장음표시 사용
41쪽
gunt, infortasse unquam sunt intellecturi: AL Mni, mo talem deprehendit in hisce figuris repimantiam; nullus Geometra istiGnodi contradictiones in s urarum ramiris
unquam iaspicatus est e contra, harum, bilitatem erimcunt tot pulaesae earum prosmetates a Gmmetris dete .seque demonstratae; nam rei impossibilis nulla est vena pro prietas, nulla demonstratio. Restat igitur, ut hasfiguras
tanquam possibiles agnoscant si possibiles sunt, potest
Deus corpora Titanodi superficies nabentia e materia fodi, mare. Ponamus igitur duo corpora, quorum unum planis,
inerum sphaerica te inarursuperficie si igitur corpus spha, ricum super plano constituatur, illud vere coeati et at continget in unico tantum Andivisibili puncto, seu in pumcto quod parte non habet, per Cor. Prop. a. Et alii & proinde erit in illo casu Verum punctum. Sed ulterius, ponamus corpus sphaericum super plana superfici moveri, seu progredi absque omni circa axem aliquem rotatiline, imstae ut punctum sphaerae planum contingens semper in eo dem platio inveniatur; eritque via, quam naum illud motu suo describit, linea vere mathematica absque omni t titudine: i quidem sit via brevissima inter duo quaelibet puncta in illo plano, orietur is motu illo lihea recta, si milias, curva Vel ex pluribus rectis com vita, Vel partim ex his partim ex illis conflata Puncta igitur, lineae, citiuers es, prout a Geometris concipiuntur Vel finguntur, sunt possibilia, uod ostendi oportebat. Aliis etiam innumeris modis potest eorum possibilitas demonstrari, verim piget hisce ineptiis diutius ammorari. Hoc tantum libet admonere, quoa intra duo uuaelibet duorum corporum puncta, in distantia data laeterminata v. g. inter Musis stellae fixae centra est determinata distantia, quae per rectam line a mensuratur duo illa puncta interjacentem; quae erit innitium linearum quae a puncto uno ad aliorum duci possint, brevissima, minimo tempore dat velocitate peragranda;
haec inquam distantia eadem manet, qualiscimque futura sit Corporis intermedii figura, sive planis claudatur, sive spha nci contineatur superficiebus, Me demum absit omne cord
42쪽
pus meisi . ω- liuersit praeter spathun ea n πα-υ tam magnitudine d positione, quamdiu corporum cen
Stabilitis jam primmis, ad propositum redeo, ut scit de
monstretur extensionem omnem, tam corpoream, quam --
corpoream, in infinitum esse divisibilem, seu partes habere numero infinitas quod pluribus invictis rationibus robare conabimur. Prima sit nae exponatur linea quaevis AB; dico illam divisibilem esse in partes numero omni finito n. mero dato majores. Tas. . Ducatur per A recta quaevis AC, huic perim m' parallela ducatur BD, in AC capiatur punctum quosvis C Si igitur recta A non est divisibilis in infinitum partium numeriim divisibilis tantum erit in numerum partium rutum sit ille numerus qualiscunque v. senarius:
In linea BD adimetes puncto C oppositas capiantur quo eum puncta plura quam sex, g puncta E, F, G, H, LS, IL, A ducantur per postulatum primum Eueudis CE, F, CG, in G, Κ, CL hae ductae divident restam AB in tot
partes quot treeta si enim non divident, ergo plures rectae in imo aliquo puncto rectam AB intersecabunt; sed omnesse intersecant in communi puncto C, quare duae aliquae re sese bis secabunt, proinde vel spatium comprenendent, vel habebunt idem segmentum commune quorum utrumque est contra axiomata in Elementis posita. Dividitur igitur ΑΒ in tot partes diversas, quot sunt redis sed tot sunt rectae, Not uncta in recta BD sumpta fiterint quare cum sumpta fiterint plura puncta quam sex, erit linea AB in s res partes quam sex invisibilis. Eodem modo, quantumvis maminponatur numerus, ostendi potest lineam AB esse duvisibilem in partes numero majores illo numero majorem sci assumendo in recta BD punctorum numerum quod facile fieri potest , cum millus sit numerus finitus ita magnus, quin major sumi possit, ideoque in data quavis ratione m μὰ mea litatis atque ducendo rectas a pincto C ad mcta in riata BD is repta hae quippe reta rectam AB db vident in tot partes, quot sunt recta, adeoque in plures
43쪽
mnes quam numeriis primo positus, qui utcunque ma rem constat umtatibus er itaque recta AB clivisibilis in plure partes quam pes ullum nimierum finitum exprimi poetest, adeoque eris divisibilis in infinitum Q. E. D. Argumentum secundum. Exponatur recta quaecunque Tas: MAA, dico illam divisibilem esse in infinitas numero partes si enim non est divisibilis in partes numero infinitas, divis, ditis erit m partes numero finitas sit ille numerus quivis
is quinarius ducatur recta quaevis A angulum utcum e cum AB eontinens, in eaque uuantum cses est proe mcta, viantur quot Volueris puncta plura ouam mimque sint, A. C, D, E, F, G, Η, Κ ijungatur perque puncta G, D, E, F, G, H ducantur rectae ipsi B paralla
dividis retiae nocessario reelam AB in tot partes quot sunt, Elae si enim non dividant, ergo plures rectae in uno inμει Concurrent: at non concurrent, eum parallelae ponam
tum, quare umquaeque rem in sumsi puncto iectam Miste- cmnes in tot partes rectam AB divident, quot stini rectae paralleste ducta At ductae sunt plures quam quinque , ergo divisa erit recta A miliares partes quam qinnuue idem de alio quovis numero acendum erit uva
re nivius est numerus tam mamus, quin numeruS partium,
in mas em AB in divisi is erit illo numero major, adeo eiecta A est divisibilis in infinitnmo
Vis. Si quantita, non est divisibilis in infinitum divimbilis erit in partes ulterius non divisibiles; at nulla est pars quae ulterius dividi non potest quia nulla datur quantitas tam Parva, quin adhuc minor accipi possit, id me in data ratione minoris in qualitatis. Sit enim recta AB, ejus δη- .Pars quantumvis parva fit AC, dico ipsa AC minorem , ετ neam acci i posse, in ratione quacunque minoris inaequalita tis, ut imum ad tria. Ducatur a puncto Arecta quaevis AD, inque ea capiantur recti AE EF, FG aequales jum tur GC per Hagatur in ipsi GC parallela erit rectar ipsius A pars tertia: demonstratio constat ex noηa r πιμμα Eomoti sexti Adeoque recta non erit minima ερο accipi potesti detrude alia quavis recta demonstrari potest,,
44쪽
potest, ac proinde nulla est in natura quantitas minima. Praeterea, si quantitas ex indivssibilibus componeretur multa exinde sequerentur absurda sint enim v. g. duo circuli ABCD, EFGH concentrici, dividaturque circums rentia major in partes suas indivisibiles, ducantur a ce
tro Q ad singulas hasce partes meis, OΜ, P quarcircumferentiam utramque in aequales numero partes alubdent, circumferentia major ABCD in partes suas minimas divisa erit; quare .circumferentia minor EFG tot partibus minimis seu indivisibilibus constabit, quot constat ABC circumferentiaci adeoque cum indivisibile indivisbili aequale sit, erit circimiserentia EFGH aequalis circums xentis ABCD minor majori quod fieri non potest. Ultimo ex hac ouantitatis ex indivisibilibus compositi ne sequitur nullas cari magnitudines incommensurabiles contra quod a Geometris prim demonstratur. Nam si magnitudo omnis ex indivisibilibus consaret, indivisibile liuidnsset omnium magnitudinum eiusdem generis adam in
communis mensura in omnibus enim aliquoties exacte comtinebitur, adeoque omnes magnitudines communem mens
ram habebunt, clarus qua Fati illius diagonio esset commensiirabile contra ultimam Propositiorum Uemoti derimi. . Innumerae aliae possunt adduci demonstrationes , quibus continui infinita invisibilitas ostendatur, iidivisibilium Iothesis funditus evertatur. Sed quid opus est pluribus ἶCum hactenus allata argumenta non minorem habeant vim ad assensum cogendum, quam demonstratio quaevis in Et mentis Euesidis imo impossibile estut ea convellantur, quin simul Geometriae fundamenta corruant quae tamen nulla unquam aetas, nulla Philosophorum haeres, labefactare poe
Ut igitur argumentorum vim devitent Philosophi, distinguunt inter corpusinthematicum corpusPhysicum; Compus scit mathematicum divisibile esse in infinitum, demonstrationum vi coacti lubenter agnoscimi a Corpus Phy scum in partes ulterius divisibiles semper resolvi possen gant. ea quid quaeso est corpus mathematicum, nisi quis iam
45쪽
iam marinam dimensionisi extensum 'Nonne corpori, dismatico competit clivisibilitas eo quod extensum est y At eodem etiam modo extenditur corpus Physicum qu re cum divisibilitas ab ipsius extinsonis natura .essen. tia dependeat, cinde ortum suum trahat, illam minibus extenus tam Physicis quam Mathematicis c moenire necesse erit. Ut enim Logicorum phrasi utar, quicquid praedicatur de genere, primicatur de Ommbus hi ictus sub eo ge
Est talia apud Philosophos haud absimilis distactio.
a Corpus quodvis mathematice divisibile esse in infinitum concedunt divisibile autem esse physice neganti di ullus 1 horum verborum sensus, hic erit4 Corpus e Matho matices, hoc est realiteris demonstrative divisibile in im finitam concedunt Physice autem seu secundum falsam suam hypothesin negant atque sic habebunt distinctionem,
contra quam nihil urreri potest.
oniam Philos i contra quos disputamus, demonstrationibus Geometricis non satis assuesi sunt, proinde. earum evidentiam non facile pecticiant priviquam huic lectioni finem imponemus, libet unum argumentum Phy. Cum e motu petitum, pro Minita continui divisibilitate proferre; sta si continuum ex divisibilibus contardet, sin,
maeretur omnes motus minueloces som, nec minus in eo
cem tempore conficiet spatium 'Iustata testudo mam: -- M. Achilles. cmamus inim Achillem velocissime. cursurum testudinem segnissime repturam si continuum ex indivisibilibus constaret, non potest testudo in aliqui 'to tempore minus conficere spatium quam Achilles; nam si Acilium in uno temporis in ti, indivisibile metransit spatium n in potest testud minu spatium in eooem temporis moenenisi sire, quia ex hypocaesi non datur minus. In isibile enim alio indivisibili minus non eris, erga pertrans ibit aequale idem de alio quovis temporis momento dicem dum in oergo semper ab utroque percurrentur spati aequis Ma di proinde Aciuiles vel usimus non plus conficiet
46쪽
continum a materis in infiniins. mero partes avisnem clare sitis demonstravimus; restat ut objecti hus Aut Mavi horum argutiis e ndeamus Son enim Phila -- p nimia pauci, qui nescisinea deisum obseuritate labo
Tamesi, Hemomisationum , quas attulimus, evidentiam. nominis se cientes, comm rem tam manifeste veram, gumenta sua proferte non auehant tantum, vem - χωμdarin vicum, timonstrationia titulo ea insignire. At ego, M suarum illoriam sv uasi ros, nunquam inrictis qui quam ab iis, di, acco re riptum, quod haidiem -- citra habem; ades equidem iunt dismonsisatio hus des tuti minimas dein in ionis umbram in iis qui quaa G. - , etsi L minis donatus herit Melis, petiy- in queat Fateon nenes aliquid in naris infini6, vim ano is estisthma ad qua ei essurehensibile esse onus adeo ' Ἀ- mirum erit, si ex es quae lam semim tum quas hominum mentes Mns, caligine involutae conelpo re non linunt in speetatim in hac, quam nunc prosem ratur, Quaestione , remita mi , quae qui sitam PGus nim Me renua minus assueris para lava incredibilis vidistur' anhil tamen erim sequitur, quod vel contradictionem im P eat, vel . -articinati aest Minonstrationi repugna Semri anuis, quas eris Philomphi Ammissae, amnas -- est ea 4mri; si contimium divissibile essedin infini imeontineret infinis. ivnDei partem, adeoque finitum is naevo infinitum, quodiem, stilum. At mouerermino
47쪽
Meae aerei p. --eri in Issimi si dicant in tam ma. -udinem non posse in magnitudine finita comineri, hoc fitenter concedam; at hujus contrarium non sequiti ex Ra , Bam propositurus, doctrina nec unquam ilhullam Cinam comequentia munde dedueere possunt dicant sartes munero infinitas, anseaste exquas, mon posse fim in m Utudine contineri, hoc illud pirum est quod iis , mandum incumbit mon, ut omor, dicent ipsis ataquegatione aedendum esse nec illud tanquam propolaionem P se aram inter Milomata ponent, cujus contrarium t validis rationibus demonstrari potest. Urgeant itaque a a etes amero infinitas infinitam magmtudinem componerier sed hoc rursus est Principium petere illud enim hisiam de quo dishutamus, utrum sciuantita magnitudo potesti here partes numero infinita, Certum enim est, quotcumque retes habeat, sive statas, sive infinitis, eas uototia uari sicut enim decem partes decimae unitatis efficiunt mitatem, centum centesima unitatis utes simul sumptae et iam unitatem component m mille palletium millesimarum inimum collectarum summa toto non m Merint; 4ta etiam Partes infinitae infinitesimae alicujus magnitudinis U- ---audinem adsequant. Vel sic stamea AB divisa in par s. r. te comam; erunt omnesque simul fit tae ipsi AB, aini 'heodem modo, Frem AB dividi intelligatur in mille pin- harum partium mille simul sumptae magnitudinem nec majorem nec minorem ipsi AB component. Ves etiam, fidivideretur recta AB in missiones , partes hae rurius liminsumptae toti Amerunt sequatos; & univeti liter, si Midine maineudines rubeatquec eandem ntionem ad AB quam habet unitas in numerum quemvis M, erit quae, titas C per numerum, multiplicata ipsi Maelialis. Cummum quantitates C. AB, uiatisin numerus N in pro με ales, erimi extremae in se micem ducta mediis in se im viceri dure, sequales; at olim M per imitatom multi si tam AB in aequalis unitas enim sed multi ratione a fiet, nec divisione mini Meserit quantitas perm in emn
48쪽
multiplicata ipsi AB aequalisci Quantumvis igitur magnis sive parvus sit numerus N, hic mustiplicans quantitatem faciet semper productum ipsi AB aequalem, modo C talis
si quantitas ut ad AB eandem habeat proportionem quam habet unitas ad dictum numerum, Adeoque si Munnin merus infinitus, α pars rectae AB infinitesima, hoc es si eandem habeat quantitas orationem ad AB quam habet unitas ad numerum infinitum N, est etiam quantitas Cira numerum infinitum N multiplieata, hoc est intaries s-pta, quantitati AB aequalis, nec ea major, sicut nee minor esse potest. Si Otur partium magnitudo eadem ratione di
minuatur, qua earum numerus augetur, totum excluso
omnibus partibus conflatum idem manebit; nec aestimanda est quantitas aliqua ex partium inimem , est ex earum n. meroin magnitudme conjunctim adeoque si partes infinite parvae stat, necesse erit ut earum multitudo ut finite magna, prius,uam quantitate quamvis dabilem exsuperare possunt. Sed praeterea, plura possumus proferre exempla tam ex Arithmetica, quam ex Geometria, ubi ipsis fatemtibus adversariis, partium numerus erit infinitus,at ipsa magnitudo ex partibus istis infinitis composta finita erit. Sit
Primum exemplum series lirinita numerorum in rationequm vis decrestentium quae finito adaequatur numer v. g. Alal, , a M. Hujus seriei in infinitum continuatae summa erit unitati aequalis at cum in infinitum, extenditur foeriesi, erunt esus termini numero infiniti quise in hoc casu
partes sumtitatis numero infinitae finitam iniciunt quantita tem Similiter, hujus serieisiamma ἰj, , , M. Cum in talis dimidio, ut in Arithmetica demGnstmtur; at nemo ninoabit seriem hanc in infinitum continuatam infinitas partes nabere; quare possunt dari partes quantitatis numero inta, tae suae tamen unitatis partem dimidiam non exsuperanti Similit ii, Geometriae, notum est spatium posse dari insenite longum, quod tamen statio finito perseae adsequatur. Me enim infinitis fere templis demonstriverunt Clarissimilin Muta Torricinias. Vausas, Barretur &G, ex qui' infinitum sualis erinparti uni secundae sis inb
49쪽
his libet exempla quaedam prisserre. Et primo sit Curva ABCD talis naturae ut si sumptae fuerint in Asymptoto rectae EF, FG, GH, aequales, seu possitis resis EF, EG in in proportione Aritnmetica; ad puncta E, F, G, Η ordinatim apsilicentur rectae AE BF CG, H, sint ord,
natae hae in proportione Geometrica curva ABCD dicitur curvat arithmica, M spatium interminabile inter Asymptot μ& curvam infinite productas comentum, aequale erit
in finito, ut a Clarissimo Barmis in Leetionibus Geom tricis demonstratur ex qua potest colligi sipra nominata
prinprietas numerorumin oportione quavis Geometrica de
crescentium. Sed ut hocia Propositim nostrum apeIicemus; nemo non agnoscet in statio interim bili HGFOBCD, quod infinite longum .est , esse partes numero infinitas; at omnes illas spatii partes esse s o finito sequales demonstrant Ge metrae; quare sim ali me partes pati numero infinitae , quae non patium infinitum sed finitum conficere pinunt. Eodem modo, in Hyperbolis omnibus , Apolloniana excepta, . erit area-rnter cumam4 Asymptoton insevit prolema perfecte quadrabilis, Mareae finitae aequalis; sed in areis hisce omnibus sint partes numero infinitae, quare erunt panes numero infinitae aequales quantitati finitae. Praeterea, in Hyperbola Apolloniana B, etsi area inter ris D minabilis inter curvam Min Asymptot m EF in infinitum A. s. protensa contenta sit area infiniti, seu qualibet finitam, bar si tamen area illa infinita circa Asymptoton suam ro- volitatur, penerabitur solidum seu corpus Veroinfinitelai gum, quod tamen aequale erit lalido se orpori finito ut elegantissime a Torrueuis demonstratum est, qui solidum hoc Hyperbolicum acutum nominavit: at in hoe solido sunt parte numero infinitae, cum scito infinite longum est; ergo partes corporis numero infinitae hilum component corpu&Aha in κα proferre possimus huius rei exempla, seddi. tius solvisse , quam par est, huic objectioni refellendae im
ais objiciunt Atomista si quantitas omnis est divisibi-Bm M tam , magnitudo quaevis minima aequabitur max,
50쪽
, curn scit tot partes habet minimi quot maenati Q εlis, quaeso, est haec consequentia An auia uina An tisana divio potest in centum partes, , Anticanus etiam di- vidi Motest in centum partes, ideo sequitur pedem uiuae inquari At ovum ovo non similius invenietur, amin me argumentatio illorum objectioni; quae salsissima multituri μγ thesi, qua magnitudines volunt tum per partium immo
xum, non item per earum quantitates esse mensurandas.
Ulterius objiciunt; si pes dividatur in infinitas partes quales, d ulna etiam ita dividatur, ut pars unaquaeque ubaiae sit aequalis parti cuivis pedis, erit numerus paritum in ulna triplus numeri partium in pede; mde cum mimerus partium in pede sit immitus, erit numerus partium in uriistius numeri infiniti triplus, inde daretin infinitum tisio m us. At unde notum est illis hoc esse absurdum' crantradicit axiomati .alicui VUM receptor Ne tuaquam mo hercule nullum enim est axioma quod omnia tofinita s, Qualia ponit. Nec infiniti naturae repum ut ab alio infinitosiperetur jam si detur infinitum, infinita . g. Mea dirunt in ea infinitamilliaria, plura stadia musto plures podes. Sic in spatio quod undique extensum imaginamur, si duae lineae parallelae an infinitum producantur, erit area ab hisce rectis com thensa revera area infinita, e quod omnem aream finitam seu undique clausemiaperat; erunt igitur ut ea infinita jugera, plures perticae quadratae, Nisubao plures pedes quadrati rursus, si intrahas lineas ducatur recia utrivis earum parallela dissidet haec linea priorem . ream in duas areas etiam infinitas; me igitur simul sumptae priori infinito adaequantur. Non i tu naturae infiniti ampugnat, illud posse ab alio infinito excessi, pci aliud multiplicari , in alia etiamnum infinita dividi; haec, inquam, nullo modo repugnant, sed excipit ma natura allime s. quuntur; imo nemo est, qui infinitum smilam concedit.
quin simul agnostere cogatur istius otii in alia tinfinita di
Aliud petimi argumenion contrari nitam materis iuvi, Militatem ex omnipotentia diruina. I ii mi ami