장음표시 사용
341쪽
1 SECTIONUM co NICARUM inita It in aequatione ν3 M aac: a ' in a 'cc: 4' a 3b3: 27 , innotescet quoque valor, quem habet incognita alia x in aequatione principali x3 l abx- aac tam O. IU. Et sane,quin hujusmodi rudumo tecte procedae, quum aequatio problematis tuis duit hane formam κῖ ' alx -- aac o, non est dubitandum. Tunc enim incognita x unicum valorem realem , eumque positivum admittit:quum semper determinare licebit,adhibita aequatione 33 aoc : a ' o 'cc; 4 fa 3b3: a j, quum nihil impedimento esse possit inventioni eius. Et par est ratio, si aequatio problematis accipiat hanc aliam formam x3fabκ f stac in o, ubi etiam incognita x unicum valorem realem, eumque negativum admittit. Sed non perinde res est, si aequatio problematis sit huius sormae x3.- alx ' aac o. Nam in hoc casu procedit reductio tunc tantum , quum incognita κ unico valore reali, eoque negativo potest explicari; & deprehen-uitur omnino impossibilis , quotiescumque. Praeter valorem illum negativum , alios duos positivos admittit . Nec aliter se res habet , si
aequatio fuerit x3 - abx- aac o , ubi etiam incognita x, praeter valorem unum p
sitivum . potest quandoque duobus allis negativis pariter explicari. Ut autem id liquido constet, meminin se oportet ejus , quod in Algebra demonstratur: nimirum in duabus hisire aequationibus
342쪽
sicientis tertii termini minor est quadrato. quod fit ex ultimo termino dimidiato , hoe est quum a 3,3 : a minor est , quam a Acer Mexplicari vero tribus valoribus realibus. quum vicissim a 3b3 : 27 maior est , quam a 'cc: ψ.Jam . quotiescumque habetur x3 a 4 abae' oac M o , tunc aequatio reducta est 13 aac: a ' ta cci a 3, 3: 27 . Unde,quem. admodum in ista valor incognitae I tunc tantum oritur realis, quum a 3δῖ : a minor est. quam a cc: 4 ; sic etiam in aequatione princiis pali κῖ - aax f aac in o tun C tantum, ad hiribita ejus reducta, reperire licebit valorem incognitae x,quum fuerit a 3b3: 27 minor,quam a cc: 4 , hoc est quum ipsa incognita re uni cum valorem realem admittit. Et similiter, quum aequatIo problematis
ducta est y 3 --aac: a s a cci 4 a 3ό3: 27 . Unde adhuc , sicuti in ista valoe incognitae ν tunc demum realis deprehenditur , quum a 3bar 27 minor est, quam a ce: ἔsc pariter in aequatione principali κλ - alx
-- aac in o tunc demum, mediante ejus reducta , determinari poterit valor incognitae κιquum fuerit a 3b3 r 27 minor , quam a cc ζ 4s hoc est, quum ipsa incognita x unico tantum valore reali potest explicari.
Id quum ita sit, liquet , per inventio nem duarum mediarum proportionaIlum, eo Ρ-la problemata tertii generis construi posse,quorum aquationet unicam tantum val9rem rea.
343쪽
4e SECTIONUM C NICARUM nibus reductio rite procedat. Sed supersunt problemata illa , in quorum aequationibus
tres valores reales occurrunt. Unde,quorsum istorum constructiones reducendae sint, nunc oportet ostendamus.
V. Et quidem conseruinoser problemais tum terrii generis , in quorum aquationibur
tres valorer reales occurrunt, per dari cujusdam areas trifectionem commode parari pos πεν. ' a. sunt. Nam, si oporteat, datum aliquem arcum tripartito dividere ς invenietur aequatio cubica , cujus omnes radiceS erunt realeS.
Quod ut liquido constet , detur circulus ADE , cujus centrum sit punctum P a & aD sumpta in ejus circumferentia portione quavis AD , secanda sit ea in tres partes aequale . Ponatur jam factum , quod quaeritur,
sintque AB , BC, CD partes quaesitae. Duis cantur radii AF , BF , CF , DF ; & junctis chordis AB , BC, CD , agatur per punctum
B recta BG , parallela ipsi CF , quae conveniae cum chorda arcus dati ΑD in puncto Gῶponaturque radius dati circuli AFαν, chorda arcus smiliter dati AD p , 2 chorda arcus quaesiti ΑΒ - x. Itaque , quia angulus BFD duplus est, tam anguli BAD , quam anguli BFA , erunt duo anguli BAD , BFΑ aequales inter se; adeoque , Oh triangula aequiangula BFA,
B AH, erit , ut AP ad ΑΒ , ita AB ad BH. Et quoniam , propter parallelas BG . CF anis gulus G BF aequalis est angulo BFC. sive BFA a erit idem angulus CBF aequalis quoque angulo BADι 2 consequenter, ob triangula
344쪽
E L E M E N T A. 34itula aequiangula ABH , BGH , erit, ut Asad BH , ita BH ad HG . Hinc quatuor rectar AF, AB , BH . HG continuo proportionales erunt: S propterea erit BH- r ν, de HG
Ulterius,quum triangula duo BFA, B AH ostensa sint aequiangula , se trianguli BFA aequalia sint lateta AF,BFIerunt quoque trianguli BAH aequalia latera AB, AH. Unde,quum
eadem ratione ostendantur etiam aequalia laatera CD. DK trianguli CDΚῶ erit AD una cum GH aequalis tribus AB , BC, CD simul
sumptis , sive etiam triplo unius AB . Quare. instituta aequalitate inter valares istarum linearum , fiet p ' κ3: re αα 3x, hoe est x3 3rex Φρre: o, quae est ejusdem formae cum aequatione x auex t aae aete o . Iam vero, quod in ista aequatione ua . 3πx ' prν αα o radicta omnes sint reales, facile erit ostendere . Quum enim AD sit linea in eirculo inscripta , ea diametto A L aequalis quidem esse potest, maior autem esse non γε test. Itaque, omissis eam aequalitatis , veluti speciali, AL major est, quam AD i proindeque, quum sit A L in ar, Se AD uep, erit armajor, quam p; adeoque r major, quam ροῦ a. Est igitur in aequatione x3 rx f prrmo cubus ex triente coessicientis tertii termini maior quadrato, quod fit ex ultimo termino dimidiatos at idcirco erunt in ea tres radices
VI. sed non ita liquido patet, per ρσαν - .rectus is schemate tres ilia radices reales exotis AEAE Mntur. Eae igitur habebuntur, si secetur in
345쪽
ites partes aequales, tam arcus D MA , qui vi/M ν. ιιι est complementum ad circulum ipsius ABD.
' qitam arcus L IL , qui est complementum ad μ' semicirculum ejusdein ABD. Si enim DM, R i' MN , NA sint partes arcus prioris D MA , RDΟ , ol, IL sint partes arcus alterius DIL; designabit recta AB radicem unam, recta AN
radicem alteram, S redia Al radicem tertiam. 'Quumque ex tribus radicibus aequationis αδ- 3rrx f prr m o duae quidem sint positivae, S una negativa ἔ erunt rectae AB , AN radiisces positivae , ct recta AI radix negativa. Et quidem , rectam AN esse radicem aequationiS- - 3rrx f prr m o perinde , ac
est rccta AB , facili negotio suaderi potest;
quia quot escumque trifariam secandus pro. ponitur arcus AD , potest hic esse tam arcus ABD, quam arcus AND ; quum uterque istorum punctis A,&D terminetur. Sed, quod ejusdem aequationis radix sit etiam reincta Al , quae nec subtendit trientem arcus ABD, nec trientem arcus AND r id equidem non ita facile concipitur; quia, quam relati nem habeat recta AI cum problemate de triis sectione arcus AD , sane non apparet. Constabit id autem, si sedulo considereismus, quo pacto procedimus in resolutione
problematis, in quo a reus, ducibus datis putris et is interceptus, in certum aequalium partium numcrum dividendus proponitur . Nimirum, quum in resolutione ejus problematis Proce damus , inveniendo valorem chordae , quae
unam ex iis partibus subtendat; perspicuum est, problema ipsum eo quidcm redire, ut
346쪽
RLEMENTA. 34 lnveniatur valor rectar lineae, quae incipiendo ab uno puncto , toties aptari polsit in circuli circumserentia , donec perveniatur ad pundium alterum , quot sunt partes , in quas diuidere oportet arcum , qui inter duo illa puncta intercipitur. Atque hac ratione facile modo inteIlIgiis mus , cur aequatio πῖ - 3rrx fprν o tres habeat radices reales . designatas per rectas AB, AN, AI. orta est namque aequatio illa ex resolutione problematis , in quo arcus, punctis A, ct D interceptus, in tres parteS ae quales proponitur dividendus . Itaque , ut illi aequationi satisfiat, rectam oportet invenire, quae a puncto A ter aptari queat in circumserentia circuli, donec ad punctum alterum DPerveniatur . Unde , quum id praestari possit per quamlibet rediarum AB, AN , AI; consequens est, ut valor incognitae x in aequatione x3-, 3νxx f prr o sit unaquaeque rectarum
AB. AN, AI. VII. Ne aliquid hic omittamus , ἰllud vIt. etiam ostendendum nobis est, quod in eadem
dices positivas rectae AB, AN,& designet
radicem negativam recta AI. Id autem Deile constabit, si utique ostendi possit, rectam ΛI νονι in. ipsis AB, AN simul sumptis aequalem esse. FIG. Deest eni in in aequatione illa secundus term L l a l . nus ῆ adeoque , per ea , quae in Algebra demon strantur , debet radix negativa ejusmodi esse , ut adaequet summa in ex duabus radici-hus positivis . Osteudemus vero rectam At aqualςm
347쪽
a 4 SECTI NuΜ co NICARUM summae ipsarum AB, AN, praemisso prius hoc
lummate . Nimirum, quod si in circulo aliquo ABC describatur triangulum aequi laterum BCD , ct ex uno trianguli angulo , veluti C, ducatur recta AB, quae terminata ad circuli circumserentiam , secet latus oppositum BD
iii puncto E; quod . inquam, recta ista C A lysis AB , AD simul iuniptis sit aequalis. Hujus lemmatis veritas ostendi potest in hunc modum. Angulus DAC, velut aequalis angulo DBC , ad aequat angulum B DC . It que duo triangula CDE . CAD aequiangula Erunt; adeoque erit, ut CD ad DE . ita CAad AD . Eadem ratione angulus B AC, velut aequalis angulo BDC , adaequat ungulum DBC . Itaque duo triangula CBE . CAB aequi angula erunt, adeoque erit, ut CB ad BE, ita CA ad AB. Jam , propter triangulum aequilaterum BCD, duae CB, CD inter se sunt aequales.
Suare erit quoque, ut CD ad BE . ita CAAB. Sed ostensum est pariter, quod CD sit ad DB , ut CA ad AD . Itaque et it . ut CD ad summam ipsarum BE, DE. ita C A ad sumis inam ipsarum AB. A D. Unde, quemadmodum CD ipsis BE , DE simili sumptis est aequalisὴ ita CA ipsas AH. AD simul ad aequabit.
Hoc lemmate praemisso, facile modo erit. ostendere, rectam AI ipsis AB. AN simul sumptis aequalem esse. Quum enim arcus AB sit tertia pars arcus ABD, ct arcus AN tertia pars arcus AND ; erit arcus B AN tertia pars totius circumferentiae . Et rursus , quoniam arcus BD eontinet duas tertias partes arcus
348쪽
tes semicircumferentiae A DL 3 adeoque tortia pars erit circumferentiae integrae. Hinc arcus B AN . BDI , non modo a quales erunt inter se , verum etiam adaequa.
hunt arcu in reliquum I MN . Unde, si puncta tria B . I, N rectis totidem jungantur, aequi laterum erit triangulum , sub iis comprehensum i S consequenter , per Iemma iam ostensum , tecta Al ipsis AB, AN simul sumptis aequalis esse debebit. VIII. Quemadmodum ergo in problemais uni.
te de trisectione arcus AD invenitur aequat oxa - 3νrx f prr ω a . cujus omnes radices m sunt reales; ita nulli dubium esse potest. quin referant radices duas positivas rectae AB, AN, S radieem negativam recta AI. Sed , qua ra. να. . tione, per trifΗiosem alicujus areat, cων- strui post σι problemata omnia tertii generis, - - in quorum aquationibus tres valores reales o currunt, jam superest, ut ostendamus. Sit itaque primo x3 auex aac cae o Fici. aequatio problematis, quae duas admittit radia i ai. ces positivas . Sc unam negativam . Confera tur aequatio ista cum ea de tri sectione arcus, superius inventa. x3 -. 3r 'premo. Eta comparatione instituta , habebitur 3rrim ab, dc pre m aae . Unde , quemadmodum ex prisma harum aequationum insertur r- sab:3ὶ, se ex secunda eruitur p 3ac: b. Iam in problemate de tri sectione areus erat ν radἰus circuli, A p chorda arcus tri se-
secandi. Quare, si describatur circulus ABL,
349쪽
46 3ECTIONUM CONICARUM euius radius sit i sab: 3) , S in eo aptetur reis cta ADt 3ae: h erunt proposi tae aequationis radices positivae rectae AB, AN, quae subtendunt trientes arcuum ABD , AN D; S radix negativa recta AI, quae subtendit trientem arcus ABDNABD
tio problematis , in qua sunt duae radices ne gativae , S una positiva . Jam isti a praecede niste non in alio differt, quam quod terminorum, locu paribus existentium , mutata sint signa. Quare per ea , quae in Algebra ostenduntur. erunt istius radices negativae, quae in illa erant positivae ; ct per contrarium erit hujus radix positiva , quae illic erat negativa. Hinc , descripto rursus circulo AB L. cujus radius sit Osab: 3), ct aptata adhuc in eo recta AD ira 3 ac : bio portebit, tripartito dividere , non modo arcus ABD , AN D, verum etiam arcum ABD NABD. Nam et une propositae aequation S radices negativae rectae AB, AN , quae subtendunt trientes arcuum
ABD. AN D; ct erit radix postiva recta Al. quae subtendit trientem arcus ABD NABD. . . I, . OmniR igitur problemata solida, vel
oleis... εω- inventione duarum mediarum proportiona-
lium inter duas tectas datas. vel trisectione
s-is via arcus alicujus conuruere licebit. Sed nolo
hic silentio reticere, quod utrumque horam, problimatum nutio negotio construatur , si uti- νι. que in ra datum augulum , sive recti liseum a mixti lineum , aptari possis rem data longitudinis , quae convergat ad punctam datum. Oporteat etenim primo invenire duas
350쪽
ELEMENTA. 34'medias proportionales inter rectas AB , A C. pro Jungatur eae ad rectos angulos ς & completo ia 3 rectangulo AC secetur utraque ipsarum hi-fariam iii E , S F . Tum , juncta DE, producatur eadem , usque donec ipsi BC occurrat in G , Si erecta super BC perpendiculari FH talis longitudinis . ut fiat CH aequalis ipsi A E , iungatur GH , cui per punsium C pa rallela agatur Cl. Extendatur postea BC verissus Κ , ct intra angulum rectilineum ΚCIaptetur recta Κl . eidem AE aequalis , qtiae convergat ad punctum H. Denique per punctum D ducatur recta KL, ipsi AB oecurrens in L ; & dico, CK , AL medias esse proportionales inter duas AH , A C.
Quum enim AB secta sit bifariam in E; erit BG ipsi AD , seu BC aequalis ἱ adeoque erit, ut AE ad AB , ita BC ad CG . Sed AB est ad AL , ut CK ad BC. Quare, perturbando , erit, ut A E ad AL , ita CK ad CG;
S addendo antecedentes consequenti huS,erit
Propterea, ob aequales A Ε, Κ l,erunt etiam aequales EL, ΚΗ : proindeque erit quadratum cx EL aequale quadrato ex ΚH. Jam quadratum ex EL est aequale reis .ctangulo ALB una cum ΑΕ quadrato ; Scquadratum ex K H est aequale quadratis ΚΓ.FH, sive etiam rectangulo BKC una cum CH quadrato. Quare erit rectangulum ALB una cum AE quadrato aequale rectangulo BKCuna cum CH quadrato , adeoque , ablatili ae.