장음표시 사용
51쪽
fit transversum 1 m. Ita ut inde sicile sit il-
' iam invenire per 3 - Problema IV libri Conicorum Apollonii. . Quorum quidem demonstrationes perspicuae sunt. D- - Etenim . si componatur spatium aliquod ex quantitatubus . quas recto & traniverso lateri as signavi , atque Muum. etiam segmento diametri NL, vel OP, juxta sensum x. i Σmi. R I 3 μ Theorematum primi libri Conicorum Apollonii. invenientur iidem omnes termini, ex quibus compositum est quadratum lineae CP, vel CL, quae huic diametro ordinatim est adplicata. Vt in hoc exemplo, auferendo I Μ, quae est ab N Μ, quae
est H V o o ms, relinquitur I N ; cui si addatur I L , quae est se , fit sunt a N L ; quae ideo erit
52쪽
provenit xwoo-- mp ta, V - - - 2 mm . pro rectangulo. A quo auferendum est spatium, quod sit ad quadratum ex N L, ut latus rectum ad latus transversum. Hinc cum quadratum ex N L
7π έρο-, oportebit id ipsum divi.
deremta a m , dc multiplicare per ρ α m, propterea quod ni termini rationem, interlatus transversum & rectum explicent, fietque xx-ox- x Voo
ri, κοιλ - ου' ν m. Hoc si auferatur ex rectangulo praeeedenti, invenietur m minox ex x, pro quadrato lineae CL: quae proinde una est ex ordinatim adplicatis in Ellipsi, aut Circulo, ad segmentum diametri N L. Iam vero si datas omnes quantitates numeris velimus explicare ponendo, exempli gratia, ΕΑma AG nn
C F so 1 C S . CH Io j CT ; & quod angulus A BRsit graduum; ac denique quod rectangulum sub duabus lineis C B & CF. sit aequale rectangulo sub duabus reliquis C D & CH; quandoquidem Iaaec omnia data requiruntur , ut quaestio sit pζnitus determinata ; &quod praeterea Α Bst zo , & C B MI: inveniemus per
modum, supra explicatum M 2I- - - x-xx
53쪽
heat 1. & K L semissis ipsius K I vel A B. Cumque angulus IK L sit graduum , angulus I L K erit restis.
Quoniam autem IK seu AB vocata est x. KL erit I L vero x & quantitas quae paulo ante nominabatura , erit I; quae autem ιτ, erit quae m, erit i ; quae o. erit
4; di quae appellabatur p. erit ἰ : ita ut habeatur W v pro
I M. &κ' pro NM. Et quia aiam. qtiae est ἰ, lucaequatur ραα, atque angulus I L C cst redius. linea curva N C invenitur esse circulus. Eodem modo reliqui casus omnes facile examinari possitiat. Caeterum, quia aequationes, quae ultra Quadratum non ascendunt, omnes in eo sunt comprehensae, quod
jam explicavi; non solum Veterum Problema in a & lineis hic penitus ad finem perductum est; sed etiam illud, quod ad id, quod Solidorum Locorum Comp
stionem vocabant, pertinet ; adeoque etiam locorum
p Planorum . cum illa in Solidis contineantur. Quippe haec loca nihil aliud sunt, quam cum in quaestione aliqua est inveniendum punctum, in qua una deficit conditio , ut ipsa prorsus sit determinata. Quemadmodum in hoc exemplo, ubi omnia ejusdem lineae puncta pro eo accipi possunt, quod est quaestum. Etenim linea illa existente retia aut circulari, locus vocatur Planus. At s illa est Parabola, vel Hyperbola. vel Ellipsis, tum locus ille nominatur Solidus. Quotiescunque autem id evenit, potest perveniri ad aequationem, quae duas quantitates incognitas continet , quaeque alicui ex illis . quas jam resolvi. similis existit. bd si vero linea, quae sic quaesitum punctum determinat, uno gradu magis quam sectiones Conicae sit composita, ipsam eodem modo locum Sursolidum appellare licebit . atque ita G de caeteris. At vero duabus conditionibus deficientibus ad hujus puncti determinationem, locus, in quo il-
54쪽
L 1 B E R . s E C v N D E s. lud reperitur. superficies est. quae similiter aut plana . aut sphaerica, put magis composita esse Verum summus scopus, quem sibi in nac materia Veteres praefixere. fuit , ut ad Solidorum L Ortim compositionem pervenirent ; Et verisimile est j omne illud, quod Apollonius de Conicis sectionibus scripsit, eb tanim, ut illam indagaret , respexisse. Praeterea apparet etiam , illud , quod pro primo linearum curvarum genere sumpsi, non posse alias ullas . praeter Circulum, Parabolam, Hyperbolam.&Εllipsim compitari. Quod quidem id omne est, uod demonstrare susceperam. Quies si Veterum quaestio in s lineis est proposta, Volim quae omnes sunt paret telae; evidens est, quaeritum pun- 'itam semper in linea recta fore. Sed si in s lineis pro-rissisiati- posita suerit, ita ut 4 illarum sint parallelae , & quae a V quinta ad angulos rectos secentur; tum etiam, ut lineae omnes a quaesito puncto ad angulos rectos illis occurrant; ac demum ut parallelepipedum ex tribus lineis ita ductis ad tres cx iis, quae parallelae se ni, sit aequale pa-tium, rallelepipedo ex duabus ad reliquas ductis, Rex tertia quadam data linea: qui, ut videtur, post praecedentem is D ε' simplicissimus casus est, quem quis concipere potest:
punctum quaestum cadet in lineam curvam, quae motu Parabolae describitur , quemadmodum superius est explicatum.
- Sint, exempli gratia, datae linvr AB, I H. ΕΡ. GF, G A ; R oporteat invenire punctum C; ita ut, ducendo CB. CF. CD. CH &C M ad angulos rectos ad positione datas. parallelepipedum ex tribus C F. C D. &C H compositum, sit aequale parallelepipedo composito ex duabus reliquis CB, CH, ct tertia data linea, quo si AI. E 1 Pono
55쪽
Pono CBmst, C Mm x. AI vel AEves GEcoalita ut.existente puncto C inter lineas A B & D Ε, habeam C F m ha , CD m a -&mul tiplicando hasce tres in se invicem, trabeam ' - a I-aa --' a' , aequale producto trium reliquarum, q inax Post haec considero lineam curvam C Ε G , quamque secabatur a regula G L. rotata circa punctum G , semperque transeunte per punctum L, in plano Par bolae.
56쪽
L 1-n E L S E C v reo v s. 37holae. Et facio K L Io a. latusque principale. hoc est, quod ad axem Parabolae pertinet, itidem aequale , G Avero Io 2 a, CB seu M A IS , dc C M seu A B s . Deinde propior similitudinem triangulorum G M C &C B L, G M seu 1 γ est ad M C seu , ut C B seu' ad B L, quae ideo est Unde cum L K sitiet, B
dem B K. quae diametri Parabolae est segmentum, se habet ad B C. quae ipsi ordinatim est adplicata, ut B C se habet ad latus rectum, quod est a: calculus mons t. quod γ' - χ aD- a D. 2a' aequabitur ax , dc per consequens, quod punctum C erit illud, quod quaere- . hatur. Quod quidem , ubicunque libuerit, in linea C E G assumi potest; vel etiam in ejus adjuncta c E G e,
quae eodem modo describitur, praeterquam quod Parabolae vertex versiis alteram partem vergat; vel denique
in earundem oppositis N Io, nIO, quae per intersectionem . quam linea G C iacit in altero Parabolae latere KN. describuntur. Iam vero etiamsi datae paraliciae Α B. I H, Ε D. &G F non aequaliter inter se distantes essent , nee G Aipsas ad rectos angulos secaret , neque etiam lineae a puncto C ad easdem ductae 1 tamen non minus hocce punctum C reperiretur semper in linea curva, quae ejusdem esset naturae. Quemadmodum id Etiam aliquando contingere potest, licet nullae ex datis lineis sint parallelae. nd quando ita quatuor parallelae sunt , & quinta easdem secans; & quidem parallelepipedum ex tr . bus, a quaesito puncto ductis, quarum una superquimiam cadat. & aliae duae super duas ex parallelis, aequetur parallelepipedo sub duabus ad duas reliquas parati
57쪽
38 'GEOMETRIAE reperietur in linea curva, quae alterius erit naturae. Elicet in una, cujus omnes ordinatim adplicatae ad diame- triim aequales sunt ordinatim adplicatis ad diametrum scistionis Conicae , cujusque segmenta diametri inter verticem.ordinatim adplicatas es iterjedia ; candem rationem habent ad datam aliquam linstam . quam haec ipsi ad similia diametri segmenta sectionis Conicae . quibus illae lineae ordinatim sunt adplicatae. Neque asseverare ausim, hanc lineam non simpliciorem esse praecedenti ;quam tamen pro prima su mendam putavi: propterea quω descriptio ejus ac calculus aliquo modo sint facialiores. Quod ad lineas attinet . quae reliquis casibus insediviunt, non immorabor iis per species distinguendis, neque enim omnia dicere suscepit Sed quia modum inveniendi infinita puniri. per quaeuansire debent, explicui . simul modum, quo describendae sunt, me satis ostem disse puto.
proinde non e re suerit. hic considerare . . ma gnum esse discrimen. inter hunc modum inveniendi plu- o puncta, ad describendam aliquam curvam lineam . atque illum . quo utimur in descriptione Spiralis S sunt- - lium. Quandoquidem hoc posteriore modo, non in-2 ae disserenter. omnia quaesitae lineae puncta inveniuntur.
- . sed tantum ca, quae per mensuram aliquam simplici rem determinari possunt, quam est ea , quae ad illam componendam requiritur. Atque ita proprie loquendo nullum ex ejus punctis invenitur, hoccst. nullum e rum . quae ipsi ita propria sunt, ut non nisi per illam in veniri possint. Sed econtra nullum habetur punctum in lineis . quae quaestioni propositae inserviunt, quod non inter illa, quae modo supra explicam determinantur. in veniri queat. Cum autem modus describendi lineam
58쪽
LIBER SECUN DV s. 3' curvam, indisserenter plura ejus puncta inveniendo, ad illas tantum se extendat . quae itidem per motum aliquem ordinatum δc continuum describi possunt , non
erit is omnino a Geometria rejiciendus. Quemadmodum non magis etiam ex ea rejiciendus
est modus, in quo filo seu chorda complicata utimur ad determinandam summam vel disserentiam duarum pluriumve linearum rectarum , quae a quolibet quaesitae: tu , curvae puncto duci possunt ad certa quaedam alia punista vel lineas in certis angulis, sicut in Dioptrica secimus, ad explicandam Ellipsin & Hyperbolam. Nam licet in ''
Geometria nullae lineae, quae chordis similes videntur. hoc est, quae modo rectae, modo curvae sunt, recipi possint; cum ratio, quae inter rectas & curvas existit, non cognita sit . nec etiam ab hominibus sui arbitror cognosci queat; nihilque inde, quod exactum atque certum est , concludere possimuS: Tamen, quia non aliter ichordis illis in dictis constructionibus utimur, quam Nearum beneficio lineas rectas determinemus, quarum longitudo exadte cognoscitur, essicere hoc non debet ut rejiciantur. Iam vero ex hoc solo , quod scitur relatio , quam omnia lineae curvae puncta habent ad puncta ostinia lineae rectae, modo illo, quem supra explicavi; facile quoque est invenire relationem, quam habent ad omnia alia puncta & datas lineas: atque exinde cognoscere diame- twS, axeS. centra, aliasque lineas, & pu , ad quae unaquaeque curva linea relationem habebit speciali orem
vel simpliciorem quam ad alia: atque ita imaginari diversos modos illas describendi. ex quibus faciliores eligi possunt. Immo vero . potest quoque ex hoc selo inveniri propemodum omne id, quod determinari potest , atque ad spacii, quod comprehendunt, magnitudinem H
59쪽
U GEOMETRIAE om Amnem spectati ita ut non opus sit de his agere apertitis.' die. denique quantum ad omnes reliquas proprietates.ctas, pis quas lineis citrvis attribuere possumus, ipsae tantum in Vμ μ do angulorum . quos cum certis quibusdam aliis Iineis inciunt, amplitudine dependent. Sed si lineae rectae duci possint . quae illas in punctis .ubi aliae, cum quibus angulos laciunt, quos mei are volumus. ipsis occurrunt. secent ad angulos rectos, vel, quod hic pro 'codem haberi volo , quae earum contingentes secent: magnitudo horum angulorum non crit inventu dissicialior, quam si a duabus rectis lineis comprehensi essent. Atque ideo confidam . me exposuisse hic omnia illa. 'quae pro curvarum linearum elementis requiruntur , postquani generalem modum ducendi)rectas lineas..quae eas ad rectos angulos in quibusvis ipsarum punctis secent, ostendero. Nec verebor dicere, Problema hoc. non modo eorum . quae scio, utilissimum dc generalissi- .mum esse ; sed etiam eorum , quae in Geometria scire unquam desideret rim. . Sit C E linea curava. Oporteatque per
ineam ducere, sa- cientem cum ipsa an-
Suppono rem tanquam jam factam, lineamque qua sitam esse C P. quam pmdum usque ad punctum P, ut υ,--- occurrat rectae G Α, quam suppono illam esse, ad cujus puncta reserenda sunt puncta omnia lineae C Ei ita
habeam aequationem aliquam , quae mihi relationem, . . quae est inter x δ'. explicet. Deinde facio PC Io s.
R P A m et , seu P Μ Io υ Vnde propter triangulum
60쪽
tum basis . aequale xx vv- xv - , quadratis duorum laterum , hoc est, invenio x Io Vss-2vI I, aut Iov-κss-xx. Cujus aequationis ope autem ex aequatione altera quae mihi relationem
explicat . quam puniri curvae C Ε habent ad punista re- G Α alterutram e duabus quantitatibus indeterminatis x vel F. Quod quidem facile est, si ubique pro
x. quam tollere velimus ; auit si fuerit. ', ponendo ejus loco. v - . s-& piadratum . cubumve, &c. hujus summae, loco γ', aut ',&c. Ita ut inde semper restet aequatio, in qua non nisi una habeatur quantitas indeterminata , Vel I.
Quemadmodum D C E cst Ellipsis . in qua Μ Α L . sit segmentum diametri ad quam C M sit ordinatim