장음표시 사용
41쪽
hujus curvae lineae C E : deinde eligo etiam pun maliquod in A B , veluti Α . ad ordiendum ab eo calculum. Dico autem, me utrumque eligere, quoniam liberum est , illa assumere , prout volumus. Nam licet plurimi reserat, quo pacto illa eligam, ut aequatio possit reddi brevior & facilior; tamen . quocunque ranciem modo sumantur , fieri potest , ut linea ejusdem generis esse appareat. Quemadmodum facile demonstrari potest Iam vero ad libitum sumens atquod punctum in curva, ut C. super quod suppono instrumentum . quod descriptioni ejus inservit, esse adplicatum, duco. ex C 'lineam CB parallelam ipsi G Α. ' Deinde quia CB RB Α duae sunt quantitates indeterminatae & incognitae, vom unam , & alteram x. Porro ut inveniam relationem unius ad alteram, considero etiam quantitates cognitas. quae hujus curvae lineae descriptionem determinant , ut G Α, quam Vocoq; K L, quam voco ι; 8c NLpa-
42쪽
N L parallelam ipsi G A quam voco c. Τum dico ut N Lest ad I K, vel e ad b, ita C B, vel , est ad B Κ, quae ideo
Denique ut C B est ad B L, vel ad ι. ita est G A , vel a , ad L A, vel x in aded ut, si
multiplicem secundam lineam per tertiam . . produc tur -ab, quod aequale erit x -- - Θ, ei scilicet, quod producitui multiplicando primam lineam per ultimam. Atque ita aequatio quae invenienda erat, est hujusmodiis Io c - a ac. Ex qua cognoscitur, lineam E C esse primi generis, quemadmodum illa re ipsa nulla alia est quis, Hyperbola. .. . Quod si in instrumento, quod ipsi describendae inservit. loco rectae lineae C N Κ sumatur inventa haec sise perbola , aut alia quaepiam primi generiS curva linea, . quae planum terminet C N K L ; intersectio hujus lineae di regulae GL- loco Hyperbolae EC . aliam curvam describet, quae secundi erit generis. Vt s CNKmis p. fuerit Circulus , cujus centrum L , describetur prima Conchoides Veterum ; & si Parabola suerit, cujus diau meter KB, describetur curva linea, quam paulo ante dixi primam esse ac simplicissimam pro quaestione Pap-zzubpi, cum quinque tantum lineae positione datae sunt Sed si loco alicujus harum linearum primi generis sumatur quaedam secundi, quae terminet planum C NK L, de- uis
scribetur ejus ope alia tertii generis ; aut si quaedam:
tertii generis sumatur. describetur aliqua quarti . & sic in infinitum. Vt facile ex calculo est cognostere. Et sine quocunque tandem modo curvae alicujus lineae descriptionem quis imaginatus suerit, modo ipsa ex illa- 'nam mimem, quas Geometricas Voco, extiterit, poterit
43쪽
24 GEOMETRIAErit semper inveniri aequatio, qua omnia ejus punisha liacratione determinentur.
Caeterum lineas curvas, quae faciunt ut aequatio haec ad Quadrato-quadratum adscendat, ejusdem generis esse pono cum illis , quae ipsam tantum ad Cubum perducunt. Atque illas , quarum aequatio ad Quadrato-c bum adscendit, ejusdem generis cum illis, quae ipsam tantum ad Surdesolidum perducunt. Et sic de caeteris. Cujus rei ratio est . quod generalis regula habeatur reducendi ad Cubum dissicultates omnes, quae ascendunt ad Quadratoriuadratum: Rad Surdesolidum omnes illas , quae ascendunt ad Quadrato-cubum, ita ut magis compositae censeri non debeandNotandum aulcm est, quod inter lineas cujusque generis , licet major pars aequaliter sit composita, ita ut ad eorundem punctorum determinationem servire pos. sint, atque ad eadem Problemata construenda; tamen quaedam illarum sint, quae simpliciores existant, qua que non tantam in sua potentia extensionem habeant. Vt, inter lineas primi generis, praeter Ellipsin, Hyi er-holam. Parabolam, quae aequaliter sunt componiae, etiam Circulus est comprehensus, qui manifesto simplicior est. Et inter illas secundi generis, numeratur quoque Conchoides vulgaris, quae suam originem ex Circulo ducit; quemadmodum aliae praeterea reperiuntur. quae, etiamsi non tantam extensionem habeant, quantam maxima illarum pars , quae ejusdem generis sunt, tamen inter lineas primi generis poni non possitiat. Reductis igitur curvis lineis ad certa genera , sacile erit progredi in demonstratione responsi , quod paulo ante dedi ad quaestionem Pappi. Primum enim , cum supra ostenderim, quod, quando tantum 3 aut lineae rectae dantur, aequatio, quae ad quaesita puncta determi-
44쪽
Lra ER SE CUNDVS. 2snanda inservit, non ultra quadratum ascendat: evidens est. lineam curvam, in qua haec puncta reperiuntur, necessario aliquam esse primit generis : quandoquidem haec aequatio relationem, quam omnia linearum primi generis punista habent ad puncta lineae rectae, explicat. Et quod , cum non plures quam 8 lineae rectae datae sunt, aequatio haec tum ad summum non ultra Quadrato-quadfatum ascendat, ac per consequens quaesita linea non nisi secundi aut inserioris generis esse possit. Et quod, cum non plures quam I 2 lineae rectae datae sunt,
aequatio tum non ultra Quadrato-cubum ascendat, ac
per consequens, quaesita linea solummodo terni aut inferioris generis existat. Atque ita de reliquis. Quin .etiam, quoniam datarum rectarum positio omnifariam variari potest, & per consequens mutare tam quantitates cognitas, quam signa in &- ipsiua aequMionis, modis omnibus, quos sibi quis imaginari queat: evidens est. nullam primi generis curvam lineam reperiri, quae ad 'hanc quaestionem non sit utilis, quando illa in lineis est proposita; neque ullam secundi, quae ibidem non inse viat, quando illa in 8 lineis est proposita; neque etiam ullam tertii, quando illa in I 2 lineis est proposita. Et sipde reliquiS. Adeo ut nulla curva linea, quae sub calculum cadit. atque in Geometriam recipi potest, reperiatur, quae ibidem ad aliquem linearum numerum non sit utilis. Sed oportet ut de his specialius agam atque rationem solusis inveniendi lineam quaesitam, cuilibet casui inservientem, exhibeam, quando tantum 3 aut lineae datae sunt; atque eadem p ra videbitur, quod primum linearum curva--- 3 um genus alias nullas, praeter tres Sectiones Conicas &
Circulum, complectatur. , spevst .
45쪽
G H , superius datas , oporteatque aliam invenire lineam, in qua infinita reperiantur puncta, quale est C. unde si ducantur quatuor lineae CB, CD CF,&CH, in datis angulis ad positione datas: ut C B multiplicata per C F tantundem producat ac C D multiplicata per CH. hoc est, posit1 CBMI, CD Io 2 CFa σαγ' & CH zo eriz
3 saltem si supponamus quantitatem e et majorem quam xe g. nam si minor foret, mutanda ossent omnia signa . & . Vndo si in hac aequatione quantitas ν nulla sit, aut
minor quam nihil , postquam punctum C supposuimus in angulo D AG, oporteret & illud supponere in angulo DAE,
46쪽
L x B E R , S E C V N B V S. IIDA Ε, aut ΕΑR , aut etiam R AG, mutando signa - - & - , prout ad essectum hunc requireretur. Quod si vero in quatuor hisce positionibus valor ipsusI nul- Ius reneriretur, indicio esset, quaestionem casu proposito esse impossibilem. Sed supponamus illam hic possibilem esse , & ad abbreviandum ejus terminos , loco quantitatum 'scribamus 2 ni, & loco
Rursus autem abbreviandi causa, prO -
Cum enim quantitates hae omnes datae sint, illas, ut placuerit . nominare possumus. Atque ita habebimus On-mm- ox- xx. quae longitudo esse debet lineae B C, relinquendo AB, seu x , inde
Vbi patet, si quaestio in tribus aut quatuor tantum lineis est proposita, semper ejusmodi terminos inveniri posse; praeterquam quod quidam ex illis interdum ab- cse possint, signaque -- & - diversimode mutari. His peractis . duco KI parallelam S aequalem ipsi A B, ita ut ex B C segmentum auferat B K. aequale ipsi m: quandoquidem hic habetur in m ; quod quidem alias addidissem ipsi B C. ducendo hanc lineam I K ad alteram partem, si illic suisset m; eamque nullo modo duxissem , si quantitas m prorsus defuisset. Deinde duco IL, ita ut linea IK sit ad K L, sicula; ad n. hoc
47쪽
L8 GEOMETRIAE est, ut, cum IK est , Κ L sit Atque hac ratione imnotescit etiam ratio , quae est inter K L & I L. quam Pono eandem, quae est inter n &is: ita ut, cum K L est
I L sit V : & lacio ut punctum K cadat inter L & C; siquidem isse habetur - ubi alias L sumpsissem inter K S C, si habuissem Neque omnino duxissem hane lineam IL, si V defuisset. e Hinc nihil mihi amplius restare video pro linea L Cpraeter hosce terminoS : LC DO Vmm --ox- xx. Vnde cognosco, quod, si nulli suissent, punctum C repertum suisset in linea recta IL; & si tales extitissent, ut inde radix extrahi potuisset, hoc est, ut, mm δέ xx
48쪽
signo in notatis, o o fuisset aequalis Ap m . sive etiam termini m m&ox, aut Ox&E xx nihilo suissent aequales, punctum hocce C in aliam rei tam lineam cecidisset, quae quidem inventu dissicilior non suisset quam I L. Sed si hoc non fiat, punctum C reperictur semper in ali- si siqua trium Conicarum se stionum, aut in Circulo, cujus una ex diametris sit in linea I L. & linea L C una ex iis, quae ad hanc diametrum ordinatim adplicantur; vel contra. L C erit parallela diametro, ad quam illa. quae est in linea IL , ordinatim adplicatur. Nimirum .s terminus - xx non repetiatur , crit Conica haec soreo Parabola ; at vero si denotetur sgno, erit Hyperbola ; ac denique si signo - , crit Ellipsis. Excepto tantum , cum quantitas clam aequalis quantitati
angulus IL C techis: quo casu, loco Ellipsis
Quod si haee scinio Parabola existit, latus redium aequale erit - , diameterque semper in linea I L. atque ad inveniendum puninim N , quod illius vertex est, oportebit IN aequalem sumere-; ita ut punctum Icadat inter L & N, inermini suerint inmminox etiam , ut punctum L cadat inter I & N . s illi suerint mm - o x ; aut denique ut N cadat inter I & L, s habeatur-mm ox. Sed nunquam illic haberi potest -mm, eo modo quo termini hic sunt positi Postre-mb vero punctum N erit idem quod punctum I, si quantitas mm nulla st. Qua quidem ratione inde facile est CCC invenire hanc Parabolam per Problema primi libri Conicorum Apollonii. Qubd si quaesta linea est Circulus, aut Ellipse, aut denique Hyperbola , oportet primo' invenire pun-
49쪽
ctum Μ, quod illjus centrum est, quodque semper in linea re sta I L eadit, ubi invenitur, sumendo G pro
I M. Ita ut si quantitas o nulla est, centrum hocce cadat semper in punctum I. Et si quaesita linea est Circulus , aut Ellipsis , erit puni.um M ex eadem parte puncti L sumendum respectu puncti I . si habeatur Ox; at si habeatur-ox, sumendum crit illud ex altera parte. Sed contra in Hyperbola. si habeatur--ox. centrum illud sumi debebit versus L; & si habeatur Ox, debebit illud sumi versiis alteram partem. Postea figurae rectum latus sumendum crit 3 cum habetur m m. 8c quando quaesita linea est Circulus , aut Ellipsis ; vel etiam cum habetur - mct quando quae ita linea est Hyperbola. Vel denique V quando quaesita linea est Circulus .
50쪽
L1BER SECUNDUS. I. aut Ellipsis, & habetur m m; vel etiam quando Hy-Ierbola, & quantitas Oo major est quis nis, &cum labetur in m m. Quod si vero quantitaS m m non re- periatur, latus hocce remm erit 3csiox nulla sit, id ipsum erit V Deinde ad inveniendum latus transversum, debet inveniri linea, quae sit ad hoc latus rectum , ut a a m ad ρ α α, nimirum si latus hocce rectum statuatur U- - ---, transversum erit - Atque in omnibus hisce casibus sectionis diameter erit in linea I Μ, eritque L C una e rum, quae ad ipsam ordinatim adplicantur. Ita ut, si secerimus M N aequalem dimidio lateris transversi. atque illam ex eadem parte puncti M senapserimus qua punctum L , habebitur punctum N pro vertice ipsius diametri. Vnde porro iacile est dictam sectionem invenire , per Problema I labri Conicorum
Apollonii. . 'Sed si, sectione Hyperbola existente habeatur& quidem quantitas oo nulla sit, aut minor quam oportebit ex centro Μ lineam ducere M o P parallelam ipsi L C, nec non CP ipsi L Μ, atque Μ Ο aequalem sacere Vmm ; aut etiam aequalem m, si non
reperiatur quantitas oxo Deinde considerare oportebit
punctum o tanquam verticem Hyperbolae, cujus diameter sit o P, 8c linea C P, quae ad illam sit ordinatim 1
adplicata, cujusque latus rectum si ρε λ'. .