장음표시 사용
471쪽
A, D, F, DC. Valles intermediae. Et quoniam motus undarum fit per aquae succossiVum ascensum M descensum, sic ut ejus partes Α, C, E, MC. quae nunC altissimae sunt, mox fiant infimae; M vis motriX, qua putes altissimae descendunt 8c infimae ascendunt, citA C TPondus aquae elevatae; alternus ille ascensus M descensus analogus cri' motui reciproco aquae in Canali, ea1demque temporis leges observabit: & Propterea per Prop. XLI v. si distantiae inter undarum loca altissima A, C, E M infima B, D, F aequentur duplae Punduli longitudini ς ; partes altissimae A, C, Ε, temtMre Ostii lationis unius evadunt infimae, M tempore oscillationis auerius denuo ascendent. Igitur inter transitum undarum singularum tempus erit oscillationum duarum ; hoc est, unda describet latitudinem suam, quo tempore Pendulum illud his oscidatur; sed c clem tempore Pendulum, cujus longitudo quadrupla est, ideoque aequat Undarum latitudinem, oscillabitur semel. Q. E. I. Corol. I. Igitur Undae, quae pedes Parimenses 3: latae sunt, temporc minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient; ideoque tempore minuti unius primi percurrent Pedes 183 , Sc horae spatio pedes II oo O quamproXime.
Corol. 2. Et Undarum majorum vel minorum velocitas augebitur vel diminuetur in subduplicata ratione latitudinis. Haec ita se habent, ex hypothesi quod partes aquae recta ascendunt vel recta descendunt; sed ascensus ia descensus ille verius sit Per circulum, ideoque tempus, hac Propositione, non nisi quamproxime definitum eta affirmo.
PROP. XLVII. T H Ε Ο B. XXXVII. Pollibus per Fluidum propagatis, singulae Fluidi particulae, motu reciproco brevisimo euntes N redeuntes, accelerantur Iemper πretardantur pro lege Utagantis Penduli. Designet AB, BC, CD, MC. pulsuum successivorum aequales distantias ; ABC, Plagam motus pulsuum ab A VersuS B P Pagati;
472쪽
, ο, υ, Puncta tria Physica Me-Lthgadii quiescentis, in rect 1 Ac ad te V V quales ab invicem distantias sita; EG Ff Gg, Jatia aequalia perbre-Via, per quae Puncta illa, motu reciproco, singulis vibrationibus euntia redeunt; ε, φ, γ, loca quaevis intermedia corundem Punctorum ; M EF, FG, lineolas Physicas, seu Medii Partes liaeares, punctis illis interj cetas, ia successive translatas in loca εφ, cn M V, D. Rectae Ee aequalis ducatur recta Ps. Bisecetur eadem in Ο, centroque o M intervallo os describatur circulus sIPi. Per hujus Circumferentiam totam, Cum Pa tibus suis, exponatur tempus totum Vibrationis uinnius, cum ipsius partibus proportionalibus ; sic ut mPleto tempore quovis PH vel PHs λ, si demittatur ad Ps perpendiculum HL vel BI, & Capiatuc Ee aequalis P L Vel Pt, punctum Phy sicum E repe-xiatur in s. Hac lege Punctum quodUis F., eundo ab E per ε ad G 8c inde redeundo per ε ad Ε, ii dem accelerationis ac rotardationis gradibus vibrationes singulas peraget, cum oscillante Pendialo. Probandum est, quod singula Medii puncta physica tali motu agitari debeant. Fingamus igitur Medium tali motu, a causa quacunque, Cieri; Ui- deamus, quid inde sequatur. In circumferentia PH sis capiantur aequales arcus HI, IK, Vel hi, it; eam habentes rationem ad circum- lj ferentiam totam, quam habent aequales rediae EF, stili lis illi illi so ad pulmum intervallum totum BC. Et demissis perpendiculis IM, KN, vel im, kn, quoniam Puincta E, F, G motibus similibus sicccssive agitantur, M vibrationes sitas integras, ex itu M reditu compositas, interea Peragunt, di m Pulsus transfertur , B ad C ; si PH, vel Piisθ, sit tempus et b initio motuS Puncti E, erit PI, Vel PHs , tempus ab initio motus puncti
Vel ν, aequeinx duplae Penduli longitudini.
473쪽
quales respectivo. Unde εγ, seu EG Φ Gy-Εε, in itu Punctorum aequalis crit EG-LN, in reditu autem aequalis EG D. Sed εγ latitudo est seu expansio 1 artis Medii Eo in loco εγ; M ProPterea CXPansio 1 artis illius in itu est ad ejus cxpansionem mediocrem, ut EG - LN ad EG ; in reditu autem ut EGΦDI, seu EG Φ LN, ad EG. Quare, cum sit LN ad HRut Ilii ad radium OP, Ω ΚΗ ad EG ut circumferentia Pus θ P ad BC, id est, si ronatur u Pro radio circuli circumferentiam habentis aequalem intervallo pulsuum BC, ut OP ad V ; M eX aequo LN ad EG ut IMad v : erit expansio Partis EG, punctive physici P, in loco εγ ad expansionem mediocrem, quam pars illa habet in loco suo primo EG, ut v - ΙΜ ad v in itu, utque u i II ad v in reditu. Unde vis clastica pun ti F in loco εγ est ad vim ejus elasticam mediocremitas' in loco EG, ut ----- ad 2 in itu, in reditu vero ut v m ad p. Et eodem argil mento vires clasticae punctorum physicorum Ε M o in itu, sunt ut M -- -'- ad ἡ; M virium differentia ad Me-
ad sive ut HL-ΚN ad v, si modo ob angustos limites vibrationum supponamus Is L M KN indesinite minores csse quantitate v. Quare CUm quantitas
Posuit nimirum Neret onus Liquorem aliquem Elasti eum tali motu, a quacunque demum caula. agitari. quo singula ejus corpuscula vias vectas brevissimas eant redeantque, motu nil legem corpori, Renduli, in Cycloidc oscillantis, attemperato. Tum illud agit, ut exploret, quibus ii. imviribus aceeleratricibus eorrui eula ejus Liquoris urgeri debeant, ad motum qualem Posuit prae-ilandum. Ea vero tales esse oportere eon perit, quae cum distantiis eorpusculorum a medio itincris euiusque sui puncto proportione conveniant. Iam vero eorpuscula Liquoris Elastici quem corpus quodlibet tremulum agitaverit, ea quoque vias rectas bre animas eunt redeuntque; certis utiquo
474쪽
o M ; id est, si Ff bisecetur in C, ut Op. Et codem argumento differcntia virium elasticarum punctorum physicorum ε Sc γ, in reditu lineolae physicae εγ est ut Dp. Sed differentia illa id est, excessius vis elasticae puncti ε supra vim clasticam puncti γ est vis, qua interjecta Medii lincola phy sica, εγ, acceleratur in itu, ia retar
datur in reditu; M propterea vis acceleratrix lineolae Physicae ro , est ut ipsius distantia a medio vibrationis loco n. Proinde tempus per Prop. xxxv IV. Lib. I. recte cXPonitur per arcum M ; MMedii pars linearis εγ lege praescripta movetur, id est, lege os
cillantis Penduli : estque par ratio partium omnium linearium ex quibus Medium totum componitur. Q. E. D l . Corol. Hinc Patet quod numerus pulsuum propagatorum idemst cum numero Vibrationum corporis tremuli, neque multi Pli Catur in eorum progreG. Nam lineola Physica εγ, quamPrimum ad locum suum primum redierit, quiescet; neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu corporis tromuli, vel ab impetu Pulsuum qui a corpore tremulo Pro Pagantur, motu nom cicatri T. Quiescet igitur, quam primum Pulsus a corpore tremulo Propagari desinunt.
utique viribus aeceleratricibus, a tremoribus eorporibus tremuli, incitata. Ear autem quaenam erunt Nempe si tales sint, quae cum ditiantiis eorpustuloratim, a medio itineris cujusque punisi , proportione conveniant, eum illae corpulculorum singulorum motum estieient, qui ad legem corporis penduli, in Cycloide oscillantis, attemperatus erit: quoniam motus corpusculomun singuloraim, ad eam legem attemperatus, tales vires acceleratrices flaotare ostensus sit: et fieri nulla ratione potest, ut a viribus ii milibus dii sinitus motus in eadem materia concitentur. Tales aurem esse vires quibus incitantur corpuscula Liquoris Elastici, a conisi e tremulo agitati, Ne tomis tacith assumpsit. Et in hoc assumpto omnis hujus Propositionis posita est demonstratio; quae nulla planE erit, si hoc assumptum negaveris. Imo liquis ostenderit vires acceleratrices non essu tales, is vel ex iis ipsis, quae a Ne tono sunt ollenta, contra Newtonum obtinebit motus corpusculi cuiusque Liquoris Elastici motum corporis penduli in Cyeloide neutiquam aemulari. Velium Nev tomis ipse assiimpti sui rationes explicasset. Mihi sau. non nisi probabili ratione colligendum
videtur, ex eo quod in Nervo tunso accidere novimus; cujus quidem pundia singula vibrantis viribus incitantur, quae eum di: tantiis piauetorum a loeis mediis proportione conveniant. Quuxis corpus omne treinui uni nihil aliud sit, quam coli: extus quidam fibrarum trepidantium, qu rum unaquaeque pro nervo tenso habenda sit, et si eorporis totius tremor confectus sit ex fibrarum omnium tremoribus; sand vcrisimile erit, eorpuscula singula corpori, tremuli simili modo, quo Puncta langula Nervi tenti vibrantis, incitari. Denique si eorpus tremulum in corpusculis Liquv-ris Elastiei non alios motus esticere possit, nisi qui similes sint eorum, quos ipsius corpuscilla Proprios habent, corpuscula utique Liquoris Elastici, quem corpus tremulum agitet, motus puricio rum Nervi tensi mitulari verisimilli imini erit. Caeterum de Motu Nervi Tensi considendus est Taylorus in Mia Mo Derement. Part. II. Unum moneo, Pro eo quod apud Taylorum in demonstratione Lemmatis Ix. legimus, esse tr ad in ut Eb ad as, omnino legendum, este te ad ta ut nb ad ans. Cujus emendationis rati , e iisqu:e ad Lemma tertium hujus libri disputavimus, satis patet.
475쪽
P R o P. XLVIII. Τ II E O II. XXXVIII. Pulsuum in Huido Elafico propagatorum velocitates suns in ratione con posita ex sub I PMd ratione Cis et licie directa re subigi cara ratione densitatis inzerse; s modo Huidi vis elasica ejusdem condensationi proportionalis ese Iupponatur. f. I. Si Media sint homogenea, Sc pulsuum distantiae in his Mediis aequentur inter se, scd motus in uno Medio intcnsior sit:
contractiones S dilatationes Partium analogarum crunt ut ii lcmmotus. Accxarata quidem non Cit haec Proportio. Veruntamen
nisi contractiones 3c dilatationcs sint valde intenta, non errabit sentibiliter, ideoque pro physico accurata haberi Potest. Sunt autem vires clailicae motrices ut contractiones ia dilatationes; Sc elocitates Partium dequalium, simul genitae, sunt ut virus. Ideo que aequales Sc correspondentes pulsuum correspondentium partesitus roditus suos, Per spatia contractionibus Sc dilatationibus Proportionalia, Cum velocitatibus quae sunt ut spatia, simili peragunt : Sc Propterea Pulsus, Dai, tempore itus Sc reditus unius, latitudinem suam Progrediendo conficiunt, M in loca pulsuum proxime Praecedentium semper succedunt, ob aequalitatem distantiarum, aequali cum velocitatu in Medio utroque Progredientur. f. a. Sin pulsuum distantiae, seu longitudines, sint majores in uno Mcilio. quam in altero ἔ Ponamus, quod Partes Correspondentes spatia i iludinibus pulsuum proportionalia, singulis vicibus cundo Sc rcclurindo, describant: M aequales erunt earum contractiones Sc dilatationes. Ideoque si Media sint homogenea, aequales crunt etiam vires illae elasticae motrices, quibus reciproco motu agitantur. Materia autem, his Viribus movenda, est ut pulsuum latitudo: Sc in eadem ratione est spatium, Per quod singulis vicibus, cundo M redeundo, moveri debent. Estque tempus itus Sci reditus unius in ratione composit 1 ex ratione subdupl icat amatoricae Se ratione subduplicata spatii ), atque ideo ut spatium. Pulsus autem, temporibus itus Τί reditus unius eundo, latitudines suas consiiciunt, hoc est, spatia tem Poribus Pi Portionalia Percurrunt ; Sc proPterea sunt aequiVeloces.
476쪽
f s. In Mediis igitur densitato D vi Clasticii paribus, Pudis Lirra omnes sunt aequiveloces. Quod si Medii vel densitas vel vis elas S 'tica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis clasticae, Scmateria movenda in ratione densitatis aligetur; tempus, quo motus iidem peragantur ac prius, augebitur in subduplicata ratione densitatis, ac diminuetur in subduplicata ratione vis clasticae t).
Et propterea velocitas Phil suum erit in ratione composita ex ratione
subduplicata densitatis Medii inverse Sc ratione subduplicata viselasticae directe. Q. E. D. I Luc Propositio ulterius patebit ex constructione sequentis.
Fingamus Medium ab incumbente pondere, Pro more Acris nostri, comprimi; sitque A altitudo Medii homogonei, cujus Pondus adaequet pondus incumbens, S cujus densitas eadem sit comdensitate Medii compressi, in quo pullus Propagantur. Confli- tui autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo, inter Punctum suspensionis Τί contrum oscillationis, si A : S 'io tempore Pendulum illud oscillationem integram, ex itii Sc reditu compositam, Peragit, eodem Pulsiis cundo conficiet spatium circum ferentiae Circuli, radio A descripti, aequale. Nam stantibus quae in Propositione XLvir. construe a sunt, si linea quaevis physica EF, singulis vibrationibus describendo spatium Ps, Urgeatur in extremis itus M reditus cujusque locis, P res, a vi elastita quae ipsius ponderi aequetur; peraget haec vibrationes singulas, quo tempore eadem in Cycloide, cujus Perimeter tota longitudini Ps aequalis cst, oscillari postet: id aduo, quia vi Tes aequales aequalia corpuscula per aequalia spatia simul impellent. Quare cum oscillation m tempora sint in subduplicata ratione longitudinis Ρendulorum, M longitudo Penduli sequetur climidio arcui Cycloidis totius ς foret tempus vibrationis unius ad tempus oscillationis Penduli, cujus longitudo est A, in subduplicata ratione longitudinis e Ps, seu Po, ad longitudinem A. Sed vis clastica, qua lineola physica, EG, in locis suis extremis, P, S, cxistens urgetur, crat in demonstratione Pr6positionis XLuli.
477쪽
ad Hus vim totam elasticam ut HL-KN ad V, hoc est cum punctum K jam incidat in P ut 1 ς adu: M vis illa tota, hoc est pondus incumbens, quo lineola EG comprimitur, est ad pondus lineolae, ut ponderis incumbentis altitudo A ad lineolae longitudinem EG ; ideoque eX aeqUO, Vis, qu: a lineola EG in locis sui S P Sc s urgetur, est adlincolae illius pondus ut HKκ A ad VκEG, sive ut Poκ A ad Vu, nam H Κ crat ad EG Ut PO ad v. Quare cum tempora, quibus aequalia corpora Peraequalia spatia impelluntur, sint reciproce in su duplicata ratione virium, erit tempus vibrationis unius, urgente vi illii clastica, ad tempus vibrationis, urgente vi ponderis, in subduplicata ratione V v ad Po κ A, atque ideo ad tempus oscillationis Penduli, cujus longitudo est A, in subduplicata ratione v v ad Po κ A, subduplicata ratione Po ad Aco uinctim; id est, in ratione integra V ad A. Sed tempore vibrationis unius, ex itii ia reditu com-Positae, Pulsus Progrediendo conficit latitudinem suam BC. Ergo tempus, quo Pulsus Percurrit spatium BC, est ad tempus oscillationis unius ex ituM reditu compositae, ut v ad A, id est, ut BE ad circumferentiam circuli cujus radius est A. Tom-PUS autem, quo Pulsus Percurret spatium BC, cst ad tempus quo Percurret longitudinem huic circumferentiae aequalem, in eadem ratione; idcoque tempore talis oscillationis pullus Percurret longitudinem huic circumferentiae aequalem. Q. E. D. Corol. I. Velocitas pulsuum ea est, cniam acquirunt Gravia aequaliter aCCelerato motu cadendo, casu suo describendo dimidium altitudinis A. Nam tona porc casus hujus, cum Velocitate cadendo acquisita, pulsus percurret spatium, quod crit aequale toti altitudini A; ideoque tempore oscillationis unius, cx itu Sc roditu OmPositae, Percurret spatium aequale circumserentire circuli radio A de-ll 'l il
478쪽
A dcscripti: est enim tempus casus ad tempus oscillationis ut ra- Li gadius circuli ad Uusdem CirCum ferentiam. Corol. 2. Unde Ctim altitudo illa A sit ut Fluidi vis elastica directe fle densitas Uusdem inverse ; velocitas pulsuum erit in ratione
composita ex subduplicata ratione densitatis inverse M subduplicata ratione vis clasticae directe. P R Ο Ρ. L. P R O B. XII. Invenire tulsuum di antias.
Corporis, cujus tremore pulsus excitantur, inveniatur numerus vibrationum dato tempore. Per numerum illum clividatur spatium, quod Pulsus eodem temporc Percurrere Possit, M Pars inventa erit pulsus unius latitudo. Q. E. I. Solutum. Spectant Propositioncs novissimae ad motum Lucis M Sonorum. LUX enim cum PropagetUr secundum lineas rectas, in actione sola per Prop. XLI M XLII. consiliore nequit. Soni Vero, PTOP-terea quoci a Corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quam Aeris Pulsus Propagati, per Prop. XLIII. Comfirmatur id ex tremoribus, quos excitant in corporibus objcctis, si modo vehementes sint M graves, quales sunt soni Tympano m. Nam tremoreSCeleriores 8c breviorcs dissici litis excitantur. Sed M sonos quo1-
vis, in chordas corporibus sonoris unisonas impastoS, excitare tremores notissimum est. Confirmatum ctiam ex velocitate sonorum. Nam Cum pondera specifica Aquae Pluvialis Se Argenti Vivisnt ad invicem ut I ad I 3, circiter, M ubi Mercurius in Barome- Iro altitudincm attingit digitorum ADNicorum 3o, pondus specificum Aeris D Aquae Pluvialis sint ad invicem ut I ad 87o circiter : erunt pondera specifica Aeris Sc Argenti Vivi ut I ad II 89o. Proinde cum altitudo Argenti Vivi sit so digitorum, altitudo acris uniformis, cujus pondus aerum nostrum subjectum comprimere posset, erit 3567oo digitorum, 1eu pedum Anglicorum 297 25. Estque haec altitudo illa ipsa, quam, in constructione superioris Problematis, nominavimus A. Circissi radio 297 25 pedum descripti circumferentia est pedum 186768. Et cum Pendulum digitoS
479쪽
digitos 39ἱ longum oscillationem, ux itu D rcuitu conlpositarn,
tempore minutorum dirorum secundorum, uti notum est, nhlbluat; Pendulum Pudes 297as, seu digitos 3567oo, longum oscillationum confiimilem tempore minutorum secundorum 19 οἱ abs,lvere debebit. Eo igitur temporu Sontis Progrediendo Con
sciet Pedes I 86768, idcoque tempore minuti unius secundi pudes 970.
Clutorum in hoc computo nulla habetur ratio crassitudinis solidarum Particularum acris, Per quam lolaus utique ProPagatur in initanti. Clim pondus aeris sit ad pondus a iuve ut I ad 87o, te sales sint fere duplo densiores quam aqua ; si particulae acris ponantur csse Hus lem c irciter densitatis cum particulis vel aquae vel salium, sc raritas acris oriatur ab intervallis Particulariam ediameter Particulae aeris erit ad intervallum inter centra parti larum, ut I ad 9 vel Io circitcr, Sc ad intervallum inter parti culas ut I ad 8 vel 9. Proinde ad Pedes 979, quos Sonus tem- Dore minuti unius secundi juxta Calculum superiorem con siciet, addere licet Pedes 2 -, seu Io 9, circiter, ob crassitudinem particularum aeris : M sic Sonus tempore minuti unius secundi conficiet Pedes Io 88 circiter. I lis nudo, quod vapores in acris latentes, cum sint alterius ela toris M alterius toni, vix aut ne vix quidem Participant motum acris Veri, quo Soni Propagantur. His autem quiescentibus, motus illo celerius Propagabitur per solum acrem verum, idque in subduplicata ratione minoris materi . Ut si Atmolpluura constet ex decem partibus acris veri Sc una Parte V orum, motus sonorum celerior erit in subduplicata ratione II ad Io, vel in integra. circiter ratione et I ad Io, piam si Propagaretur Per Undecim partes acris veri: ideoque motus seriorum, supra in 'entus, augendus erit in hac ratione. Quo pacto Sonus, tempore minuti unius secundi, conficiet pedes II 62. Haec ita se habere debent tempore Verno M Autumnali, ubi AcrPer Calorem temperatum rarescit, M ejus vis clastica nonnihil intenditur. At Hyherno tempore, Ubi Aer Per frigus condensatur, 8 ejus vis elastica remittitur, motus senorum tardior esse debet
in subduplicata ratione densitatis; ia vicissim A stivo tempore cle-bet esse velocior.
480쪽
Constat autem per eXperimenta, quod soni, temPore minuti Lista unius secundi, eundo conficiunt pedes Londinenses plus minus 'μ' II 2, Parisienses Vero IOTO. Cognita sonorum velocitate, innotescunt etiam intervalla pulsuum. Invenit utique D. Sau ur, factis a se experimentis, quod
fistula aperta, cujus longitudo est pedum Parisensum plus minus quinque, sonum edit Husdem toni cum sono chordae quae tempore minuti unius secundi centies recurrit. Sunt igitur pulsus plus minus centum in spatio pedum Piaris sum Io7o, quos sonus temporc minuti unius secundi Percurrit; ideoque pulsus ianus occupat spatium pedum Parmensum quasi I o id est, duplam circiter longitudincio sillulae. Unde vortimile est, quod latitudincs pulsuum, in omnium apertarum sillularum sonis, aeqvcntur duplis longitudinibus sit uiarum. Porro cur Soni cessante motu corporis sonori statim cessant, neque diutius audiuntur, ubi longissime distamus a corporibus sonoris, quam cum ProXime absumus, Patet eX Corollario Propositionis XLVII. libri hujus. Sed Sc Cur soni in tubis stentorophonicis valde augentur, ex allatis Principiis manifestum est. Motus cnim omnis reciprocus singulis recursibus a causa generante augeri solet. Motus autem in tubis, dilatationem sonorum impcdiciatibus, tardius amittitur Sc fortius recurrit, M Propterea a motu novo singulis recursibus impresso magis augetur. Et haec sunt praecipua Phetienomeda Sonorum.
Reys entiam, ptis oritur ex defectu Abricitatis parrium Muidi, c. Icris paribus, troportionalEm ese velocitati, qua parres Fluidis