장음표시 사용
71쪽
nem considerans puncta umbrae vetiae reperiantur 6,ad quae tota scala duapiam habet proportionem,cuius etiam denominatio est binarius,quem exitra noto. Hinc retrocedo ad E stationem secundam in qua eode montis veritice conspecto, umbrae vellae puncta tacta sint ,ad quae tota scala proporationem triplam obseruat:& eius denominatio est 3. subtracta minori deno, minatione a maiore unu relinquitur. Metior praeterea spatium duabus sta, tionibus contentum:& sit io passuum,quod quu nequeat per unum diuidi,
dica per prscedente illi adiecta statura spesu vel unius passus,montis altis tudine undecim passibus terminari. Caeterv duabus stationibus aliis quiadem ne sorte perpendiculum pro voto super umbram versam in primis si combus non cadat turtis simul eum monte altitudinem contemptori sint puncta tacta in F ptima statione inuenta 6, ad quae scala tota duplam h bet proportionem,denominatio idcirco prima est x. Porro stationis secuds, quae in G st: puncta reperiantur 3, ad quae scala proportionem quadruplam habet: cuius item denominatio est :subtractis duobus a *,duo manet,per quae duarum stationum distantiam, i passuum gratia exempli repertam, distribuo:ac numerus quoties io passuum cum semisse eriticui adiecta consimili statura unius passus,turris simul cum m5te altitudo nascetur. A quasi ptius acceptam solius montis eleuationem subduxeris,quaesita tur is altis tudo sese offerret io passitu cum semisse. Huiusce operationis demonstratio nulla praeter iam datas est exquirenda. Expositas siquidem cunctis inquitationibus satissacere crediderim. Ex quibus quiuis operationu rationes in curate Perpendens,longe plura consequetur: ceu excessum cuiusq; altitudianis super aliam,etiam oculo in alterius summitate constituto. Ali1 pluriama scitu iucundissima . Nunc vero is emam aggrediemur,dein by motriam:hoc unum praefati,qubd solum resolutio quaedam eorum nunc a no bis reseretur:amplior siquide cognitio ex his quae passim demonstrata sunt, cunctis patebit. ISO METRIA. DECIMA PROPOSITIO. Plani cuiusq; longitudinem excutere.
Egotii huius,etsi certum operandi modum explicaue mus nuperrime , ob id tamen quod prolixitatis habet εο
fastidii , tum etiam et non primine sed a posteriori ceul corollarium quoddam est intentus . Modos hic alios Ma breuiores Sc expedii res subiunctos curauimus: qui innium magnitudinum horizonti quidsilauum qua
operatio. titates praecisas,enucleabunt. Fixis ergo terminis plani cuiusvis longitudianis,st in eorum altero recipe : ac reliquum terminu per ambo pinnularum
foramina conspicito: pinnula orientali quae prius rei conspiciendae obiici batur, nunc admota oculorum alteri. Multiplicata deinde statura tua perii scilicet per scalam productu per puncta umbrae versae tacta partire: quoatiens enim plani longitudinem dabit exquisitam. Virgae mensoriae usus,nes
72쪽
PARS QUARTA. uandiu scalae veris B. eona Exemplum taetiis perpendiculi cum MDC, tria pucta in ungue contingens:spatium com
v oculus mensoris. Paucis tunc exponam spatium illud Lo pedum esse s enim fio quae G multiplicatione ix per . oedoe n, i,
sicut actum circv iactans rei altar est inquisistitii ζειν Iti is
pendiculariter erectaequantuas,circunflantis plani est inda alitu odio igitur virili, In utrorunq3 inqui senibus uti.Haee aute d otimat spependi 'lum quod sepius si umbram versam secuerit:si enim lineam quadrati diagonalem essiciat, acium cuius terminuk eos estuta inflaturae, quod alias assatumdemostrauimus. Rarissime Monstri pera pendiculum scalam re incontingat. Tunc quidem spatium miscissat
ra perciperetur,inutatisq; operatio:nisi sorsen in amk Γ ta, ritale' detentus, optarin circunstantis spatij ceu flagiti au patuli laeti, fori
pruduiem dimetiri. Tunc etenim conspecto ut decet plani termino, . nume operatio
rus debet Inuenir ,qui eam habeat proportionem ad statum,quam β'T tacta ad totam scalam: quibus tres numeros constitues percoe m '
ta: vi mde quartus succrescat. Probatio huius est eonuessa zuhz p rationis.Statura hic appelloarcis sublimitat sirius fastigio oeulsi sum 2 si aut quacunt remotion ulla plana horizontis superficietaiuscemodi staturam hicsupponamus alio quouis modo cognitam sui UNDEClMA PROPOSITIO. Duorum locorum intercapedin Ailipenter exolorare.
.44 cedenti. Quod si fieri nequeat vialtero eorum recipiaris, tertium venaberis in recta linea cum duobus primis contentum.Si enim tam primi si secudi locorum,4 tertio in quo es cognitis absismis,minorem quae est loci vicini tis,a maiore subduxeris , residua fiet primoru locorum
73쪽
sertim si magnae sint perridiculum eadem scalae versae puncta contingeret. Duo D Eci MA PROPOSITIO. Quae praecedentes pollicentur,regularum auxilio' 'On nobis deerit apta regularum dispositimi p T
hoe ne ociu expedite, sicut 8e altitudines perscruinnur. Earum prior notae erit magnitudinis,ut quatuor pedum, altera indefinitae qualitatis:quae in prioris puncto medici fidetur orthogonaliter.Ptiorem regulam,ad usum, n abiero plani termino perpessiculariter mys: ut se ricia ae Operatio. superscies commensurandae.Τunc
74쪽
PARS QUARTA. latera proportionalia. Sicut ergo se habet BC ad C A,sie B D ad AD quate permutatim quae proportio erit C B ad B D, eadem C A ad A E repetietur. Proinde multiplicato secundo per terilsi,utpote B D per C A,si productum per primum C B diuiseris,quartus AE proueniet. Haec sunt quς longitudionum aequalium seu horizonti aqua distantium quantitates locupletius aporiunt: transgrediar autem ad ea quae de profunditatibus.
DECIMA TERTIA PROPOSITIO Cisternae,putes,ac cuiusuis protundi concauitate, expedite demostrare. E eo solu profundo id explanare praesumimus,cuius fiuis dus,aut salte Mus superscies,potest videri. Nemini quipipe licet per radium visualem de illis iudicare, ad quaeras dius ipse visualis minime porrigatur. Supponimus praesterea putes alterum latus, rectum esse, ae perpendiculare: aut saltem duo lateris extrema eadem perpessiculati linea contineti. Non enim impediet,si circa partes lateris medias aliqua ruptura aut concauitas sueti aliquave Pars caeteris eminentior. Notum ad haec sit operatio.
in primis quanta suerit putei diametrus:ac occidentali pinnula eius orificio superposita, reliqua paulatim sensimi sublevabis aut deprimes, donec per
earum foramina terminum superiorem lateris ad quod stas,& inferiore opapositi,inspectius timeris. Putei tunc diametro per duodecim multiplicata, productum per numeru Punctoru umbrae rectae quam saepius perpendicus tum scindit distribues,remanens inde numerus,putes dabit profunditate. Concedamus in exemplo,putei latus in quo es FI denominati: latus vero oppositum G H,diametru F id quatuor pedum. Monalespha: ij rursus per . Exemplum pendiculum sit C E cadens in quartum punctum se lae rectaneuius initiu est D . dicam putei profunditate esse ix pedum. quod ex demonstratione luce dari apparebit. Primo nani FGHS FG l triaguli aequis nianguli procreatur,per 3s primi: ita super bases squales,& inter lineas squidit lantes sunt.Ite FG I & C D Etrianguli mitianguli repetiutur. cum eorum anguli CDEM FIG, recti sint & aequales. Similiter E C D, εὐ I FG anguli squales sunt ex is primi Huia coalter/ni.& tandem per lx primi itianguli FG l&CDEaea quianguli. quare ex primo postulato,t sagulos FG Hre C DE squi agulos esse necessum est& latera aequos angulos respicientia proportionabilia. Sicut ergo E Dpuncta tacta,ad F H diametrum,sic C D tota scala,adHG prosunditatem:& permutatim sicut pucta tacta, ad totam scalam, sic diameter putes, ad eius prosum ditatem quam eo modo quo iussimus licebit indagare, tribus numeris soali to more dispositis. Siseri in contingat perpendiculu lineam quadrati di gonale essicere,pinei prosunditas eius diametro a quabitur,nunqua tamen
75쪽
PRAXIs GEOMETRICA. videbis ab eo scalam versam secarusic enim plani longitudine potius quam prosunditatem sciscitaremur.Τurris sublimitate e festigio,hac via desume. mus: eius parte inferiorem conspiciendo, aut quippiam turri propinquum,
cuius a tiarii remotionem nouerimus .sic de alterius turris propinquaesum,mitatem .supposita earum distantia: plura inquisitione digna hine inciet
industrius perscrutator. DECIM AQUA RΤ A PROPOSITIO. Profundo difformi rectificato ius concauitatem dimetiti. Uod si iubearis,putes profunditate indagare,cuius nubOp ax tum latus perpendiculare fuerit sed latera cuncta in acu uem tendunt ad parteis imas,operationem prius recti sis care conueni conspecta siquidem fundi parte decliuio, re per virtuti pinnulae soramina , εἰ perpendiculo inlis neam horizontis recti cadete,notabis in ore putes,locum quem occupat perpendiculum. Illud enim pars est lineae perpendicularitera fundo ad orificium egredientis: per quam, ceu per Iariis perpendiculare, decet operarusumpta loco diametri dissima quae est a per diculo ad extre, mitatem lateris in quo maneS.In reliquis praxedente imitaberis operatio nem: ambarum nempe eadem est demonstratio. DECIM AQV INT A PROPOSITIO. Hoc ipsum,sola virga percunctati. - - - Irgam vescam,perpendiculariter eriges in eadem plana
P in t ril supersicie eum orificio putes:hacch ab eo semovebis, aut
eidem admouebis,donec oculo in eius superiori termis eo stante,putes extremitates oppositas ut dictum est inatuearis. Hoc ide efficies, persolum virgae augmestum vel decremetum,quu liber minime sue rit aut accessus aut recessus . Si tadem putei
diameter, per virgae quicitatem multiplice, tur & inde productum per distanuam vir,oara putei ingressu diuiseris,nascens me, Diemplum tus profunditas erit putei qussita.Sit G K F nI puteus, FI prosunditas qua quaerimus, GF diameter septem pedum. Virga aute erea De sis. ω sit A o nouem pedum,*dulatia Acis pedum. Dicam putei profunditatem xx possibus cum dimidio, &decima parte unius terminari. Duo nempe trianguli A O G,&G FI aequianguli con utur: quum eorum A & I anguli lint recti,& AGO aequalis F GI per is primi .sunt enim contra se positi,ergore tertius tertio est aequalis.Quae igitur etit
uortio Ao ad El,eade erit AG ad G F ergo permutatim,sicut AG ad AO,
76쪽
sie G s ad FI .quare si multiplicetur secundu A o per tertium G p,prouenientat,quibus diuisis per primum scilicet A G spedum,nascetur FI in pedum eudimidio 3e decima parte unius pessis,quod sequeti propositione promptius dignosces DECIMA SEXTA PROPOSITIO. Supinores eunctas operationes,si fractiones habeant,
1 On semper dum operabimur , perpendiculum in cuius 1 piam puncti finem vel initium decidet: quod tamen sua perioribus exemplis supponebam riuo dilucidiora esai sent omnia. Et si igitur nobis saepius liberum sit loca est,l gere quibus id accideret,ne tamen traditio haec diminuis
' Ita aut artificio carens censeatur,ob id etiam et plurimos omnimoda delectat prsessio,hac mica ratione operationes cunctas physicis fractionibus resertas absolvemus. Scalarum puncta seu digitos in ptimis operatio . oportet in suas partes quae 6o sunt diuisisse:aut in decem, aut in quatuor uas,secundum tandem loci capacitatem. Porio in cosiderationibus non modo puncta,sed & punctorum partes a perpediculo signatas, imadueraremus. Ea subinde pucta ad denominatione tactionis illius erunt per multitiplieationem reducenda. Simili modo S ii puncta quae sunt tota scala adeosimilem denominationem,ut omnium una sit. Demum si umbra aut spa, esum quae frequetius tertium numerum eisiciunt nequeat pedibus exacte commensu rati , allia mensura erit utendum quam aliquoties contineat: hoe etiam secisse licebit per multiplicationem. Exercitio res lucidior erit.Ponasmus in demonstratione secundae propositionis perpendiculum di puncta,&tres quartas octaui contigisse. Vmbram insuper E Ffuisse ii pedum,trium palmorum,& duorum digitorum Septem puncta per quatuor quia quodauis punctum in partes quatuor diuisum hic supponimus multiplicor hineis orisitur. His tres addo partes,quas perpendiculu ultra puncta τ transiit: fiuntq; omnes si Hura primo numero ascribo duodecim praeterea quae scala sunt,in quatuor duco:otiunturi Partes s quas numerum secundu constis tuo .in vere tertius habeatur,ri per quatuor multiplicatis,palmi nascuatur: quibus iungendi sunt tres,quos continet umbra ultra pedes ii,& omnes tandem fiunt .Hos rursus perquatuor multiplicomumenuem iss digitora procreato,duos digitos qui reliqui erant adiugo,Vt tertius numerus iso diagitorum compleatur.Csterum ex doctrina propositionis illius,tertium persecundum duco: hinc productum numerum fixo per primum si distribuo: manetq; numerus is digitorum,qui tutas alsitudinem mensurant. Hunc numerum si lubeat ad mensuram maiorem reducere per quatuor diduco,
resipondentq; palmi τ3,cum duobus digitis. Nouissimu hunc numerum si per quatuor distribuero, proueniet turris exquisita sublimitas is pedum, unius palmi,& duorsi digitorum:ceu cuiuis calculi celeritate gaudenti pera spicuum est. Proportionabiliter erit in caeteris agendum siquataq; res ipsa id expostulet. Hactenus magnitudinum vitai constitutata quantitates,
77쪽
PRAXIs GEOMETRICA.eundum unam tantsi dimensionem, exposuimus. perinde ut nulla etiamsi plurimis fractionibus sit utendum designari valeat quae no possit quopiam datorum modorum deprehendi . Ad reliqua deinceps transgrediemur quae pridem a nobis sunt instituta. HALOMETRIA. Commenta P . Monsueueriit Geometritum veteres,tum neoterici super,iatiotismo fieterum seu arearum qualitates per quadrata meriti: per I inde ut si cuiuspiam campi prative longitudinem ioci passuum,tatam h latitudinem dignouerint, se exactam illius quantitatem obtinere snimen quam sane dicunt icio pes suum Quadratorum .sgura proinde quadrata ob id quod habeteranii: Be usus , caeterarum basis εὐ norma hac etiam tempestate censetur. Quo fit ut si quampiam superficiem no quadratam commensuream uid atra mus,per reductionem ad quadratam illam nosse oporteat. Figuram igitur mensurare. seu aream mensurare, est ut inquit Brauardinus illam quadrare siue qua, dratum quod anualis sit supersiciei inuenire. Merito ital quadraturarum regulas subiungentes,a quadrato sumemus exordiu quod superficieri cunctarum sit mensura accommodatissima. PRIMA REGvLA.
Uperficies quadrata,ex ductu unius lateris instimum procre tur. CUt si latus quadrati prati, quadraginta passuum suetita eius area iscio passuu iudicabitur. Si 3s, superscies inis passuul erit. Hinc sit ut haec multiplicatio quadrata vocetur quod quaa --3.ri drati aream ossedatuatust quadrati radix quadrata ciusdem. Caeterum ad GR μμ' inii, id Vnum erit memoriae tenendum, ut simulatque cuiuspiam areae quantitate aliqua regula sequetium mplicuerit,esus radix quadrata discustiatur. Ea nepe latus erit quadrati propositae area: aqualis: hac p via notior fiet ea ipsis quantitas,etsi indistincla maneat,nec in quadratum resoluatur. SECvNDA REGULA. Manguli aequilateri vel is celis,latiatus per medietatem lates ris multiplicatus .aut katheti medietas in totum latus ducta si, angulam superficiem reddit. CIn triangulo aequilatero de quoscunt latere tu omnia sint aequalia indifferenter id in intelligendum: in isoscete vero de immuali solum, a cuius medio tametus in opposiatum angulum porrigitur.Praeterea in triangulo aquialtero quodlibet latus ad kathetum certam habet proportionem,utpote eam quam ad 6.In is scele autem non in omnibus eadem est proponio, sed diuersa secundum Oiurarum diuersitate. Si igitur trianguli aequilateri ABC basis B C i pas, uum comperia sit,hat tus 3 x passuu erit: & exduini τ in uiaut 6 in is, area s passuum censebitur:aqualis p areae quadrati cuius quodlibet latus in s passuum, 6 pedum, & τ sere digitorum.Item sit is ccles F G H cuius basis G H ix passuum reperiatur, tametus F I 6 passuum:dicam esus areo Iam 36 passuum quadratorum esse:& aequalem areae quadrati,cuius quodalibet latus est a passuum. Hinc deducere est aream trianguli aequialteri aut
78쪽
PARS QUARTA. 3 isost lis ualem esse areae tetragoni contentisub duabus lineisHuarum al. tera est medietas basis reliqua vero tamet .Hoe corollarium demostratio sit tegulae.in prima figu ra ABC triangulus in duos a quales secemitum pers primi,quorum unus est A DC. Tetragonum similiter AED C in duos tris angulos aquales dimetiens A C dirimit, per primi:& quum horum unus sit A D C, cessum est duos itiangulos partiales A B D Sc A E C aequales esse, per primam communem sententiam quare per secundam comunem seri tentiam si illis aequalia seu idem utpote magulus medius A D C adiiciatur, quae prouement erunt qualia triangulus A B CAEd tetragonus A E D C. OT PRTIA REGULA. Rea trianguli scalent,sive orthogonium siue Oxigonium aut am conligonium fuerit, ex duetu medietatis basis in lineam quae ab angulo, maiori basi incidit orthogonaliter eonsurgit: aut ex di istu basis in medietatem orthogonalis lineae. CEsto ABCeam, memplampus,etulit: maius latus sit B C is passuum linea A D secans B C orthogonalis ter reperta sit s passuum. In quacunt eius parte ceciderit, rinabo illius aream ε passuum quadratorum. Sic enim numerus ex ductu is in , aut s in s coponitur. Aequalis idcirco etit eius area rear quadrati cuius latus in s passuu . Corolla te sequitur huiuscemodi mangusium,aequalem esse medietati tetragoni comtenti subduabus lineis quaru una est maximum latus,altera vero perpendiculatis a maximo angulo in maximum lastus veniens. Cuius probatio sit loco demonstrationis regulae. stante priori figura, ducantur B E & FC quales & aquidistantes A D. Persecto parallealogrammo E F B C,duo patebunt parallelogramma parta alia quorum alte rum E A B D, in duos triangulos aquales per lineam diagonalem A B diauiditur ex ι primi:sic & resiquum A FD C,per lineam diagonalem A C in uales triangulos secatur .Quum ergo duo illorum triangulorum,princi palem triangulum ABC iniciant,sint medietas totius tetragoni: necessum est triangulum A B C ex eis compositum , medietate esse tetragoni E F B C,
Corollari v. Demostrasti . Operatio altera.
Vadranguli superscies, habetur ex ductu latetis cuiuspiam mistis in maius. CVt si quadranguli prati A B A D, latus A B s
eAC,x perticam,totius quasdranguli area is perticarum censebiatur:& aequalis areae quadrati cuiustasitus perticarum est. Hoc facile conastat quadrangulum sn x aequalia dis uidendo: unaque esus medietate alteri supposita.
79쪽
pst AxIS GEOMETRICA. VINTA REGULA. Entagonae figurae aequalium laterum & angulorum superscies desumitur,facta in ptimis illius resolutione in s triangulos: εο si alterius illorum area exsecunda regula deprompta, per 3 multi viguis in Lad plicetur,pentagones superficies tota emeryt. CFigura autem in triangulos triangulos resoluetur, a pucto eius medio ad singulos angulos si recte in e luti. tendatur lineae: velut ex additione Campani ad 3x primi declaratur .la Pen
lagono ABCDE, AFB triangulus designetur: . cuius area per se dam regulam reperta sit i3 passuum costabit totius pentagoni superficies 6s passibus. Areola quippe triangularis,totius quinta pars est. Hexagono consormiter in triangulos rea soluto,cuiusipiam eorum area per ε multiplicabis tur, ut totius superficies appareat. In heptagono per ν multiplicatio siet:cuius operationis ratio per haec quae citata sunt patens est: & in his re caeteris figuris axi lium laterum S angulorum. SEXTA REGULA.
3-Vbd si figura comensuranda irregulatis minimee possit quoplam
expositorum modorum superficies deprehendi,in triangulos coni I uenientiores figura resoluetur. Singulorum nant superficies aut lex secunda aut tertia cognitae,simulati coniungentur,totius area declarabunt. Nonnunquam figurae partim in quadrangula partim triangula aut alias figuras resoluentur,prout res ipsa comodius exiget. Omnis vesrigurarum irregularisi
saltem praecipua rei huius cognitio , ex quadratis & triangulis sane deprohesis proficiscitur:eorum idcirco rationes abundὰ explicaulinus. Rhombus rhomboides Sc trapezium commodissime in duos triangulos resoluentur. 'lum
dis suppo. ponit propositiones,ab Archimede Syracusano amplissime probatas: quassivo. petitiona loco hic reseram. Prior est. Omnis circulus aequalis: est triangulo
tamen sicut & aliarum exempla subticeo: quod ijs ad persectior horum intelligentiam minime sit opus. SEPTIMA REGULA. Ircaei serrudiameter in medietatem Ercunserentiae ducta, aream dat circuls. Aliter,diametro in se ducta,productum per ii multis plicabitur,tot siis numerus si per i distribuaturriuotiens circuli aream praebebit. Operationis prioris demonstratio duas sup
80쪽
rectangulo rusus alterum latus quod circa rectum angulum est,aequatur se. ιmidiametro: reliquum vero lineae circulum cosinenti. Secuda,omnis circuli
timetetit ipla est diametro adhuc septima parte diametri propinquis
sime excedit. Nam si diameter partiuesset,cire serentia illam ter conti Proponis neret & plures quam decem illarum partium. Nec tamen decem cum septi, ad ma parte unius,quu sint septima pars diametri. Caeteros autem Videbis es, sesam sesquiseptimam proportionem circuserentis ad diametrum assignaret
quasi id discriminis paruiticiant. His expositis,operationis rationem facilis limum est,exprimere. Esto igitur A B circulus in retro C cuius diameter i . n- pedum comperta sit. statuatur praeterea B D linea circuli huius perimetro isto aequalis quae pedum erit ex secundo supposito. Tunc si B C in B D duca, turper regulam quadranguli C BDE super es 3os piau emerget.Ergo ex duetii B C in B G medietatem B D,ttiangulus B C D medietas dati qua dranguli, iς pedu nascetur:quod areae circulari ex supposito primo est iciuale. Hinc patens est dati circuli aream squalem esse tetragonismo B C F G1ub medietate petimetri & medietate diametri contento .Rursus eandem ara qualem esse parallelogramo B D IH: qui fit ex duehi B I,quartae partis diametri in B D circunserenum, ac rudem A B Κ L parallelogrammo,ex ductu A B diametri in B L quanam partem cirreserentiae producto,totus circulus aequalis esse comprobatur. Quare B A D M parallelograminu ex ductu dia metrisA,sn circunferentiam B D contagens, toti circulo quadruplum cen. setur:& B C D E eidem duplum.Posterioris operationis ratio,aliam suppo Posteriornit Archimedis propositionem,in eo libro cui tetragonismus nomen est,eo, MN a 'piose assatimq; demonstrata:quar his verbis continetur.Omnis circulus ad μ' id quadratum quod ex ductu diametri in se fit,proportionem habet,quamn ad i ta Hac igitur sapposita,habitudinetur circulus A B C D cuius diamea. ter A C ut prius 1 sit pedum: iis in se ductis,quadratum A B C D conficiturim pedum. videmu circuli superficies habeatur, inuest adus est numerus, qui eam seruet proportionem ad quadratum,quam ii ad rq . Constitutis iditirco ad id tribus numeris,quadratii iss per ii multiplico. Cosurgentemq;
numerum his6,per i . distribuo:ac relinquetur in quotiente circuli super fiseses 3 sq. pedum,que eam habet rationem ad is6 quam ii ad i .Perspicuum
est igitur quicquid obganiant saetique quadratura circuli dupliciter hine demonstrati , si certam proportionem diametri ad perimetrum donemus, alijssque modis quos licet ex penultima primi elicere.