장음표시 사용
111쪽
1os Clauis Logisticae Cap. IV.
curvae superficiei Z cylindri quadrati sphaerae iii sicripti duPl est. Q i'd erat demonstrandum . Demonstratio tertia, in qua υnitas vulgaris non assumitur ad significandum areum Η P , c ' tamen adhibetών prior ex Euobus modis inuenieηdi rationem compositam , de quibus agitur in Prob. I. pendicis partis . Idea Logistica . Per theorema 3. cap. I.Par tis s. Ideae Logisticae, X ad Z habet rationem compositam ex quatuor rationibus,quarum prima est, et arcus H P ad 4 HOEr: B H-a Α H ; secunda est, 4 arcus H P ad 1 A H : tcrtia est , B arcum H P : quarta est I ad I; sed per prob. appendicis partis quartae Ideae Logisticae, haec ratio composita aequalis est rationi B Had -- per BHEbBHad- -πῖ -- per B HEla BF in B Had ΛHa edi BHaad ΑΗ et: ergo X ad Z α B H a ad A H a: sed per hypothesim di theorema primum hic propositum patet, B H a esse duplum ipsius A H a : ergo X est duplum Z . Quod erat demonstrasse
x- ς It X conus aequilaterus, Z sit cylinder quadratus, P sit
sphaera: praeterea axis coni X, tam ad axem cylindri Z . ideae . quam ad diametrum sphaerae P , habeat rationem quam h bet 3 ad et . Dico corpora X, Z,P continuare eamdem rationem 3 ad 2, tum quo ad soliditatem, tum quo ad superficiem totam. Hoc est, corpus X ad corpus Z 3 ad a. Item corpus Z ad corpus P α 3 ad a . Item totam superficiein corporis x ad totam suis perficiem corporis Z α 3 ad a. Denique totam superficiem . corporis Z ad totam superficiem sphaerae P 3 ada . Est theor. 63. cap. 3. panis s. Idea Logistica. Constructio . Sit L D diameter baseos coni X , eiusdemque
coni altitudo sit G Α : sitque o GD quadrans circuli qui est basis coni X: Diameter baseos cylindri L, sit I H : R E M sit quadrans circuli qui est basis cylindri Z . Latus cylindri iasit M Hr Quadrans maximi circuli sphaerae P, sit N B F. Nota quod ΑG2α3GDa. Etenim per hypothesim is a GD α 4 AD, adeoque AD ara AGDa: sed per theor.
112쪽
Dubia Mathematica soluta. Io I
ergo D a m A G et . De inonstratur pi ima pars , nimirum corpus X ad corpus Zhabere propoitionem quam habet 3-a . Per theor. 3. cap. I. partis s. Icleae Logisticae , coipus X ad corpus Z habet rationem compositani ex quatit Or rationibus, quarum prima est , D 2 ad 1: Maesti GA a per 3 adMHaper φ, ut patet ex hypothesi de nota praein ista; ἡ A a ad 3M H a r iecuncla ratio est, G A ad M H; tertia ratio est, I ad 3 : quarta ratio est, i ad ι ; sed per probi. 3. appendicis partis q. Ideae I.ogillicae, haec ratio composita, aequalis est v
corpus X ad corpus Z habet eamdem rationem quam habet 3 ad x . V t dicitur in prima parte . Demonstratur secunda pars, nimirum totam superficiem corporis X ad totam superliciein corporis L , habere proportionem quam habet 3 ad et . Per theorema 3. cap. I. partis s. Ideae Logisticae . curua superficies corporis X ad curuam superficiem corporis Z , habet rationem compositam ex quatuor ra
tionibus , quarum prima est, qDo ad 4 l Medi GD ad EM: secunda est , Α D ad H M edi et G Dad a E M r tertia est, rada. quarta est, I ad I , sed per problema 3. appendicis partis ε:Ideae Logisticae, haec ratio composita aequalis est rationi et GD aad 6 E M a r ergo curua superhcies corporis X ad curuam superficiem corporis Ζα 2 .DaadqEM a. Rursus per theor. 3. cap. I. partis s. Ideae Logisticae , basis corporis X ad bases corporis Z habet rationem compositam ex quatuor rationibus, quarum prima est, G D ad E M : secunda est, AE DO ad 4R M-G D ad E M : tertia est I ad x: quarta est a ad I ' sed per Probl. 3. appendicis partis q. Ideae Logisticae , haec ratio composita aequalis est rationi GD 2 ad 2EMa: ergo basis corporis X ad bases corporis Zm GD 2 ad 2EMa r ergo tota superficies corporis X ad totam superficiem corporis Z a Dat GD a ad EMata EM 2e2 3GD 2 ad 6EMai GΑa ad 6EMa, ut patet ex praena ista nota : sed quoniam per hypotiae sim A G adH M 3 ad 2 , adeoque Λ G ad E M α 3 ad I, patet GA a ad 6EM aras ad 6 3
ad 2: ergo tota superficies corporis X ad totam stiper iciem corporis Z α 3 ad et . Ut asseritur in secunda parte.
113쪽
1 o6 Clauis Logisticae Cap. IV.
De molastratur tertia pares, nimirum corpus Z ad corpus P habere proportionem quam ha bct 3-2 . Per theor. 3.cap. I. partis 3. Id ea: Logisticae, corpus X ad corpus P habet rationem compositana ex qtia tuor rati Ouibus, quarum prima Pst, AEREM
1 N B F ES: Α'et , ut patet ex hypotheu : secunda est VH ad arcus N F Ela et E M ad η arcus N F : tertia cit I ad I tquarta ratio iuxta axioma s ampliariun de quo ad dubium . 11 hic est arcus 3 N F ad 2 B N Ω- 3 N F a E M , v patet ex hypollieit: sed per proo. 3. appcia sicis pni tis q Ideae l.ogisticae, ratio composita eX dictis quatuor rationibus, est aequalis rationi 3 N F ad 2 N F 3 ad 2 : ergo corpus Z ad corpus P m Iada. Vt dicitur in tertia parte .
Demonfiratur quarta parS. Per theor. I. cap. I. Partis s. Ideae I ogisticae , curua superlicies corporiS Z ad superficiem corporis P, habet rationem compositam ex quatuor rationibus , quarum prima est , 6lt M ad 1 N F N F ad a N Fen: A ad 2: secunda ratio est, M H ad ' N F-a E M ad NF: Tertia est , I ad x : Quarta est , N F ad B N F ad E M ; sed per probi. 3. appendicis partis q. Ideae I ogisticae, ratio
composita ex his quatuor rationibus aequalis est rationia N F ad 2 N F eta et ad a et go curua superficies corporis Z ad stiperficiem cors caris P π 2 ad 2 . Rursus per theor. 3. cap. I.
partis s. Ideae Logisticae duae bases, siue superficies planae corororis Z ad superficiem corporis P,habet rationem compositam ex quatuor rationibus , quarum prima est , et E M ad a N Fi
pendicis partis q. Ideae Logisticae, ratio composita ex his qua, tuor rationibus aequalis est rationi et E M ad η E M em 1 ad 1: ergo duae bases , siue superficies planae corporis Z ad supers cicin colporis P α I ad 2 et sed etiam ostensum est superficiem , cuream corporis Z ad superficiem corporis Pra et ad a ergo tota superficies corporis Z ad superficiem corporis P α 3 ad a. Vt asseritur in quarta parte .
114쪽
Capitis primi libri secundi Logisticae problemata
uniuersaliter proposita, soluta.
AD gradum 7.capitis praecedentis,agitur de modo uniue salius proponendi & soluendi problemata magis restricta: ad huius modi declarationem , idem ut ita dicam probI
ma , successive tertio proponitur & soluitur : prius tamen resti ictum ad numeros vulgares : deinde paulo uniuersalius , ut sola proportio numeris vulgaribus expresta sit, atque partic Iaris ; denique sub maxima uniuersalitate , ut etiam ipsa proportio sit inde terminate quaelibet ex omnibus proportionibus possibilibus. Maximam hanc uniuersalitatem problematis tertio loco pro iis liti, nullatenus impedit, quod proportionis primus terminus exprimatur numqro vulgari : etenim licet multae sint possibiles proportiones, q iae exprimi non possint per duos terminos qui singuli sint numeri vulgares , atque Exempli Gratia talis sit proportio qua ri habet eiusdem quadrati diameter ad latus, ut constat ex Epiitola q. lib. I. Epistolarum: tamen ex eadem epistola satis patet, nullam ess possibilem proportionem, quae exprimi non possit, er duos
terminos , quorum unus sit quilibet numerus vulgaris , & alter sit aut numerus dc nominatus aut numerus radicatis. Ex
his manifestum quidem est , maximam uniuersalitatem , prae dicti, aliorumve problematum non vitiari, per hoc, quod unus
proportionis terminus cxprimatur per numerum viligarem ratque huiusmodi vulgarem numeriim tantum adhiberi ob m iorem commoditatem : tamen vulgaris numerus hoc modo
adhibitus , nescio quem serti pulum caunitit, in nonnullis currentis anni candidatis Matheseos: non quidem quod optime non intelligetent, problematum ut iam diximus maximae uniuersalitati minime adiuersari vulgarem numerum, quo unus proportionis terminus exprimitur: sed quod ipsis videretur per hoc quodaliam octo imm inii, aut nitorem , aut dec
rem uniuersalium problematum .
Ne similis aliquis scrupulus offendat alios nostrae Logisti- eae studiosbs : prietet ea ut habeant singula problemata capitis primi libri secundi Logisticae , uniuersaliter proposita ac soluta ; singula hic addo exercitis gratia composita ab huius anni Matheseos candidatis. Quod septimanas impenderint, ut AP a Frb
115쪽
primis Logisticae nostrae fundamentis ad eum gradum perilenire iit, ad quem spectant uniuersalia problemata , non dico :ne fortassis mihi denegetur fides , afferenti pluribus suffecisse viginti quatuor horarum studium: non quidem successive continuatum , sed diuersis diebus per partes subtractum ab aliis occupationibus. De veritate consuli possunt ex Societate Nostra. Franciscus Antonius Phabeata. Antonius Francisus Domenichinus. Petrus Mora. Sigismundus Νurelius, Singuli enim Logisticae studium hoc anno aggressi , exerciti gratia composita mihi exhibuerunt uniuersalia probleniata is quae subsequuntur e licet priores duo grauioribus Sacrae Theologiae: i steriores duo, modernae atque strepitoso scholarum tribunali adaptatae Peripatetics philosophiae studiis,ex proles so ita incumbant, vi cu plane praecipuis de palma contendant.
I Gnota ruin quantitatum A S: B, .disserentia C,& aggregatum D, cognoscuntur . Oporteat inuenire quantitates A S: B . Solutio. Supposito quod ignotarum quantitatum A&B minor sit A, per hypothesim maior
m D: ergo 2 A D - C: ergo A-2 2 ; igitur , ex cognita quantitate D , auferendo cognitam quantitatem C, huius residui dimidium dabit minorem ex incognitis duabus quantitatibus Ale B; denique huic minori atque inuentae quantitati addendo cognitam differentiam C, habetur maior ex
quantitatibus A S: B, quae erant inueniendae . Supposito casu particulari problematis I. cap. I. lib. 1. Logisticae et C do. D Ioci. Ergo Z-- zzz--- Q. Ex quo patet allata in hic uniuersalem
116쪽
Dubia Mathematica soluta - Iosentem solutione in conuenire cum particulari solutione proposita in Logistica .
IGnotarum quantitatum A be B, cognita sit differentia C: praeterea A-B X ad Z, atque cogniti sint termini X & Z . Oporteat inuenire quantitates A&B. Solutio. Supposito quod quantitatum A&Bminor sit Aiper hypothesim A T C m B: sed AadRπα X ad Z t ergo A ad A C m X ad Z : ergo A in L A t C in X: ergo A i, L A in X est Cin X: ergo A tu Let A i ii X ra C in X: ergo AinLei t A in -- X ra C tu X:ergo Ain Z - X - CinX:ςrV per prob. q. cap. F.lib. I . Logisticae, A migitur ducendo quantitatem C , in minorem ex quantitatibus X de L, Sc hoc productum diuidendo per disterentiam quantitatum X Sc Z : habetur quantitas aequalis minori ex duabus incognitis quantitatibus A de B: atque huic minori quanti- , tali addendo cognitam diffferentiam C, habetur maior ex duabus quantitatibus AN B, quae erant
inueniendae. Supposito casu problematis 2, cap. I. lib. 2. Logisticae. C: Ιχ. X 2. L 3. Ergo taeteri 2L M, 24. Ex quo patet, allatam uniuersalem solutionem , conuenire cum solutione particulari proposita in Logistica.
117쪽
ΙGnotarum quantitatum A&B. cognitum sit
aggregatum E : praeterea cognita sit proportio quam minor quantitas A habet ad maiorem B : atque talis proportio sit X ad Z. Oporteat inuenire quantitates A & B. Solutio. Per hypothesim E - Α-B: sed etiam A ad B ra X ad Z : ergo A ad E- X ad Z: ergo A in Z E - Ain X: ergo A in Z ra Em X.i A in X r ergo A in Ze t A in X E in X : ergo A in Z t X E in X: ergo per prob. . cap. s. lib. 1. Logisticae, A m igitur ducendo quantitatem E in quantitatem X, atque hoc productum diuidendo per aggregatum quantitatum X & Z,habetur minor quantitas A: hanc inuentam minorem quantitatem A auferendo ex cognita quantitate Γ, habetur quantitas B, maior ex duabus quantitatibus A de B , quae erant inuenienda: Supposito casu problematis 3, cap. I. lib. 2. Lo-histicae. E o. X a - Z 3 . ergo Elia . Hinc patet propositam uniuersi. lem solutionem, conuenire cum solutione particulari, quae affertur in Logistica.
118쪽
O Vantitas A sit ignota . cognoscantu, tamen
duae quantitates Boc C, quae singulae sint minores quantitate A: praeterea cognita sit propor tio X ad L, aequalis proportioni quam habet disse.'rentia quantitatum A et B, ad differentiam quanti latum A et C . Oporteat inuenire quantitatem A Solutio. Per hypothesim , A, B ad A Cm X ad Z : ergo A ,- B in Z A - C in X: ergo A in Z t - B in Z A in X et C in X r ergo A in Z-- A in X B in E et ,- Cin X : ergo A in Z-l A- ,-X B in Z ει - Cin X r ergo A in Z X B in Z-C in X: ergo A ; igitur differentia productorum, quorum unum habetur ex B ducto in Z,alterum habetur ex Cducto in X, diuidendo per differentiam Z et X, pro ducitur quantitas Α, quae erat inuenienda. Supposito casu problematis cap. I. lib. 2. Logisticae, B g. C q. X I. Z4. ergo
constat propositam uniuersalem solutionem, conuenire cum solutione particulari allata in Log,
119쪽
Clauis Logisticς Cap. IV. Problema V.
O Vantitas A sit ignota, cognoscantur tamen
duae quantitates Bel C, singulae maiores quantitate A: praeterea cognita sit proportio XadZ, aequalis proportioni quam habet differentia quantitatum A et B, ad disserentiam quantitatum Aetooporteat inuenire quantitatem A. Solutio. Per hypothesim, B A ad C - Ara X ad Z : ergo B - A in Z C -A in X : ergo B in Zet ,- A in Z na C in X et - Am X : ergo Am X et A in Z π: C in X et - B in Z r ergo A in X Z C-X et B in Z r ergo Aigitur disserentiam productorum quorum unum habetur ex C ducto in X, alterum habeatur ex B ducto in Z , diuidendo per disserentiam X et Z: habetur quantitas aequalis quantitati A,quae erat inuenienda. Supposito casu problematis s. cap. I. lib. a. Logisticae, B 6o. C 4O. X 3. Z - I. ergo
manifestum est, allatam uniuersalem selutionem, conuenire cum soluti'ne quae assertur in Logistica.
120쪽
Dubia Mathematica soluta. II 3Problema VI.
O Vantitas A sit ignota , cognoscantur tamen duae quantitates Bel C, quarum prior B si minor, posterior C sit maior quantitate A: praeterea cognita sit proportio XHZ, aequalis proportioni quam habet di flerentia quantitatum Aet B, ad differentiam quantitatum A et C. Oporteat inuenire quantitatem A . Solutio. Per hypothesim, A - B ad C - A N ad Z : ergo A - B in Z C - A ibi X : ergo A in L et B in Z C in X et - A in X : ergo
; igitur aggregatum , ex quantitate C duis in quantitate X,et ex quantitate B ducta in quantitatem Z, diuidendo per aggregatum quantitatum X et Z, habetur quantitas aequalis quantitati A,quae erat inuenienda. Supposito casu particulari problematis 6. cap. I. lib. 2. Logisticae,B-6o. C ISo. X r. Zm .
Hinc con stat, allatam solutionem uniuersalem,conuenire cum particulari solutione quae proponitur in Logistica. in P Q