장음표시 사용
101쪽
ctione quae assumitur pro demonstratione : idqtie ut ita dicam a nobis fit nKe naturae . Etenim pro legitima deinOnstratione propositionis , nihil aliud requiritur , quam discursiis euii cens ex prius cognitis veritatibus necessario sequi veritatem
Propossitionis quae probanda est: atque adeo pro legitima demonstratione liditum est astumere, quidquid praecognstuna es manifeste verum esse ; quandoquidem igitur de eo quod manifeste possibile est, manifeste verum est , quod possit factum esse , etiamsi ignoretur modus quo possit fieri: ipsa ut ita diacam demonstrationis essentia siue natura docet, pro, legitima demonstratione supponi posse laetiun esse, quod manifeste possibile in ; etia i non proponatur vel etiam ignoretur In us quo fieri possit. Si non pro demonstratione, sed pro problematis alicuius solutione, praescriberetur aliquid de quo manifeste quidem patet quod sit possibile, sed tamen non constat quomodo possit fieri: iure merito admitti non deberet talis solutio ut legi tima; quod iterum satis patet ex ipsa natura problematis &eius solutionis; etenim quando in problemato quaericiu quomodo aliquid fieri possit; huic quaesito citisfacere debet sol tio problematis r quare legitima problematis solutio dici nompotest quae non docet quomodo fieri possint singvia necessaria ut fiat illud de quo quaeritur in problemate
Antiqua methodo Archimedes bene denaonstrat circulun a esse aequalem triangulo cuius basis sit aeqnalis circumferentiae circulti altitudo vero sit aequalis radio eiusdem circulii; pro demonstratione huius propositionis requiritur constructio in qua factum sit triangulum cuius basis sit aequalis circumferentiae dati circuli; quomodo id fiat, nusquam aut ipse , aut ante vel post ipsiun alius hactenus docuit. Similia alia exempla satis multa inueniuntur apud primarios Geometris principes rin quibus assumitur constructio in qua tactum aliquid sit πο- Nitur , de quo ne quidem constet quomodo fieri possit: super-
suum tamen videtur authoritatem afferre, ut constet is
licitum esse, quod ipsa ratio atque demonstrationum natur docet bene fieri. Denique licet Euclides plerumque non an - mat aliquid factum in domonstrationibus ; de quo ante non , ostenderit quomodo possit fieri; tamen sibinde pro demon stratione probandae vetitatis , supponit atque assumiri ros Osi tionem contradi ctoriam eius quam debet & vult inserta a plevimon . Exempli Gratia in demonstratiotie propositi D
102쪽
nis Ιχ. libri 9. assuinit atque supponit , quod numerus A non metiatur numerum B , atque ex hac propositione, non deducendo aliquid impossibile, sed assirmativo disci irsu infert a que demonsuat propositionem probandam, nimirum quod
numerus A metiatur numerum B; quoniam tamen haec pr
i, Olitio quam infert atque demonstrat vera est: patet falsam cile eius, contradictoriam, quam prius assumpserat, ut hanc veram propositionem legitime iusliret atque demonstraret. Dubium 19. Memadmodum circuli quadrans, qui rotatur circa unam ex duaous semidiametris quibus terminatur. pro ducit dimidiam sphaeram: ita dimidia Parabola, quae rot turcirca suum axem, producit conoidem parabolicum . Similiter multae aliae supra ficies aut lineae , quando vehuntur vel rotantur , producunt corpora vel superficies, quae considerantur ab aliis Mathematicis ; quandoquidem igiti ire in Logistica non proponantur ductus nominati ex quibus generentur huiusmodi corpora vel superficies, materia de ductibus proposita in Logistica nimis restricta est: quippe quae extenda poterat ad praedictarum quantitatum consideratiovem . Respondeo . Ductibus nominatis a me propositis in cap. 3. partis a. ideae Logisticae, plures alios addi posse: neque ego agnorabam, neque ullus ignorare potest . qui conliderauit
Paucos ductita a me enumeratos; mihi tamen non videbantur Plures necessarii pro libellis hactenus editis de methodo nostre Logisticae: & minus timebam repraehendi,quod hactenus plures non proposuissem,quam quod enumeratos ductus non pr solutilem sub maiori uniuersalitate quam admittebant. Exempli Gratia basis quae linea est, atque mouetitae tantum iuxta cxtensiouena quam habet, non producit silersciems siliniliter basis quae superlicies est, atque tantum in clur iuxta extet1-tionem quam habet non producit corpus; hinc lupi ito. quod
basis quae ducitiu ductu primo sit superficies , per hoc quod
cum motu *ectante ad ductum primum , nimirum cum motu quo vehitur iuxta extelisionein quam non habet, concurrat alius motus quo vehatur vel rotetur iuxta extensionem quam
habet, non desinit producere corpus aequale corpori quod prius producebat: quandoquidem secundus ille atque cum
Primo concurretis motus, nihil conducat ad productiouem corporis, adeoque non causet pioductionem aut maioris aut minoris corporis, quam solus primus producebat: tamen
iuprosito quod basis sit parallelogramnuim , quando haec basis
103쪽
sis iiiiiplici tantum motu vehitur ductii primo, non potest producere nisi parallelepipedum rectum: si vero cum simplici in tu quo ductu primo veheretur, concurrat in basi motus rotationis iuxta extensioliem quam habet: non amplius producit pat allelepipedum rectum : sed cochleam siue cochleatum compus retium . Deinde si cum simplici motu quo ductu primo
veheretur, concurrarin basi, non motus rotationis , sed motus quo vehatur iuxta extensionem quam habet: non ut prius
rectum , sed obliquum parallelepipedum generabit; praeterea si cum simplici motu quo ductu primo veheretur, concurrat in bali duplex alius simplex motus, nimirum unus quo vehatur iuxta extensionem quam habet, alter quo rotetur iuxta extensionem quam habet: hoc calii produceret corpus obliquum atque cochleatum ,-consequenter diuersum ab ijs quae in prioribus casib iis ex eadem basi generabantur. Similiter per
hoc quod in basi quae linea est, cum simplici motu quo ductu
primo superficiem produceret, concurrat, vel unus, vel d plex alius motus: nihil tamen conducens ad maioris superficiei productionem : multum augetur numerus diuersarum su-pςrficierum producibilium ex eadem basi γ poterat tamen ductus primi conceptus ita Proponi, ut amplecteretur totam illam multitudinem diuertarum quantitatum , cuius Hori nisi
paruam partem amplectitur pro ut a nobis propositus est. E demque modo tertius & alii subsequentes ductu, Dominati, poterant reddi longe uniuersaliores ; inimo insinuata maior uniuersalitas non est talis ut ultra illam maiorem nullam admittant ; licet vero sub huiusmodi vel maiori, vel maxima uniuersalitate propositi coneeptus ductuum nominatorum , habuissent usim longe ampliorem, & tamen vix ullo modo dissiciliorem: atque optime iii telligerent maximi faciendam ecte uniuersalitatem maiorem , praesertim quando ex illa non resultat notabile incrementum difficultatis; tamen nominatorum a me ductuum conceptus , initio sub maiori uniuers litate proponere nolui, varias ab causas : inter quas una est quam hic attigi: etenim quando maiori uniuersalitati associata est maior dissicultas, haec multum. imminuit unitieri alitatis aestitia abilitatem ; iam vero statim sub initium tractati nis de nostris ducetibus proponere ana pliores ductuum conceptu ς , non poterat non causare in discentibus , maximam difficultatem in assequendis istis conceptibus; ut hanc dissicultatem decliniuem, & per illam non imminuerem aestimabilita
104쪽
tem, quam videbatur liabere maior, eorumdem conceptuum 'uniuersalitas, iudicaui prius proponendo, ductuulia nominatorum conceptus satis restrictos, atque adeo non difficulter inutelligibiles: quibus tamen praemissis, etiam sine notabili di ficultate assequi possent magis viai uersales eorum dein ductuum conceptus: qui proinde videbantur utilius differri tu alium, locum , etenim persuasum mihi est, & discentium commoditatem , Λ scientiam asstequendi ordinatam methodum, requirere illud , quod ad dubiuin II. indicaui; nilniriun , ut a magis restrictis cognitionibus sumatur exordium , atque ex his paulatim gradus fiat ad cognitiones magis uniuersales. Hine in primo de secundo Logisticae libro , prius non nisi magis restricta atque in numeris vulgaribus proposita problemata consideranti ir, ex quibus deinde ad magis uniuersalia proceditur: atque hoc ordine ad uniuersales longeque praestatiliores problematum solutiones , propemodum sine difficultate peruenitur, licet ad ciusmodi sollitiones accessus immediatus, foret maxime difficilis, ac discentibus sortassis in stiperabilis. Ex iis iliae hic indicauimus circa maiorem uniuersalitatem quam a limitulit a nobis propoliti ductus nominati, obiter colligi atque notari potest '. saltem aliqua pars vi e, utilis pro demonstratiotie principiorum hypotheticorum, qitae hacteitiis adhibentur in ii utra Logistica; quandoquideiri enim modus quo balis aliquam continuam quantitatem produceret ductu primo , additus motus quo basis illa vehatur iuxta extensi nem quam habet, nihil conducat ad maioritatem veI minoria talem quantitatis quae ex basi mota producitur: satis patet eamdein vel aequalem basim, ductam in eaindem vel aequalem altitudinem , utroque casu producere quantitatem ei uidem magnitudinis: quoniam tamen primo casu producta quantitas, est quantitas genita ex ductu primo : & secundo casu pr ducta quantitas, est quantitas producta due u secundo: etiam constat A in B ductu primo ad A in B ductu statuido mi ad I;
ut asseritiir in secundo axiomate nostro hypothetico . Uerum de nominatorum duc utim nostrorum, aut demonstrationibus,
aut maiori uniuersalitate , aut alios ductibus liis addendis, fauente Deo suo loco agetur is Dubium vigesimum . In problemate tertio appendicis partis quartae Ideae Logisticae cuius problematis usus est frequen-rissimus in methodo Logistkae γ proponantui quidem modi
utiles , pro inuenienda ratione ex pluribus rationibus compo-N sita,
105쪽
sta , quando rationum istarum termini sunt numeri vulgares: 'vel saltem non differunt quo ad dignitatem , siue litteras repraesentantes quantitates: aut pro quibusdam alias casibus particularibus; sed tamen , aut in ditis problemate , aut alibi Pnon proponitur quod sussiciat in quolibet casu pro Logisticae methodo; Exempli Gratia , supposito quod primo ex duobus modis propositis ad gradum I 3.demonstrandum sit theorema I. cap. 3. partis s. Ideae; praemissa hypothesi quod superficies haerae de qua agitur in citato theoremate sit X , quodque cylindri ut ibi dicitur sphaerae inscripti curua superficies sit Z:
deberet institui talis discursus . Per theorema 3. cap. I. Partis s. Ideae, X ad Z habet rationem compositam ex qtiatuor rati . nibus, quarum prima ratio est quam habet basis, siue et arcus
vi P ad basim siue arcus o H. Secunda ratio est quam ha Ideae . altitudo, siue arcus H P ad altitudinem siue rectam P H. Tertia ratio est , quam habet ductus quintus ad ductum primum , hoc est ratio quam habet B H ad arcum H P. Quarta ratio est quam habet ductus primus ad ductum primum, hoc
est ratio quam habet i ad I . Sed iuxta secundam solutionem oblematis 3. appen cis,ratio ex praedictis quatuor rationiaus com sita, est ratio quam habent a arcus HPιnΑ arcus H P is lineam B H ad arcus H O in a lineas H P in arcum H P: igitur haec ratio rationi X ad Z . Quid tutiat inuenta prior illa ratio ad intentum, nisi ad simpliciores atque i litelligibiles terminos reducaturi quare proponendum erat quomo
Respondeo . Pro quantitatibus , ad intentum finem minus eommoda scriptione expressis,substituere vel easdem vel aequi- ualentes quantitates, commodiori scriptione expressas: adeo usitatum est in Logistica, ut etiam requiratur Pro maxime fa
cilium problematum solutionibus; di ne quidem pro his, aut etiam pro vulgari Arithmetica in qua idem etiam passim usitatum est dari potest una aliqua mechanica regula, quae
vi ita dicam caeco uissiciat , ut inter onanes numeros aequiuλ-
lentes, pro aliquo qui ad intentum finc ira minus commodus est , inueniat commodiorem qui prioris locum supplere potest; verum licet aliquis perspicacissimus non sit, oculos tamen habeat quibus videat circunt stantias in quibus versatur , cu finem quem intenditi cx facilioribus casibus procedendo ad dissiciliores , discit aduertere , atque ex pluribus libi eligere , aut scriptionem , aut aequivalentem quantitatem , visendi
106쪽
is pro minus commoda senstituatur e neque id aliter atqiii sufficienter, aut pro Logistica nostra, aut etiam pro vulgari ab aliis usitata Arithmetica disciti ire, quam usii atque exercitio . Vt tamen appareat tu Logistica non deesse quae sussiciunt, vecitatum aliaque theoremata, modo in ipsis dubio indicato demonstrentiir, ex ias quae cap. partis s. ideae Logisticae priponuntur aliter demonstranti ire addo hic pauca theoremata demonstrata priori ex duobus modis de quibus agitur in gradu I3. cap. 3.inter haec theoremata inueniti ir atque sex una est illud de quo agitur in proposito dubior non tamen vereliqua unica tantum demonstratione stabilitum, sed dotatum tribus diuersis demonstrationibus: ut sic melius appareat,non
tantum quomodo, sed etiam quam diuersimode fieri possie illud de quo quaeritur, & quodammodo dubitatur an sit possibile.
SI trianguli ABC, angulus ABC rectus sier quadratum
A C, erit aequale quadratis A B & B C - simul sumptis .m theorema 4. cap. partis s. Idea Logisticae. Constructio. Ducta sit recta BD, lateri AC perpendi-Fi- culariter occurrens in puncto D . 'Demonstratio . Per theor. 3. cap. I. partis s. ideae Logisti- Ideaecae quadratum AC ad quadratum AB, noc est AC a ad ABa, habet rationem compositam ex quatuor rationibus, quarum Prima est, Α CadAB: Secunda est, AC ad Α B acti ABadAD, ut patet ex hypothesi & theoremate Io. partis 3. Ideae Logisticae; Tertia est, I ad Ir Quarta est, I ad I ; Sed per prob. 3. appendicis partis q.Ιdeae Logisticae ,haec ratio composita aequa tur rationi Α C-Α D: ergo AC et ad AB ara AC ad AD. Rursus per theor. 3. cap. I. partis s. Ideae Logisticae, quadratum AC ad quadratum B C , hoc est A C a-B C et , habet
rationem compositam ex quatuor rationibus, quarum prima
est , Α C ad B C : Secunda est AC ad B C E, B C ad D C , vepatet ex hypothesi & theor. Io. partis 3. Ideae Logisticae : Tertia est, I ad I: Quarta est, I ad x; Sed per prob. 3. appendi cis partis q. Ideae Logisticae , haec ratio composita aequatur rationi A CisD,C: ergo AC et ad BC 2 ra AC ad D c. . Quandoquidem igitur ΑCr ad AB ara. Caa Λ D, & praete-
107쪽
ioo Cla uis Logisticae Cap. IV.
demonstrandunt . Hoc idem theorema, breuius, sed aliter demonstratu proponitur iii epistola 6. lib. I .epistolarum Mathematicarum: cst enim propositio q7. lib. I. Euclidis . Deinde in eadem epistola i ost propositionem q8. libri I. Euclidis , proponitur, atque dentonstratur stib ea uniuersalitate ad quam non assurgit antiqua methodus, ut ibidem notatur in Scholio : atqu adeo dicta propositio 29.etiam annumerari poterat reliquis de quibus agimus ad dubium I 6. utpote iacile demonstrabilis Logiiii cae methodo , sed indemonstrabilis methodo Euclidea .
CIrculus X, cuius radius ΑΒ est medius proportionalis
inter recti cylindri Z, Iatus EG, & baseos diametrum ELt aequalis est curnae superficiei cylindri Z. EII theor. 'o. 3 'eap. partis s. Idea gis uae.& 1 s Cous rutatio. Circumferentia circuli X sit B CD : item ci . .' ' cit inferentia baseos cylindri Z, sit E F L. R ea: Demonstratio . Per theorema λ. cap. I. partis s. Ideae L ginicae , citrua sirpei scies recti cylindri Z, ad circulum X , habet rationem compositam ex quatitor rationibuS, quarum
prima est, E F Lad Α B: secunda est E G ad B CD 1 Tertia est 1 ad 3 : Qt arta est et ad rised per prob. 3. appendicis partis q. Ideae 1.ogisticae , haec ratio composita est aequalis rationi quam habet E F L in et E G ad Α B in B C D r ergo eu ua superficies recti cylindri Z ad circulum XαEFLina EGA B in B C D: sed per theor. 3. cap. partis 3. Ideae Logisti- es, EF Lindi EG ad AB in BCD, habet rationem compostam ex ratione F F L ad B C D, & ratione x EG ad Λ B , hoc est rationem compositam ex ratione E L ad 2 Α Β , & r tione et E G ad A B , v 3 patet ex primo axiomate hypothetiaco; hoc est rationcm compositam ex ratione ΑΒ ada EG, Ν tatione et E G ad Α Β , ut patet ex hypothesi r hoc est rati nem et E G ad 2 E G , ut patet ex prob. 3. appendicis tartis . ideae I ogisticae et ergo curua superficies cylindri recti Z ad circulum Dissilirso by Cooste
108쪽
circulum Xα aEG ad 2 EG Qet I ad I . Quod erat demonstrandum a
CViuscunque sphaerae X , superficies, quadrupla est maximi circuli eii isdem sphaerae. min. 44. cap. 3. partis s. Idea Logistisa. Constructio. Sit ΑΒΚ quadrans maximi circuli sphaerae X. Demon alio. Per theor.3. cap. I. partis . Ideae Logisti-F' - - cae , superficies sphaerae X ad Λ B Κ , habet rationem com- . 'positam ex quatuor rationibus, quarum prima est, a ΑΚ i eae. α ΒΚ: secunda est , ' Α Κ ad qΑ Κ i tertia est, B Κa Α Κ:quarta est et ad I; sed perprob. 3. appendicis partis q. Ideae Logisticae, haec ratio composita aequalis est rationi 4 ad Ir e go superficies sphaerae X ad 4 Α Β Κ- ad I r ergo per constructionem de hypothesini superficies sphaerae X , quadrupla est maximi circuli eiusdem sphaerae. Quod erat demonstrandum.
OMnis sphaera X,aequaIis est cono Z, cuius altitudo PGaequalis est radio sphaerae X , basis vero EL aequalis est superficiei sphaerae X. . liheor. 48. cap. 3. partis . Idea tu
Constructio. Α Β Κ sit quadrans maximi circuli sphaerae X. . . Demonstratio. Per theor. 3. cap. I. partis s. Ideae Logisti-Vig 36. cae, sphaera X ad conum Z, habet rationem compositam ex a T. quatuor rationibus, quarum prima est, ratio a A B Κare L , Ihoc est ratio I ad 8 , ut patet ex constructione, hypothesi, & '. Praecedenti theoremate r secunda est 4 Α Κ ad P G ΕΣ Α Α Κad A B : Tertia est, a A B ad3 Α Κ , ut patet ex ditian quinto ampliato proposito ad dubium undecimum: quarta est I ad I: sed per prob. 3. appendacis partis q. Ideae Logisticae, haec ratio composita aequalis est rationi radit ergo sphaera X ad Conum Zzet I ad I t ergo sphaera X, aequalis est cono Z . Quod
erat demonstrandum. The O- Dissiligod by Cooste
109쪽
Claud Lomesticae Cap. IV. Theorema V
Cylindri recti Ohqrς circium scripti curua sit perficies rutralis est stiperficiei s haerae. Et si cylindrus ac sphaera seceratur planis ad axem rectis , eritne singula curua superficici C lindricae segmenta , se ginentis singulis superficiei sPli aericaraequalia. Est theorema ι 3. eap. 3. partis s. Idea Loisticae .
- . Constructio pro prima parte. Cylindri I H sphaeret circum-3 0 scripti axis sit A Κ , qui idem axis sit diameter sphaerae C Κ:. sitque A B Κ quadrans maximi circuli eiusdem sphaerae .
Demonstratio primae partis . Per theor. cap. I. Partis F.
Ideae Logisticae,superficies sphaerae CK ad curuam superficient cylindri I H, habet rationem compositam ex quatuor rationibus , quarum prima est, et arcus ΑΚ ad 4 arcus A K ectet aad 4; secunda est, 4 arcus Α Κ ad 2 A B : tertia est A B ad a cum Α Κ t quarta est 2 ad I i sed per prob. appendicis partis A. Ideae Logisticae , haec ratio composita est squalis rationi quam habent 8 arcus Α Κ ad 8 arcus Α Κ-8 ad 8: ergo superficies si haer7 C Κ ad curuam stiperficiem cylindri I H α Rad 8 r ergo superficies sphaerae C Κ aequatur curvae superficieieylindri I H . Vt asseritur in prima parte. Constructio pro secunda parte; posita constructione primae partis, qilaeuis plana ad cylindri axem recta, atque axi o currentia in punctis Α & G, ex sphaera auferant seginentuin L A D , ex cylindro vero auferant segmentum F H . bemonstratio secundae partis , in qua eommovitatis gratia θρροηitur donisis ductus quinti ampliati proposita ad dubium II. O consequenter ax ioma quintum ampliatum ibidem propositum. Per theorema 3. cap. I. partis S. Ideae Logisticae, superficies por- tionis sphaericae L Α D ad curuam superficiem portionis cylin.
tricae FH, habet rationem compositam ex quatuor rationi-hus , quarum prima est, arcus Α D ad 6 arcus Α Κ: secunda est , 4 arcus Α Κ ad A G : tertia est A G ad A D r quarta est, I ad I; sed per Prob. 3. appendicis partis q. Idea Log sticae, haec ratio composita aequalis in rationi Α D ad AD Get ad I : ergo superficies portiolus sphaerici L Α D ad curuam superficiem portionis cylindricae F H α r ad Ir igitur supers cies sphaericae portionis L A D , aeqitalis est curvae superficiei cylindricae portionis F H . Vt asseritur in secunda parte.
110쪽
SPhaerae superficies X , curuae superficiei Z cylindri quadrati
sphaerae ivscripti dupla est. theor. II. cap. I. partιι 3. Idea Lusuae. Constriictio. Cylindri quadrati sphaerae inscripti axis siec . latera sint P H & I M. Sphetrae centrum sit B , radij . B H&BP: prsterea recta BK perpendiculariter in Koccur-Tig 39 rat rectae PH: denique arcus OH sit quarta pars circum- ideae. ferentiae radio AH descriptae .
Demonstratio prima, in qua commoditatis gratia assumitur unitas vulgaris ad sigηψcandum aream ΗP, bis est arcum quadrantis maxima circuli istaνa , habentis radium ΒΗ: ut fatis pater ex hypothesi ετ construmone. Per theor. 3. cap. I. partis 3. Ideae Logisticae, X ad Z habet rationem compositam ex qtiatuor rationibus, quarum prima est, a arcus H P ad Hoeta B Had 2 A Hr secunda est, η arcus H Pada ΑΗ 4 ada ΑΗ rTertia est B H ad arcum H De e B H ad It quarta est I ad II sed per prob. 3. appendicis partis q. Ideae Logisticae, haec ratio composita aeqtialis est rationi B H et Od A H a : ergo X ad Zm B H α ad Λ H xt sed ex hypothesi & theor. I. hic, satis patet B Hr ad A Haraa ad I : ergo X ad Z α a ud I r ergo spli aerae superficies X , curuae superficiei Z , cylindri quadrati sphaerae inscripti dupla est. Qiiod erat demonstrandunt. Demonstratio secunda , in qua unitas vulgaris non assumitur ad significaη dum arcum H P et sed adhibetur secandus ex duobus modis inueniendi rationem e positam, qui doctiar prob. I. appendicis partis 4. Idea tigistica. Per theorema 3. cap. I. partis 3. Ideae Logisticae X ad Z h het rationem compositam ex quatuor rationibus quarum priama est, et arcus H P ad AHO OBH ad I AH: Secunda est,
'arcus H Pada A H: Tertia est B H ad arcum H P : Quarta in I ad 1; sed per prob. 3. appendicis partis q. ideae Logistiacae, haec ratio conlposita aequalis est rationi B H in B H in η arcus H P in I ad x AH in a Α H in arcum H P in I Em B H ain arcus H P ad 4 A H a in arcum H P Ela B H et in arcus H P ad A H ain Α arcus H P. BHa ad AHa; ergo X ad ZmBH: ad ΑΗ et; sed per hypothesim & theor. i. hic satis ratet B H a esse duplum A H et : ergo sphaerae superficies X ,