장음표시 사용
51쪽
43 SECTIO NuM CONICARUM est coniugula illius diametri, ad quam ipsa velut ordinata resertur I sic conjugata ejus dia. metri, quae secundam agnoscit tamquam suam ordinatam , est conjugata diametri prioris. Quare, per theorema generale,rectangulum sub sigmentis diametri ad rectangulum sub segmentis ordinatae erit , ut quadratum diametri ad quadratum suae conjugatae. Tettio,si rectae,sese invicem secantes, sint ordinatae duarum hyperbolae diametrorum
conjugatarum, non aliae erunt coniugatae diametrorum , ad quas rectae illae velut ordinatae reseruntur, quam eaedem diametri , in. verso ordine sumptae. Unde, per theorema generale,rectangula, contenta sub segmentis ea rum ordinatarum , erunt in ratione reciproca duplicata suarum diametrorum.
nenique, si una ex iis rectis sit diameter.& altera sit ordinata alterius diametri; erit ipsa prior recta coniugata illius diametti, ad
quam eadem volui ordinata refertur. Unde,ob
theorema generale,rectangulum sub segmentia prioris diametri erit ad rectangulum sub segmentis ordinatae alterius diametri, ut est qua dratum diametri prioris ad quadratum conjugatae alterius diametri. IX. Fieri autem potest, ut una ex secanintibus tauqens evadat: nimirum, quum puncta duo sedi ionis coeunt in unum . In isto casu rectangulum sub ejus legmentis vertetur in quadratum ipsius tangentis . Unde inter quadratum istud, ct rectangulum, sub alterius se cantis portionibus contentum, eadem adhuc ratio obtinebit.
52쪽
utraque secans . Et quum id contingit, ambo quidem rediangula, sub secantium portionibus contentata bibunt in quadrata ipsarum tangentium. Ex quo fit , ut inter quadrata , qua ex tangentibus fiunt, eadem pariter ratio de-heat locum habere.
Et istud quidem jam praecedenti capite speciatim a nobis ostensum fuit . Vidimus Denim,quod si fuerint tangentes duae A X. Ex, x μ' xsibi mutuo occurrentes in X ν quadrata' ipsarum eandem habeant rationem inter se , quam quadrata , quae fiunt ex conjugatis diametr
cum AB, ΕΚ. Ad illud vero quod attinet , nec etiam
difficile erit, veritatem ejus speciatim ostendere . Sed distinguendi sunt tamen duo casus. Primus est , quum secans est parallela diame tro , quae pertinet ad punctum contactus . Auter est,quum eadem secans ei diametro nequa- quam est parallela. X. Ponamus itaque primo , Dcantem Y parallelam esse diametro , quae pertinet ad pun- 'esum contatus : adeo nempe, ut existente ΕΗ tangente , secans sit recta Ho , paralleIa dia. 'metro EF . Jamque in hoc eam diameter , ad quam recta Mo velut ordinata refertur , erit
illa cadem, quae est conjugata ipsius EF. ' Fio ro. Sit igitur AB conjugata diametri EFQuumque vicissim EP sie eonjugata ipsius AB 3jam illud ostendendum nobis erit, ut ΕΗ quadratum sit ad rectangulum M Ho,veluti est AB quadratum ad EF quadratum. Istud autem nullo negotio ostendemus sequenti ratione. Tom. II. D Ex
53쪽
ro SECTIO NuM CONICARUM Εκ puncto M dueatur ad diametrum EF ordinata MR. Le quoniam duae CR, MN inter se sunt aequales ἔ erit etiam CR quadratum aequale quadrato,quod fit ex N M.Sed CR quadratum est aequale rectangulo ERF una eum C E quadrato. Et NM quadratum est aequale rectangulo M HO una cum NH. sive eodem CE quadrato. Quare, dempto communi quadrato ex CE , remanebit rectangulum ERPaequale rectangulo M Ho. Quia autem aequalia sunt quoque quadrata , quae fiunt ex ipsis MR , EH; erit , ut MR quadratum ad rectangulum ERF. ita ΕΗ quadratum ad rectangulum M HO . Sed MR quadratum est ad rectangulum ERF , ut AB quadratum ad EF quadratum . Et igitur ex se quali in eadem ratione , quam habet AB quadratum ad EF quadratum , erit quoque ΕΗ quadratum ad rectangulum M HO. XI. Ponamus secundo , se cautem haud quidem parallelam ese diametro , quae peνtiuerod pcnctum conta st adeo nempe , ut eXistente EH tangente, secans sit recta HS . quae occurrit diametro EF . Jamque, si ΚL sit diameter , ad quam recta TS velut ordinata reis sertur , ostendendum erit, Eri quadratum ense ad rectangulum THS , ut est quadratum conjugatae diametri EF ad quadratum conjugatae diametri KL. Ducatur ex puncto H secans alia HO , quae ipsi EF si parallela; sitque AB diameter, quae ipsam Mo velut suam ordinatam agno scit. Itaque, quum secans HO parallela sit di metro EF, quae pertinet ad punctum conta
54쪽
ELEMENTA. v Ictus Ε; erit EH quadratum ad rectangulum M HO . ut est quadratum coniugatae diametri EF ad quadratum coniugatae diametri AB. Quoniam autem HO , HS sunt secantes duae , quae velut ordinatae reseruntur ad diaiametros AB, ΚLἔ erit, ex superius ostensis, reis fiangulum M HΟ ad rectangulum THS . ut est quadratum conjugatae diametri AB ad quais dratum conjugatae diametri KL . Quare ordiri nando erit , ut ΕΗ quadratum ad rectam gulum THS , ita quadratum 'ex conjugainta diametri EF ad quadratum en conjugata diametri KL. XII. Speciatim , quum scaus es diameter X in hyperbolae, veritas ejus , de quo agitur, osten- τοῦ ι.
di potest hoc pacto. Manentibus omnibus, ut D- supra, transeat secans HO per centrum hyper- m.ρεν. bolae . Dico, ΕΗ quadratum esse ad rectanguis FIO. 22. tum M Ho, ut est quadratum ex conjugata
diametri EF ad quadratum diametri MO. Id
vero Ostendemus in hunc modum.
Sit GI conjugata ipsius EF , ducaturque ex puncto M ad eandem EF ordinata M R. Et quoniam CH quadratum est ad CM quadratum , ut C E quadratum ad CR quadratum; subducendo antecedentes ex coniequentibus, erit ut CH quadratum ad rectantulum M HO , ita CE quadratum ad rectan gulum ERF . Sed , ob hyperbolam , CE qua dratum est ad rectangulum ERF . ut est CG quadratum ad MR quadratum. Itaque erit exaequali, ut CG quadratum ad MR quadratum , ita CH quadratum ad rectangulum
55쪽
s SECTIO NuM CONICARUM Quoniam vero MR quadratum est ad ΕΗ quadratum, ut C M quadratum ad CH quadlatum I erit ex aequo perturbando , ut CG quadratum ad ΕΗ quadratum . ita C Mquadratum ad rectangulum M Ho; S permutando , ut CG quadratum ad C M quadratum; ita ΕΗ quadratum ad rectangulum M Ho. Sed CG quadratum est ad C M quadratum, ut GI quadratum ad Mo quadratum. Jtaque erit ex aequali, ut ΕΗ quadratum ad rectangulum NHO . ita GI quadratum ad Mo quadratum. XIII. Atque hinc modo nullo negotio Ostendi potest, quod si duae operbola tangestes sibi mutuo occurrant, ea sint ister se , veluti conjugatae diametrorum , quae perrisent as
Sint enim AH , m duae hyperbolae tam gentes , quae sibi invicem occurrant in puncto H. Ducantur ex punctis contactus A,& E diametri AB , EF . Dico esse, ut AH ad EH , ita conjugata diametri AB ad conjugatam diameistri EF. Ducatur namque diameter alia Mo, quae transeat per punctum H . Et quoniam AH est
tangens, ct Ho est secans , transiens per centrum; erit, ut AH quadratum ad rectangulum M HO . ita quadratum ex conjugata diametri
AB ad quadratum ipsius MO. Similiter,quia EH est tangens, ct Ho est
secans . transiens per centrum; erit, ut rectangulum M HO ad ΕΗ quadratum, ita Mo qua in dratum ad quadratum, quod fit ex conjugata
56쪽
ELEMENTA. ' r 3 quadratum ad ΕΗ quadratum , ita quadratum ex coniugata diametri AB ad quadratum exeonjugata diametri EF i S propterea tangentes duae AH . ΕΗ erunt, ut conjugatae diame.ttotum AB, EF. ψXIV. Caeterum ex iis , quae hactenus XIV. ostensa sunt, prono alveo fluunt sequentia
Primum theorema est, quod si duabus Operbola tangentibus parallelae fuerint dua .fecastes, ct conveniant inter se,tum rangentes, eum secostes; rectangula , sub secantium segmentis contenta ,sint proportioualia quadraris, qua ex tangentibus fam. Nam diametri, ad quas duae secantes velut ordinatae referuntur, sunt illae eaedem, quae pertinent ad puncta contactus . Quare in ea dem illa ratione . quam hahent inter se qua- . .drata tangentium , erunt quoque rectangula, quae sub secantium segmentis continentur.
. Alterum theorema est, quod si duabas sorantibus Operbola parallelae fuerint bina aliae secastes, ct conveniant inter se , tum illae squam istae ; rectangula sub fermentis illarum fini propretiosalia rectangulis, gaea sub seg-
inestis istarum contineatar. Nam diametri, ad quas duae posterio res secantes velut ordinatae reseruntur , sunt illae eaedem , quae agnoscunt velut suas Ordinatas secantea priores. Quare In eadem illa raAtione , quam habent inter se rectangula sub segmentis primarum secantium, erunt quoque rectangula sub segment S aliarum. ia γ
57쪽
Proprietater , quae Θperbolae . comptotis competunt, in
-- I. TI Ertinet ad hune locum Afris, z-- Impistior m Θperbola , ut quae ω funt recta , quae Operbolam contingunt is zzz punctis extremis , sive infinite a centro dis au--αι ι. ιihus . Primo igitur ostendemus, qua ratione definiantur rectae istae , quae hyperbolae asymptoti dicuntur . Tum proprietates , quae eis competunt, more nostro prosequemur. FIO. 26. Hunc in finem reserat AB axem hyperbolae , sitque KL ejus coniugatus. Describaiatur circa duos istos axes AB , KL parallelois grammum EFGH . Et diagonales hujus parallelogrammi EG . FH , transeuntra Per centrum C, hyperbolae asymptotos nobis exhibe hunt . ' . Sortitae sunt autem diagonales istae taIenomen , quia productae in infinitum, eis continuo ad hyperbolam accedant , numqua in tamen cum ea conveniunt. Nec difficila id erit ostendere . Nam , ducta ex puncto quOvis hyperbolae M ad axem AB ordinata MN; erit , ut MN quadratum ad rectangulum
ΑNB , ita in , sive AE quadratum ad CAquadratum.
Jam vero, si eadem ordinata MN converiniat
58쪽
ELEMENTA. ς niat eum EG in Ο, AE quadratum erit ad CA quadratum, ut est No quadratum ad CN quadratum. Quare erit ex aequali, ut MN quadratum ad rectangulum ΑNB , ita Noquadratum ad CN quadratum :& propterea . quemadmodum rectangulum AN B minus est CN quadrato, ita quoque MN quadratum minus erit quadrato , quod fit ex No a ade que punctum Ο erit ultra punctum M. I l. Quod autem Uymptoti eoutinuo ad ILhyperbolam accedant, demonstratur hoc Ao. Extendatur eadem ordinata MM , usque
donec conveniat cum asymptoto altera FH in ....a....
puncto R. Et quemadmodum ΕΗ sucta est Fici. a hilallam in A , ita quoque OR bisecta erit in N et proindeque differentia quadratorum MN, No erit aequalis rectangulo OMR. Et quoniam in eadem ratione , quam ha het AE quadratum ad CA quadratum , est, tam MN quadratum ad rectangillum AN B. quam No quadratum ad CN quadratum; et it quoque , ut AE quadratum ad CA quadratum , ita rectangulum OMR ad idem CAquadratum. Unde rediangulum OMR aequa. le erit quadrato, quod fit ex AE. Hinc, quocumque in loco capiatur ordia nata MN , si ea pio ducatur usque donee secet asymptotos in punctis O . & R , erit rectan gulum OMR ejusdem ubique magnitudinis.
Unde per recessum ipsius ordinatae a vertim A , quemadmodum augetur latus unum M R, ita necesse est , ut minuatur latus alterum
Mo i S propterea asymptoti ad hyperborum
59쪽
s 4 SECTIO NuM CONICA Ru Mi . III. Non igitur in dubium verti potestis d. i. ., quod distantia inter aismptotum , ω Θρὰνho. .-τω - minstr fmper, sic minor evadat. Sed oste H Aum quoque potest , quod eadem distantia eo .
- que minuatur , ut tandem evadat inusignabi-- us, sive minor quacumque data Nera linea. FIG. 24. - Capiatur enim super ΕΗ portio El, quae sis. minor recta Iinea data . Tum extendatur
eadem versus S , ita ut ΕI sit ad AΕ , ut est AE ad IS. Ducatur porro per punctum S re-- cta S R, ipsi CE parallela, quae conveniat . . cum CH in puncto R . Ac denique complea,
Quia igitur EI est ad AE , ut AE ad I S,
erit rectangulum EIS aequale quadrato , quod fit ex AE. Sed eidem AE quadrato est etiam aequale rectangulum OMR. Quare duo re-etangula EIS, OMR aequalia erunt inter se. Ulterius , quemadmodum OR secta est bifariam in N . ita ES bisecetur in T. Et, ob quales ta , OR , erunt et Iam aequales duae TE. No. Unde erit, ut ri quadratum ad rectangulum ElS, ita No quadratum ad rectangulunt OMR; Sc convertendo, ut TE quadratum ad Tl quadratum . ita No quadratum ad MN quadratum a 4 Hinc . quum sit, ut TE ad TI, ita Noad MN aerit rursus convertendo. ut ΤΕ ad EI,
Ita No ad Mo . Sed duae TL , No sunt aequales inter se. Quare etiam Et ipsi Mo aequalis erit :& propterea, quemadmodum EI est minor recta linea data , ita quoque eadem1v. . . Ria recta linea minor eri Uti Mo . . IV. Ostendemus modo Eroprietateεν quae
60쪽
. E LE ME N T A. . Ohyperbolae asymptotis competunt . Et prima νών. -- quidem proprietas haec est , quod si per aliquod operbolae punHum recta ducatur, uni ex ν- ἐρ-iis axibus parallela , qua cum utraque ais toto
conveniat; rectangulum sub ejus segmentis sit uale quadrato , quod fit ex dimidio axis prae-
Sint enim AB , KL duo axes hyperbolae,sntque etiam EG, FH binae ejus asymptoti. Jamque, si per aliquod hyperbolae punctum M
ducatur recta OR, parallela axi KL, quae cum utraque asymptoto conveniat in punctis Ο.S R ; erit, ex superius ostensis, rectangulum OMR aequale quadrato ex Ag; & consequenter aequale etiam quadrato , quod fit ex CK.: Ducatur porro per idem punctum M rericta PQ, parallela axi AB, quae conveniat cum utraque asymptoto in pungis P, & ostendendunt est, rectangulum PM esse etiam aequale quadrato, quod fit ex CA. Id vero nullo negotio ostendemus sequenti ratione.
Rectangulum OMR ad rectangulum P, Q est in ratione composta ex Mo ad N P,&ex MR ad M Sed Mo est ad M P. ut A Ε, sive CK ad C A. Et M R est ad MQ, ut AH . sive CK ad CA . Quare ratio rectanglilaΟMR ad rectangulum PMQsuplicata erie
us , quam habet CK ad CA. . - - . a
Hinc et ie , ut m quadratum ad CAquadratum, ita rectangulum OMR ad rectangulum P Min. Sed rectangulum OMR ostenissum est aequale quadrato , quod fit ex CR. Quare ctiam rectangulum PMQ erit aequale quadrato, quo4 si ex CΑ.