figurarum tam planarum, quam solidarum eCmperta iant. v. g. eentrum grauitatis semicirculi , &aliarum circuli portior um adhue ignorantur. simi liter portionum Ellipsis, Hyperboles etiam, S Frustoi una eius, eentra grauitatis adhue latent expectanturque optieam saeuiratum non solum demonstrationibus, sed multo magis assiduis reflexiorum, di retrae ionum experimentis ampli re valemus, sicuti nuper P. Christophoius Scheiner nostrae Soc. solerterin suo oculo, seu Fundamento optico prastitit. mane omnes Te Ieseopij instrumenti optici adeo praest antis demonstrationes, aut desiderant, aut inquirunt , sed nondum emersit. Musicam corrigere , & illustrare debemus, non soIum ex Theorieis traditionibus veterum, sed multo magis ex iis quae Plato, Aristoteles, & Plutarchus de eius mater ia, cffcio, S fine scripta reliquerunt. Alisonomiam maxime exemplo Tichonis promouere e portet adhibitis sellicet magnis& exquisitis instrumetis, assiduas obseruationeS peragere , easque cum antiquorum obsietuationibus conferre. Α iis tandem plut b. s modis, &quidem nouis neque elum humanum ingenium vilis Artium regulis quasi earceribus concludi potest hisce nobilissmis & pu cherrimis scientiis inere mentum afferri potest. NOS etiam Echometriram, nouani Matheseos partem,in fine da bimus, in qua solium, S ueccm per lineas, ar Eul CS, dic. iuris G ccmetrici sc cimuS, ac plura de ijS acua dc monstrauinus. Clarorum
498쪽
Clarorum Mathematicorum Granilogia. Pars Pinta.
D huius Apparatus perfectionem addendam esse eenseo Claroru ma -- themticorum Chronologiam, quam eum loeis mathematieis Ari. totel. iam edidimus; non modicam. n.utilitatem stud ijs afferre longo usu, S experientia didiet , nosse quibus temporibus, ii Authores seripserint, quibus operam & studium impendimus. quod optime ij etiam norunt, qui suauissimum eruditionis studium una eum philosophia coniungere solent. Enimuero non paruum videtur ineonueniens, authorem quempiam sedu- Io Uersare, eumque quo laevio floruerit, ae seripserit, hoe est,quibus seriptoribus sit iunior, quibus eontemporaneus, quibusque senior extiterie ignorare. Ego quidem eius sum Genii, ut nullum unquam opus legendum aggrediar, quia mihi prius Authoris ipsius tempus , vreunque constiterit; eonsule igitur nostra elarorum Mathematicorum Chrono logiam una eum loeis Mathematieis Λristotelis editamine eam iterum his imprimendo, actum ag1mul.
499쪽
ECHVS GEOMETRICA TRACTATIO. Publice habita a quodam Academico.
Prolusio,'occasio commentationis. VPERIORI Autumno, cum in seliolis Haleysania essent, relicta in urbe Philosophia, in suburbanum relaxandi animi , ae purioris eatli eaptandi gratia concesseramus. cumque simul nonnulli suauioris Musae comites deambulatum issemus, aecidit ut ex nostris quidam Musica, simulque elariori voce praeditus, carmen qaoddum altius modularetur. & ecce tibi, earmen idem, ex quadam satis remota turri, eontinuo pari suavitate reeantatum exeepimus. primo putatum est sodalium aliquem inibi latentem ioculariter, ae blande nobis illusisse. tandem iterata, atque itcrum relata modula. tione, illa deprehensa est 1 . qua nee retirere loquenti, Nee ior ipsa loqui didicit resonabilis Echor pergratas nostrarum vocu imagines reddicisse. diutius igitur illius suauitate detenti, varii varios eantus ei recinend CS aecinebamus. cum interim Geometria, quam simul eum reliqua philosophiae familia in ut be relique ramus, se nobis iterum comitem praebet, grateque suis det minime instituto nostro, relaxationiue obesse, si latentem Echas naturam indagaremus; quandoquidem id philosophandi genus , iucundis per amaena collium, de vallium ambulationibus obiri possit. Ego itaque veluti Pan alter, per sal rus, per sylvas, hae illae vociferans Echum persequi, di eaptare ; ipsaque Eostris votis respondente, ipsi -- pulsati colles elamore resultant
500쪽
persequebar, inquam, eqpt bMnque, eontemplabar videlicet to eorum resonantium positionem, figuram, qualitatem, quae hane vocis imaginem effinxissent. atque ni fallor, PanoS instar Echum deprehendi , naturam eius videlicet, eausasque pervestigaui. Pan enim, uti tradunt My thologi , fuit vir doctus, qui primus Echus causam inuestigauit, ductusque suauitate nostendi,diu collibus, montibusque quasi Echum persequens oberrauit.
unde ipsum eam di per ijsse vetus fabula emanauit. quae igitur tunc temporis de hoc votis simulacro, Geometriae ope commentati sumuS , ea nunc in medium allata, non iniucunda fore speramus. quae ut ordine tradantur, opus est more Mathematicorum, nonnulla praemittere, ae primo definiti nes aliquot, quarum prima erit ipsius Eelius nominis Elymon, nomina
nim teste Platonis Cratylo, quaedam sunt per breues rerum definitioncs.
PRima erit ipsius nominis definitio, seu Etymologia. Eeho Grate e Mocitur H χω, a verbo id ste, resono, unde Latinis apte reddi tus resonantia. Poetae Latini eam modo Echo, modo, imaginem voci Sa in
Pellant. sic Virgil. Saxa sonant, Coci que ossens resectat innato Philosophis vox reflexa, repercussa, reciproca etiam dicitur. hine ad ipsius
definitionem commodius iam transire licebit. Secunda. Echo enim nihil aliud est, quam vox articulata, aut modulatus sonus reflexus, hoe videlicet modo, cum vox nostra prolata, ac motu aeris quoquo uersus delata , obiecto directe corpori plano, caucue , aesatis lauigato occurrens, i ade pilae instar ad nosmet reuertitur. ubi distin guendum est inter Bombum, & Echum. Tertia. Bombus cnim est quidem sonus ref exus, sed ob defectum alicuius circunstantia die X lj S, quae necessariae sunt ad Echum perficiendam, confusus di in articulatus. Echo autem proprie est, quae voces. articulata S, aut modulatas distincte restituit. Cuius naturam, ut melius perscrutemur, a nimaduertimus non solum communi Physiologia, sed praeterea opuSesse eam legibus Geometriae, atque adeo linearibus demonstrationibus subi j-cere. more videlicet Opticorum, qui visionis, atque illuminationis naturam per lineas & angulos optime solent explicare. quod si id cuipiam nouum, ae mirum videatur, non tamen impossibile videri debet, cum enim hare resonantia fiat per reflexIonem, reflexio aulcm omnis fiat per lineas , di angulos merito eam lineis, & angulis reserendam esse duximus. sed in primis exponendae sant sequentes definitiones. Quarta. Sonorum, siue Canorum nobis hic est omne corpus fouum, ut vocem primam emittens. uia