장음표시 사용
21쪽
x GEOMETRIAE resve mediae proportionales, quod idem est, quod radicis Quadratae, aut Cubicae,&c. extractio. Neque enim iri Uri. hoste Arithmetices terminos, ut facilius intelligi possim, in Geometriam introducere verebor. Sit, exempli gratia, A B unitaS, Oporteatque multiplicare
Dixis , Vel si dividenda sit ΒΕ per BD. junctis punctis Ε& D. duco Α C parallelam ipsi D Ε, eritque B C quotiens hujus Divisionis.
Quadratam . adjungo ipsi in dire mim lineam rectam F G, quae unitas est; divisaque F H bifariam in pun- lo K . centro K intervarulo F K sev K H describo circulum. quo facto, erit GI, quae ex puncto G perpendicularis ducitur super F H usque ad Ι, radix quaesita. Nihil hic de radice Cubica . nec de aliis dico, quod de iis in sequontibus commodius sim acturus. At vero iam non est opus, hasce lineas ita in charta ducere, sed lassicit illas litteris quibusdam designate, singulas singulis. Vt ad addendam lineam BD lineae G H. voco unam a & alteram b. scriboque b: Et a - b, ad subtrahendam b ex .et; Et ab , ad mulitipli-
22쪽
LIBER P Rr Mus atiplicandam unam per alteram ; Et τ' ad dividendam
amrb; Et aa , seu a , ad multiplicandam a in se; Et , ad eandem adhuc semel multiplicandam per a. atque ita in infinitum; Et ν--φ. ad extrahendam radicem Quadratam ex a' ; Et V C. abb, ad extrahendam radicem Cubicam ex α'-bΤ - abb,& sic de caeteris.
Vbi notandum est , qubd per a vel by . similesve,
communiter, non nisi lineas omnino simplices concipiam . licet illas, ut nominibus in Algebra usitatis utar, Quadrata aut Cubos, &c. appellem. Deinde etiam notandum , qudd omnes ejusdem lineae partes, quando unitas in quaestione non est determinata , atque-multis semper dimensionibus exprimi debeant, ut hic is, tot habet dimensiones, quot abb, aut b). ex quibus composita est linea, quam nominavi ν a' - bi abb; Sed hoc non est necesse , csim unitas determinata existit, quoniam illa ubique subintelligi potest, ubi vel nimis multae, vel nimis paucae dimen-1iones reperiuntur. Vt si radix Cubica sit extrahenda ex pa abb-b. cogitandum est, quantitatem a abb semel divisam esse per unitatem, atque alteram quantitatemhbis per eandem esse multiplicatam. c rerum ut qius facile linearum nominum recordetur , oportet semper illa in catalogum reserre, prout supponuntur vel mutantur, scribendo exempli causti
A B Io r. hoc est, A B aequalis est x, seu unitati. GH Io nB D m b, &c. GResoluturus igitur a quod Problema , considcrabit prim illud prima fronte, ut jam sadium . nominaque impo-ὼ- 'net lineis omnibus, quae ad constriustionem ipsius ne-α
23쪽
GEOMETRIAE cessariae videbunturo, tam iis , quae incognitae sunt quam quae cognitae. Deinde millo inter lineas hasce cognitas & incognitas facto discrimine, evolvenda est Problematis dissicultas, eo ordine, quo omnium naturalissime pateat, qua ratione dictae lineae a se invicem dependeant , donec inventa fuerit via eandem quantitatem duobus modis exprimendi, id quod AEquatio vocatur: aequales enim sunt termini modi unius terminis modi alterius. Iam vero tot hujusmodi AEquationes invenire oportebit , quot suppositae suerunt incognitae lineae. Vel si totidem non inveniantur, nec tamen quidquam eorum, quae in quaestione desiderantur, omittatur, argumentum est , illam non penitus esse determinatam. Tunc enim ad arbitrium assumi possunt lineae cognitae pro incognitis, quibus non res,ondet aliqua AEquatio. Postea vero si plures adhuc supersint, ordine quoque utendum erit unaquaque AEquationum reliquarum, sive illam considerando separatim, sive ipsam comparando cum aliis . ad explicandam unamquamque ex incognitis lineis; atque ita, reducendo illas, essicere oportet ut tantum una remaneat, aequali S alteri cognitae, aut cujus quadratum . sive cubus, sive quadrato quadratum , sive surde-solidum , sive quadrato-cubus, &c. aequalis sit ei, quod provenit ex additione vel subtractione duarum, pluriumve aliarum quantitatum . quarum una quidem cognita sit, reliquae autem compositae ex quibusdam mediis proportionalibus inter unitatem & dictum quadra tum , sive cubuaa, sive quadrato-quadratum ,&c. multiplicatis per alias cognitas. Quod hoc pacto designo.
24쪽
L 13 ER PRIMUS. sHoc est, et, quam pro quantitate incognita si inro . est aequalis ipsi b ; aut quadratum a m aequale est quadrato ex b , minus producto ex in m ; aut cubus a maequalis est producto ex a in quadratum ipsius m. plus quadrato ex b ducto in α , minus cubo ex c. & sic de
Posiant autem semper quantitates incognitae ita ad unam solam reddci, atque tum Problema construi perrectas lineas & circulos, aut per sectiones Conicas, aurdenique per aliam quandam lineam , quae nonnisi uno duobusve gradibus magis sit composita. Sed nolo hic prolixus esse, ut hoc magis particulatim explicem, eo quod vobis voluptatem praeriperςm discendi id ipsum vestro marte . & utilitatem ingenium vestrum cxcolendi, dum vos in eo exercetis, quae, meo quidem judicio. praecipua est, quam ex hac scientia periscipere licet. Deinde etiam, quod nihil lila adeddinicile deprehendam, ut ab illis, qui utcunque in Geometria commuta atque Algebra versati sunt , R. observaturi porro sunt, quae tractatu hoc continentur, inveniri non possit. Atque ideo sussiciet, Vos monere, si quis in reducen- Idis hisce AEquationibus non omiserit uti divisionibus
omnibus quae fieri possint, ipsum quoque insallibiliter habiturum simplicissimos terminos, ad quos quaestio re
Iam vero si illa per Geometriam communem resolvi potest , hoc est, utendo tantum rectis lineis &cir-
cularibus . in plana aliqua superficie descriptis , post - Plmis. quam ultima AEquatio omnino fuerit reducta , relinquetur nil praetcr quadratum aliquod incognitum . aequale et , quod provenit ex additione vel subtractio. nc ejus radicis . multiplicatae per quantitatem ali-
25쪽
6 GEOMETRIAE. quam cognitam , & alterius cujusdam quantitatis cognitae. U' ' Tuncuue radix illa. sive incognita linea, iacile invenitur. Nam ii, exempli gratia, habeamr
cujus unum latus L Μsit aequale , . radici videlicet quadratae quantitatis cognitaehb . alterum autem latus L N aequale , semissi nimirum reliquae quantitatis cognitas, quae multiplicata est per , quam suppono lineam esse incognitam. Deinde producta Μ N. base ejusdem trianguli, usque ad O, ita ut No sit aequalis N L: erit tota Ο Μ aequalis α, lineae quaesitae. Qiae quidem sic
exprimitur et In la*έ aa--bb. Qubd si vero habeatur II M - b b. atque' siquantitas, quam invenire oportet , facio rursus idem triangulum N L M . & a base ejus Μ N aufero N P. aequalem N L, eritque reliqua PM. aequalis I, radisi quaestiae. Ita ut fiat II---Nec aliter fit, si proponatur Io - PM enim esset x', Rhaberetur de M V - ν tua bb . atque ita de aliiS.
26쪽
Denique si habeatur ααπο aα - bbi facio NLaequalem Ia, & LΜaequalem b, ut ante. Deinde non duco lincam per puncta Μ& N. ut in duobus aliis casibus. sed
LN; centroque Ndescripto per L circulo, siccante M QR in punctis R. erit M vel M R aequalis lineae quaesitae m. Hoc enim casu illa duobus modis exprimitur , nimirum n mia a--bb , vel etiam Quod si circulus centrum suum habens in puncto N, Niransiensque per punctum L , non secet nec tangat lineam rectam M QR, nullam itidem AEquatio ra)icem admittet, ita ut inde asserere liceat constructionem Problematis propositi esse impossibilem. Caeterum possiant hae ipsae radices infinitis serme aliis modis inveniri; sed praedictos tanturii in medium asserre volui. velut admodum simplices: ut hac ratione pateat, Problemata omnia Geometriae communis construi posse, faciendo tantum ea pauca, quaequatuor praecedentibus figuris exposui. chaod quidem non credo a V teribus fuisse animadversum, cum alias laborem ea de re tantos libros conscribendi non suscepissent, in quibus vessolus ordo propositionum satis nobis ostendit, quod ipsis non constiterit vera ratio inveniendi omnes. sed quod solummodo collegerint illas.in quas sorte inciderunt
Quod etiam ex iis, quae Pappus initio sui septimi libri stho, scribit. evidentissime liquet. Vbi postquam aliquamdiu in recensendis illis omnibus,quae ab antecessoribus suis in '
27쪽
8 GEOMETRIAE Geometria scripta sunt, occupatus suit. tandem de quaestione quadam loquitur. quam nec Euclides, nec Apollonius , nec quisquam alius penitus resolvere potuerat, his verbis: viem autem dicit Apollonius in tertio libro locum ad tres, S quatuor lineas ab Euclideserfectum non esse. n que ipse perficere poterat, neque alsiquis alius esed neque ululum quid addere iis, quae Euclides scripsit. per ea tant- Conica, quae usique ad Euclidis temporapraemonstrata sunt, Sc. Paulo autem post explicat , quaestionem illam esse
At locus ad tres V quatuor lineas. in quo Apollonius magnifice se jactat S ostentat.nulla habita gratia ei qui prius scripserat, es hujusmodi. Sipositione datis tribus
rectis lineis ab uno'eodempuncto. ad tres lineas in datis angulis rerirae lineae ducantur,S dat tiroportio rectanguli contenti duobus ductis ad quadratum reliquae: Fune tam contingit sitione datum solidum locum, hoc es, unam ex tribus conicis sectionibus. Eis adpiatuor rectas tineas postione datas in datis angulis lineae ducantur ; Sret unguli duabus ductis conenti ad contentum duabus reliquis proportio datasit militer punctum datam coni sectionempositione continget. Si quidem uitur ad duas tantum, locus planus ostensus s. a bdsi adplures quam quatuor punctum continget locos non adhuc cognitos. sed lineas, tantum dictas s quales autem sint, vuquam habeant proprietatem. nou constate earum unam,
neque primam. quae manifestissima videtur, composeu runt, endentes utilem esse tropositiones autem ipsarum hae sunt. Si ab aliquo puncto. adpositione datas re fas lineas.' quidique ducantur rectae lineae in datis angulis, S data
28쪽
sit proportio solidiparallelepipedi rectanguia . quod tri-
hus ductis lineis continetur, ad solidumparallelepis dum rediangulum; quod continetur reliquis duabas, S data quapiam linea , punctum positione datam lineam continget. Si autem ad sex. is data sit proportio solidi tribus ιineis contenti ad Aolidum, quod tribus reliquis continetur; rursus punctum continget positione data Aueam. Eod si ad plures quam sex. non adhuc habent dicere, an dat Pproportio cujuspiam conteni quatuor tineis. ad id, quod reliquis continetur: quoniam non est aliquid contentum pluribus quam tribus atmensionibus.
Vbi velim ut ex occasione notetis. V cterra Mathematicos , ex eo. quod vocabulis in Arithmetica usitatis, ad operationes Geometricas significandas . libere uti noluerint, saepe in modos cas cxplicandi valde intricatos Robscuros incidisse, cujus rei non alia potuit causa esse, quam quod non satis accurate perceperinc, quaenam sit inter illas duas scientias assinitas. Pergit enim Pappus
Acquiescunt autem his, quipaui3 ante talia interpretati sunt, neque unam aliquo pacto comprehensibile s-gnificantes, quod his continetur. Licebit autem per con- junctasproportiones haec, S dicere demonstrare uni--υρ in dictispropoμtionibus, atque his in hanc modum. Si ab aliquo pans ad positione datas rectas tineas δε- cantur rectae lineae in datis angulis, or datassit proportio conjuncta ex ea, quam habet una ductarum ad unam, altera ad alteram, S alia ad aliam, reliqua ad datam lineam , sintseptem ; si vero octo, S reliqua ad reliquam : punctum continget positione datas lineas. Et similiter quotcunque Ant impares vespares multitudine, cum haec, ut dixi, loco ad quatuor lineas respondeant, nullum igitur posuerunt, ita ut linea notasit B Quae-
29쪽
xo GEOMETRI AEQuaestio itaque quam Euclides resolvere inceperata que Apollonius continuaverat,sed quae a nemine suit per- ω a. erat hujusmodi. Datis positione tribus, quatuorve . aut pluribus rediis lineis; quaeritur primo piandium, a quo totidem aliae reiactae lineae, singulae ad singulas datarum duci possint, quae cum ipsis datos essiciant angulos TR quarum rectangulum. Dib duabus contentum, datam habeat rationem ad quadratum tertiae, si sint tres; vel ad rectangulum reliquarum duarum, si sint quatuor; Aut si quinque sint, ut
parallelepipedum, quod sub tribus ex illis comprehenditur , gatam habeat rationem ad parallelepipedum, quod sub duabus reliquis comprelκnditur N alia quadam data ; Aut si sex sint . ut parallelepipedum sub tribus
contentum datam habeat rationem ad parallelepipedum sub tribus reliquis comprehensum ; Aut u lint septem, ut hoc, quod producitur ex multiplicatione quatuor ductarum in se invicem, datam habeat rationem ad illud, quod ex mutua multiplicatione reliquarum trium N alia quadam data producitur; Aut si sint octo, ut id. quod ex quatuor ductis inter se multiplicatis producitur. datam habeat rationem ad productum ex reliquis quatuor. Atque ita porrd quaeltionem hanc , ad omnem. . alium linearum numerum, extendore licet. Deinde. quia semper infinita sunt puncta, quae satissa- .cere possunt iis, quae hic quaeruntur, requiritur insuper. ut cognoscatur atque describatur linea, in qua illa omnia .
Dicit autem Pappus, si tantum 3 aut lineae dentur lineam illam tunc aliquam exsectionibus Conicis exist re. Vcnim non suscipit ipsam determinare neque describere, non magis quam explicare lineas illas. in quibiis
quaesita puncta inveniri debent, quando quaestio proposita Diuitiaco by Cooste
30쪽
Lx BER PRIMUS. IIta est in pluribus lineis. Gnteun addit . qubd Veteres unam ex illis sibi imaginati fuerint, quam ibidem utilem
esse monstrarunt, sed quae manifestissima videretur, nec tamen prima existeret. Quod occasionem mihi praebuit tentandi, num illa. qua utor. methodo, aeque longe, quam illi pervciaerunt. progredi liceret. Primo autem inveni, quod, dum haec quaestio intribus, quatuorve, aut quinque duntaxat lineis proponi-fum afltur, puncta quaesita per simplicem semper Geometriam inveniri queant; hoc est; ut non nisi regula atque circi pl.no utamur; nec aliud quidquam, quam quod jam traditum est, faciamus. Praeterquam si quinque lineae dantur, quae omnes inter se parallelae suerint. Quo casu, ut 3c
quum quaestio in 6, 7 8. aut 9 lineis proponitur, quaesital uncta per Solidorum Geonactriam inveniri possitnt:
ioc est, adhibendo, ad constructionem, aliquam ex tribus Conicis setaonibus. Excepto tantum . si novem lineae datae sucrint, quae omnes inter se parallelae existant. Quo casu, ut&quum quaestim in Io, II, I 2, aut I 3 lineis proposita est, quaesita puncta per curvam lineam, quae Uno tantum gradu magis composita est, quam sectiones Conicae, inveniri possunt. Excepto in I 3, quae omnes inter se sint parallelae. quo casu, ut&in I , I s, I 6,& I7lineis, linea curva adhiberi debet, quae uno gradu supra praecedentem composta est. Atque ita in infinitum. Deinde inveni quoque, si tantum tres aut quatuor lineae datae suerint; quo sita puncta, non modo in aliqua trium Conicarum sectionum, sed interdum etiam in circuli circumferentia, aut in recta linea reperiri. Et si s , 6, 7, aut 8 lineae datae suerint, tum pundia illa incidere in aliquam cx lineis, uno gradu magis compositis, quam sectiones Conicae. Qiarum quidem nullam , quae ad
banc quaestioiκin non sit utilis, imaginari licet. Sed posiB L sunt