장음표시 사용
31쪽
Ix GEOMETRIAE sunt rursus illa etiam in sectione Conica, aut in Circulo. aut linea recta reperiri. Similiter si 9. IO, II. aut Iaelineae datae fuerint, reperientur haec punista in aliqua linea, quae non nisi uno gradu supra praecedentes poterit esse composita: quemadmodum ctiam nullam earum imaginari licet, quae ibidem utilis esse non possit. Atque ita porro in infinitum.
Denique prima & post Conicas se mones simplicissima, ea est, quae per. Parabolae & rectae lineae intcrsectionem describi potest, quemadmodum post explicabitur Αdebui existimem, me prorsus satissecisse iis . quae Pap. pus nobis commemorat hic a Veteribus fuisse quaesita. quorum quidem demonstrationem paucis subjicere conabor. Quippe me taedet jam multa hac de rescripsisse
32쪽
LIBER PRIMvs. IIa quo si ducantur totidem aliae ad positione datas , ut CB, CD. CF.&CH, in datis angulis C B A. C DA. C F Ε, C H G . 8 c. ut hoc, quod producitur ex Multiplicatione certarum quarundam harum linearum . sit aequale illi . quod producitur ex multiplicatione reliquarum; vel etiam ut unum ad alterum datam habeat rationem. id enim quaestionem dissiciliorem non reddit. Primb itaque rona ut jam factam stippono, atque ut L meis ex harum omnium linearum confusione me expediam,
considero unam ex datis, atque unam ex quaesiti S, exem- mimiu
pli gratia. AB dc CB, velut praecipuas , & ad quas re
liquas omnes referre conor, Ponendo nimirum segmen- ad p
tum lineae A B, quod intra puncta A & B continetur, vocari x. B C autem vocari I l aliasque. lineas datas omnes productas esse, donec secent la ce duas .ctiam roductas , si opus suerit , R ipsis non sint parallcae. quemadmodum hac apparet illas secare , lineam quidem A B in punctis A . Ε, & G; B C vero in punistis R. S,&Τ. Deinde quia omnes anguli trianguli AR B dati sunt. data quoque erit ratio, quae est inter Gus latera A B& B R, quam pono uta; ad ita ut, cum AB sit e,
R B sutura st . . C R autem y-μz: siquidem pundium B cadit inter puncta C N R; nam si R caderet inter CS B , C R esset - : sin vero C caderet inter B R R. CR sorct - - . Similiter, dantur quoque tres angulit trianguli D R C. unde & ratio, quae est inter latera CR R CD, quam pono utet; ade: ita ut, eum CR st= C D sutura si - - Postea, quia lineae AB, A D. N EF postione datae sunt, data quoque erit distantia puncti A a puncto E: quae si nominetur. , habebitur E B aequalis in x ; foret autem ipsa ε'- x,
33쪽
x GEOMETRIAE si punitam B caderet inter Ε & Α; at vero si E caderet inter A & B. Rursus, quoniam anguli trianguli Es B omnes dantur. dabitur quoque ratio lateris
B E ad B S : quam si ponam esse ut ad .l, B SQ S verb-; quae quidem foret
. li punctum S caderet inter B , C; at vero
si C caderet inter B&S. Porro dantur tres anguli trianguli F S C, 8c consequenter ratio ipsiugC s ad C F. quae sit ut α; ad e, unde tota C F etit Eodem modo, data est AG , quam vo-
si ponamus ut et adg habebitur C H Io --. Atque ita videre est, quod . positione datis Quotcunque lineis, ex puncto C seinper totidem aliae ad ill a duci possint in datis angulis, juxta quaestionis tenorem quae singulae exprimantur ad summum per tres terminos; quorum quidem unus .compositus sit ex quantitate incognita I , multiplicata aut divisa per aliam quandam cognitam. ; secundus vero. ex incognita quantitate x. etiam multiplicata aut divisa per aliam quandam cognitam ; ac tertios denique ex quantitate aliqua omnino cognita. Excepto tantum,' si datae lineae sint omnes parallelae. ves lineae A B, quo casu terminus cx quantitate x compositus evanescet; 7 vel etiam lineae C B . quo casu terminus ex quantitatea compositus evanescet; ὶ quemadmodum id plus satis per se manifestum est, nec prolixiori explicatione eget. Quod autem spectat adsigna
34쪽
t BER PRIMVs. Is gna &- , quibus hi termini conjunguntur, ipsa qui-ciem variari possunt modis omnibus , quos imaginari licet. Deinde videre etiam licet, quod multiplicando ita hasce lineas in se invicem, quantitates x &I, quae in pro- . ducto rmeriuntur. singulae non plures dimensiones habere postini, quam extiterint lineae, quarum explicationi inserviunt.) quae ita sunt multiplicatae. Adeo ut nunquam plures duabus habiturae sint dimensiones, ubi produehim illud ex duarum tantum linearum multiplicatione nascitur; nec plures tribus; cum productum illud ex trium tantum linearum multiplicatione genitum fuerit, &sic in infinitum. Caeterum quia ad determinandum punditam C una pacta duntaxat conditio adimplenda est. nimirum ut hoc quod
ex multiplicatione carti numeri harum linearum produ-b 1abucitur sit aequale, vel quod nihilo dissicilius datam habeat rationem ad illud quod provenit ex reliquarum mul--imtiplicatione: possimus ad libitum assumere alterutram μή
quantitatem incognitam x Vel I, atque alteram invenl- iamiare per hanc AEquationem. Vbi liquet, si quaestio in quinque tantum lineis proposita fuerit,' quantitatem x. quidem expressioni primae lineae non inservit, posse semper non plures quam duas dimensiones recipere. Ita ut, s pro sumatur quantitas aliqua cognita : relinquatur
tantum xx Io- vel ax ves-bb. Et tum quidem quantitatem x invenire poterimus regulae atque clacini
beneficio , quemadmodum superius, explicatum fuit. Adeoque si in infinitum alia atque alia magnitudo su- , matur pro linea invenietur quoque in infinitum alia atque alia pro linea x, atque ita obtinebitur infinitus numerus punctorum, cujusmodi est punetium C, quorum ope quaesita curea linea describetur. Fieri ,
35쪽
Fieri etiam potest . quum quaestio in sex aut pluribus lineis proponitur . si inter datas lacrint, quae ipsi A B vel
B C parallelae existant. ut una duarum quantitatum, M', duas tantum aut etiam usam in AEquatione dimensiones habeat, adeo ut punctum C regulae ac circini beneficio inveniri possit. Sed contra, si omnes s ni parallelae, etiamsi quaestio in quinque tantum lineis proposita sue-rtu; non poterit tamen punctum C dicta ratione inveniri : quia, dum quantitas x nusquam in AEquatione reperitiir, permissum non erit amplius pro illa, quae I vocata fuit, quantitatem cognitam assumere, cum haec ea ipsa sutura sit, quam quaerere oportet. Et quandoquidem illa tres dimensiones habebit, non poterit ipsa nisi radicem ex Cubica AEquatione eliciendo inveniri. . Qxiod quidem in genere . nisi ad id aliqua ad miniamum Conica semo adhibeatur, fieri nequit. Rursus. licet lineae ad novem usque datae sint, dummodo nota sint omnes parallelae , semper fieri potest , ut AEquatio non altius quam ad quadrato-quadratum ascendat. quam ipsa per Conicasseetiones resolvi quoque semper poterit, eo modo, quem postea sum explicaturus. AC denique, licci habeantur usquὁ ad 33 lineas . cssiccio' semper possumus, ut AEquatio quadrato-cubum non eX- cedat. Ita ut illam deinde resolvere queamus beneficio .lincae , quae uno duntaxat gradu pra sectiones o ni-cas est c' posita, quemadnaodum etiam post explica- initur. Atque hoc primum est . quod luc eram demonstr tutiis a ii quam ad secu ndum progrediar, opuscae ut in genere aliquid de curvarum linearum natura
36쪽
natura Inearum cum rumVEteres optime considerarunt, quod Geometriae Problematum alia sint Plana ; alia Sohda ; alia inici denique Linearia; hoc est, qudd quaedam eorum: o contati possint, ducendo tantum rectas lineas & cir-t -- culos; cum alia cohstfui nequeant , nisi ad minimum creadhibeatur Conica aliqua sedlio ; ac reliqua denique, quin ad construetionem eorum assumatur alia quaedam linea magis composita.
verum satis mirari non possini 16 non ulterius
p ressi lineas hasce magis compostas in certos di- .stinxerint gradus; neque etiam plane capio , cur illas potius Mechanicas, quam Geometricas nominaverint. Etenim, si dichtur. ideo id suisse Listum, quM instrumento quodam, adillas in plano describendas, uti opus sit, circuli quoque & rceta lineae ob eandem rationemrejiciendae essent: cum absque circino & regula , quae non minus instrumenta dicenda sunt, in charta describi non possint. Neque etiam ideo, quod instrumenta, quae describendis illis inserviunt, utpote nauis composita
quam regula & circinus , nequeant esse tam exacta: quandoquidem ob hanc rationem potius repudiandae serent ex Mechanica , ubi tantum accurata operiS convenientia, quae a manu proficiscitur, desderatur, quani ex Geometria, ubi sollim spectatur exadita ratiocinatio.
quippe quae proculdubio . tam hisce lineas quam illas concernens, aeque persecta esse potest. Neque tandem C ea
37쪽
ca de caussa, quod numerum postulatoriim sustrum au- re noluerint quodque contenti fuerint . modb lic rei. data duo puncta recta conjungere linea, atque ex dato centro circulum describebe, transeuntem per datum punctum: cum ulterius, ut de Conicis seetionibus tractarent . supponere veriti non fuerint, datum Conum dato plano secare. Vbi sane ad describendum lineaS Omnes curvas. qua hic introducere instituo, nihil aliud supponere est opus: quam ut duarum pluriunive Iinearum una per alteram moveri possit, ita ut illarum
interscissiones alias designent; siquidem id nilulo dissicilius mihi videtur. Verum equidem est , quod secti
nes Conicas non omnino in Geometriam suam receperint ; neque etiam nomina, quae usu approbata sunt, immutare Volo ; Veruntamen evidens admodum est , ut
mea fert opinio, quia . si Geometricum censeam' illii l. ut fieri selet) quod omnino perse stum atque ex istum est. R Mechanicum quod ejusmodi non eximi;
atque Geometriam consderemus ut scientiam, quae generesiter mensuras omnium corporum cognoscere si cet, non magis ex ea excludendae crunt lineae maxime
compositae , quam omnium sinplicissimae : siquidem
illas, per motum aliquem continuum, aut per plures . qui se mutuo consequantur , quorumque posteriores 1 prioribus regantur, imaginari possumus. Hac enim ratione exactam semper illarum mensurae cognitionem habere licet. Verum enimvero fieri potest, ut scrupulus, quem sibi Vcaeres Geometrae in recipiendis lineis magis quam sectiones Conicae compositis, injecerunt 'fuerit. quod primae, quas considerarunt, sorte extiterint Spiralis. Quadratrix, atque similes; quae revera non nis ad Mechanicas pertinent, nec ex illarum numero sunt.
quas hic recipiendas autumo: quandoquidem illas duo
38쪽
LIBER SECUN DV s. I, bus motibus describi imaginamur , qui a se invicem sunt diversi, nec ullam inter se relationem habent, quae exacte mensurari possit. Nam licet postea examinaverint quoque Conchoidem, Cisso idem ,& alias quasdam; tamen , quia sorte illarum proprietates non satis perspe-
fias habuerunt , neque etiam majorem earum quam praecedentium rationem habuere. Vel etiara videntes,
quod nondum nisi pauca, quae ad Conicas sectioia' pertinerent cognoscerent, &quia multa illorum, quaeregulae ac circini ope perfici possimi, quae ignorarent, sit-peressent, crediderunt, non Oportere, ut materiam aliquam difficiliorem aggrederentur. Sed quoniam spero, quod, qui in utendo calculo Geometrico . hic proposito, exercitati erunt, non facile quid in posterum reperturi sint, in quo haereant, quod ad Plana, & Solida Problemata attinet: confido, non abs re fore, si illos ad alia investiganda. ubi ipsis nunquam materia se exercendi de sutura sit, inVitem.
Sunto lineae AB, A D. AF,& smiles, quas suppono descriptas esse ope instrumenti X Y Z , quod composituna est ex pluribus regulis, ita junctis, ut, cum illa . quae designatur per V L . super lincam A N immota manet , angulus X YZ aperiri claudique posuit; R, illo omnino clauso existente, puncta B, C. . D, E, F, G, H omnia in punctum A cadant ; Sed prout aperitur, ut regula B C, quae ipsi X Y in puncto B normaliter adfixa esst , propcllat versus Z regulam C D. quae stipes Y Z incedit, 'faciens continuo cum illa angulos rectos; & rursus , ut C D propellat D E , quaes militer super V X incedit, parallela manens ipsi B C; deinde ut D E propellat ΕF; E F vero ipsam F G ; lucque denuo ipsam G H. Atque ita in intinitum. conci .piendo semper alias atque alias, quarum successive una C x alte-
39쪽
alteram codem modo propellit, & quarum aliae eosdem perpetuo angulos iaciunt cum Y X, atque aliae cum Y Z. Iam vero dum sic aperitur angulus X Y Z punimam B describit lineam A B. quae circulus est; puncta autem D, F H, ubi caeteranim regularum intersectiones sunt, describunt alias curvas A D. A F, Α Η, quarum posteriores ordine magis compositae sent quam prima, haecque magis quam circulus. Verum non video quid impedire possit , quo mines accurate atque distincte hujus primae descriptionem concipiamus quam circuli, aut Conicarum saltem sectionum; neque etiam quid impedire queat, cur non secundam, tertiam . caeterasque omnes , quae sic describi possint , aeque bene
concipiamus atque primam ; nec per consequens cur non omnes recipiantur . ut Geometriae contemplarionibus inserviant.
40쪽
LIBER SECUNDVS. ΣΙgradatim in infinitium essent compositae; verum. ut has omnes, quae in rerum naturadunt, simul comprehen- μὴ
dam, casque in certa genera ordine distinguam: aptius quidquam asserre nescio quam ut dicam, quod puncta omnia illarunt, quae Geometricae appellari possunt, hoc
est, quae sub mensuram aliquam certam & exactam ca- puncta dunt, necessarib ad puncta omnia lineae rectae, certam quandam relationem habeant ', quae per aequationem mastumesiquam, omnia puncta respicientem , exprimi possit. Et quod, cum aequatio haec non ultra rediangulum duarum quantitatum indeterminatarum , aut non ultra quadratum unius ex illis ascendit , linea curva tunc
primi & simplicissimi sit generis . sub ovo tantii Cioculus , Parabola, Hyperbola, & Elliptis sint comprehensae :) sed quod , postquam aequatio ad tertiam aut
quartam dimensionem duarum , aut unius e duabus quantitatibus indeterminatis ascendit . siquidem hic duae ad relationem unius ad alterum punctum explicandam requiruntur) linea illa tunc secundi sit generis: &quod, prout aequatio ad quintam aut sextam dimensionem ascendit, illa tunc sit tertii generis; & sic in infinitum de aliis. Vt si scire cupiam cujus generis sit linea ΕC, quam suppono descriptam esse per intersectionem regulae G L& plani rectilinei C N K L; cujus latus K N indefinite
productum est versus C; quodque , dum movetur supra planum deorsum in redia linea. hoc est, ut diameter ejus K L perpetuo applicata reperiatur alicubi lineae BA, utrinque indefinite continuatae, iacit, ut regula G L rotetur circa puninum G, quoniam ipsi continuo sic admovetur, ut simul quoque semper transeat pcrpumnum L : eligo rectam aliquam lineam, veluti AB, ut ad diversa cjus puncta reseram omnia puncta