장음표시 사용
321쪽
i SECTIO NuM CONICA Ru Maequatio deprimitur ad tertium gradum ; li quet, circulum describendum esse centro H. S intervallo HA , quotiescumque aequatio
problematis est xy . . obae . . stac in o.
νο--o probis malis aquario , in qua fecundus terminus reperitur. Capiatur locus ad νε μεριο, tu parabolam paulo compositus xx 'μ υλ, iac o. Et, methodo superita. tradita , fiet xx
de duobns hisce locis constructio problematis fieri debet, quo parabola, ct circulo conis strui possit. pio Designentur itaque per portiones recta: i i i AB valore. incognitae' . Tum , erecta super ea perpendiculari AC , sint huic aequid istantes valores alterius incognitae x . Et quoniam aequatio ad parabolam est xx f ' -- ο o, perspicuum est, quod si ad partem alteram i pissus AC capiatur An -f: a , ct ducta per punctum D recta EF , ipsi ΛΒ parallela , fiat DΕ - f: 4a , debeat esse EF axis parabolae,
M EG - a parameter eius. quantum vero ad circulum, quia ipsius
centrum eius , abscindendo successive ex AB primo AH - β aa , tum Hl a : a , ac derinique I K leb: a I nec non capiendo ad partem alteram ipsius AC itidem successive , non modo AD - fa,verum etiam DL in D: aaa, Lo in Ui as , & ΟR Ere c : a . Nam , commpleto deinde rectangulo KR , fiet S centrum quaesitum. Ra.
322쪽
Radius porro ejusdem circuli est sDi
od). Unde, quum propter triangulum rectan
dius quae si tus ς adeoque circulus describendus erit centro S , S intervallo SU. Describatur ergo hujusmodi circulus. Et si quidem ex punctis , in quibus idem parabolae Occurrit , perpendiculares demittantur super AB , dabunt eae valores, quos habet Incognita x in aequatione κε f 2δεῖ --abxxit aacx-aad πι o. Nec dubium esse potest, quin occursus fieri debeat in totidem punctis , quot sunt valores illi. Nam , si quaeratur aequatio , definiens eum occursum ἔ non alia nobis siue offeret, quam illa ipsa , de qua agitur x' ' a'3 - auexx ' ca a d o. V. Sed facile quoque erit Apecialem isam
eonstructionem ad suam uni.ersalitatem revo- νν ..isis ti care, eandemque ad omnes alios casus extendς- , '' . r. re. Quaecumque enim sit aequatio quarti grain .resani M. dus , secundo termino praedita I per construinctiones problematum primi generis,seri semper potest, ut sit ascoessiciens secundi teriamini,is coeffciens tertii, oac coessiciens quarti , & abd ultimus terminus. Quare, nulla hahita signorum ratione , poterunt aequationeSomne1 quarti gradus , quae secundum termiis
323쪽
1. SECTIONUM CONICARUM num continent,exhiberi per istam x ., Uxδ
Hinc, si qtite mutatio facienda sit in coni. structionibus aliarum aequationum, ea ex di versitate signorum , quibus assici possunt i p. sarum termini , tota proficiscitur . Qualis autem esse debeat haec mutatio, haud dissici loerit intelligere. Nimirum primo portionespici. diue AD mf: a , ct DL : et aa sumendaei ig sunt super ipsa AC , quum habetur Ux3. Secundo portio IK α b : a capienda est ad plagam oppositam, quum suerit f abis. Ter tio portionem Lo Vesta oportet sumere ex L versus A, quum lcrmini duo Uxῖ, abxxiisdem signis sunt affecti . Quarto portio OR- e et a sumenda est ad partem contrariam, quum habetur ν-. aacx. Ac denique ipsa AU ad subinde aptanda est super AS , ut rectus si angulus SVA , quum fuerit ' aad.
Hic quoque, si desit in aequatione teris minus aliquis, nulla evadit recta illa, quae per coeficientem ejus termini definitur. Et inde duo consequuntur , notatu digna . Primum est , quod hujusmodi constructio recidat in eam , quae paulo ante allata est , quotiencumque deest in aequatione secundus terminus Ux3 ῆ quandoquidem , per desectum hujus termini , non modo evanescit AD, sed nullae quoque sunt, tam duae DL, Lo,quam
duae DE, AH . Al terum est , quod si aequati
circulus describi debeat centro S, & intervallo SA . Nam aequatio , de qua agitur , XAE . .
324쪽
ELEMENTA, a Mahit in eam , quam deficiente ultimo terminoa 3d : quo casu ipsi A V in inad nulla fiat oportet. V l. Ostenso, qua ratione problemata solida parabola, ct circulo construantur , v i - θνρεν tacleamus nunc , quo paHo eorundem prob&- 'matum confructio ellipsi , ct circulo pera
ei debeat. Hunc in finem reserat rursus κε eorωm ai Ma.
quationem , quae secundo termino careidamis eaven . Eaque, si capiatur locus ad parabolam fmplicinsamus xx vinor, habebitur substitutione locus alter ad parabolam n Θ t ex is ad τα o . Et, quemadmodum illorum additione oritur locus ad circulum xx - υ f v - Θ' cx -- ad ra o , ita s prior ad parabolam aequatio multiplicetur per fractionem hi a , fiet
- ad ra o locus ad ellipsim . Sit nune AB recta illa , per cuiuS POr- PtIones designantur valores incognitae di . Et, 'erecta super ea perpendiculari AC, sint hule flaequid istantes valores alterius incognἰtae x. Quia ergo locus ad circulum est xx a s . iv -- by f cx ad in o I oportebit, ut supra , primo quidem abscindere ex AB , tam AE a: a, quam EF - Λ: a ς deinde vero ad partem alteram ipsius AC sumere AG m ei a. Nam, completo postea rectangulo FG, S erecta super Ald perpendiculari Al αα ad ; set H centrum ejus , ct Hl radius ejusdem. Quantum vero ad ellipsim , quum ejus aequatio si Bxx: o - Θ lv odi ' cx ad-o; necesse est pariter , primo quidem ex
325쪽
xx SECTIONUM CONICARUM AB ah scindere, tum ΑΚ αα b: a , cum KL s 4: 2 ἔ deinde vero ad plagam Oppossit/m ipsius AC sumere AO , quae iit ad AG , ut est a ad B. Nam , completo postea rectangulo LO.
sumptisque super RQ hinu inde a puncto Ilportionibus RP . RQ talis longitudinis , ii ι
cujusque quadratum sit aequale quadrati. AL, AI una cum quadrato alio , quod sit .dΑO quadratum,ut est is ad a; fiet R centrum ejus, PQ axis ejusdem , ct ratio axis ad param metrum aequalis et , quam habet β ηd a. . Describatur itaque , tum ille circuIuticum ista ellipsis . Et siquidem ex punctis , id
quibus sibi mutuo occurrunt, Perpendici in lares demittantur super AB , dabunt en va-Iores , quos habet incognita x in aequationa ε - ahxx t aacx--a3dam o . Noc tu disebium verti potest, quin occursus fieri debeat in totidem punctis, quot sunt valores illi. Nam, si invenienda proponatur aequ ito, Perq;lam occursus ille definitur, non alia nobiφ1ς se offeret, quam ipsa illa, de qua agitur. κ' -- xx t aacx - a 3d αα o. VII. Non hic subjungam . quo pacto specialis ista constructio ad suam universalita. . tem sit revocanda , quum facile id intelligi possit ex iis , quae paulo ante dicta sunt de . construetionibus , quae parabola, ct circulo sunt. Potius loco ejus notari hic poterit, en. I sim n conserum e problematis assumptam,
pro multiplici et alore ipsius b, poste esse iν
rarum specierum. Et quamquam hac ratione in eirculum pariter possit abire , non hinc x men duobus circulis problema construere liis
326쪽
ELEMENTA. cet 3 quum non aliter verti queat in circulum , quam ubi fuerit o az quo casu rursus prior circulu1 Oritur. Quum autem parabola, velut species quaedam ellipsis, considerari: possit , omnino necesse est , ut in allata constructione conti neatur ea , quae Parabola , ct circulo perficitur. Et sane fiet locus huic constructioni,ubi quantitas θ infinita supponitur. Tunc enim, Fr.r I9. quemadmodum , ob infinitam longitudinem ii . ipsus AK, in infinitum abit centrum ellipssise axis ejus PQ coincidet cum AB,ob rectar ΑΟ , quae evanescit, & ad nihilum reducitur.Quumq; in eadem hypothesi aequales fiant duae RO, RΡ , coincidet etiam punctum Ρcum punero A ; adeoque , non modo ellipsis vertetur in parabolam, sed erit quoque Avertex parabolae principalis, AB axis ejus, &reeta AD-a parameter axis. illud etiam reticendum hoc loco non est , quod si aequatio problematis sit χῖ-abκ' uacm o; tunc satis erit in ea, de qua agi tur,x. - abxx t aacx . . a 3d in o delere ultimum terminum a 3d. Et quoniam,deleto isto termino . nulla evadit recta AI-ὐ ad; duo hinc consequuntur . notatu digna . Primum
est , quod circulus describi debeat centro H, S intervallo HA . Alterum , quod portiones
RP , RQ, quae super Ro sumuntur hine in
de a puneto R , debeant esse talis longitudinis , ut cujusque quadratum sit aequale qua drato ex AL una cum quadrato alio , quod
sit ad Ao quadratum , ut est o ad a.
327쪽
14 8ΕCTIONUM CONICARUMaacx -a3d-o αquatio problematis , ellipse circulo construendi . In ea, ut vides, adest secundus terminus . Quare capiendus est loeus ad parabolam paulo compositus xx ' μυρα o I eritque substitutione, - 1, at fix:aa --bν ' θ': a s cx - ad - o locus alter ad parabolam. Unde, quemadmodum eorum additione fit locus ad circulum xx '
' ex ad emo , ita, si prior ad parabolam aris quatio multiplicetur per fractionem Φ: a . hais hebitur etiam additione locus ad ellipsim
- Θ ' Uxt a s cx -- ad o. i Sit jam AB recta , per cujus portiones desis nantur valoreS incognitae 3 . Et, erecta super ea perpendiculari AC , sint huic aequi. distantes valores alterius incognitar κ. quia erso Iocus ad circulum est xx 'μ--ο 'v
o I oportebit, ut supra , primo quidem ex AB abstindere successive AH in 1 t eta, Hla: et , & IK in hi a ; deinde vero ad partem alteram ipsius AC sumere itidem subsecutive AD fε 2 , DL -D: et aa , Lo ΣαU: et a , S OR - ct a. Nam,completo postearctangulo LR , S erecta super AS perpendiculari AV - ad; fiet S centrum ejus, ct SV radius eiusdem. Quantum vero ad ellipsim , quum eius
328쪽
ELEMENTA.ro ex DR, producta si opus, auferre portiorinem DZ, quae sit ad DR, ut est a ad B. Nam, completo pol ea rectangulo XZ, sumptisque super YZ hine inde a puncto Y portionibus YΡ, ΥQtat is longitudinis, ut cujusque qua in dratum sit aequale quadratis A X . AU una cum quadrato alio , quod sit ad AZ quadratum , ut est is ad a , fiet Y centrum eius , PQ
aκis ejusdem , & ratio axis ad parametrum aequalis ei, quam habet B ad a . Describatur itaque , tum ille circulus, cum ista ellipsis . Et si quidem ex punctis , in quibus sibi mutuo occurrunt, perpendicula res demittantur super AB; dabunt eae valoia res , quos habet incognita x in aequatione κε' σκῖ -- abxx t aa Ha,d - o . Nec ulis It dubium esse potest . quin oecursus fieri debeat in totidem punctis , quot sunt valores illi. Nam, si quaeratur aequatio , per quam occursus ille definitur , ct assumatur velut incognita perpendicularis, quae exinde deis nuttitur super AB , non alia nobis sese offeret , quam ipsa illa , de qua agitur, x' ' a'3- ahxκ ' aacx ' a 3d - O. IX. Nec etiam hic subiungemus, qua ratione specialis illa constructio ad omnes casus sit extendenda ; quum similiter intelligere id liceat ex iis , quae superius dicta sunt dconstructionibus, quae parabola , S circulo -- θυι. fiunt. Meretur autem , ut hic quoque notetur , ellipsim . in construinone problematis af να---
sumptam . pro multiplici talore ipsius is , poste esse infinitaram specierum .Et quamquam hac ratione possit pariter in circulum abire ἔ non
329쪽
hine tamen duobus circulis problema cor instruere licet; quum non aliter verti queat in circulum , quam ubi fuerit Bina: quo casu rursus prior circulus Oritur. Ob eandem rationem necesse est , ut in allata constructione contineatur ea , quae parabola , ct circulo perscitur; quum parabola, velut species quaedam ellipsis , possit considerari. Ei autem fit locus, quum quantitas θ in. Fi. 1 sto, finit supponitur.Tunc enim,quemadmodum,
ii 8. ins nitam longitudinem ipsius HT, in infinitum abit centriini ellipsis 3 sic axis ejus PQ coincidet cum testa EF , ducta per punctum D ipsi AB aequid istanter , ob rectam DZ , quae evanescie , ct ad nihilum reducitur. Quumque , sumpta su per EF portione DErasti Aa, coincIdat in eadem hypothesi punctum P cum puncto E , non modo ellipsis vertetur in parabolam , sed erit quoque E vertex parabolae principalis, EF axis ejus, S recta EG
Hic vero non ita liquido patet, quod punctum P eo incidete debeat cum puncto E, quotiescumque quantitas o infinita suppolii-tur. Quare, ne dubium ullum supersit, ostendemus illud in hunc modum . Quoniam ha
posita B infinita . fiet AX M h : a , & AZ fi a . Sed ex constructione , YP quadratum est aequale quadratis A X . AV una cum quadrato alio, quod sit ad AZ quadratum, ut estis ad a . Quare, posita P Z t; erit it f th f
330쪽
- ad ' fh: M ; sive etiam, ob o infinitam, ιδ εαα Τι: 4a : & propterea erit PZ μι m Τειν. Unde, quum sit etiam DΕ - Τ; 4a , omninoneeesse est, ut accedente PQ ad ipsam EF,ca. dat punctum P super punctum Ε.
Illud quoque notandum hoc loco est ι quod si aequatio problematis sit x3 f Uxx-- abae t aac α o ; tune satis erit in ea , de qua agitur,x' ' a'3 - abxx f aacx a 3d in odelere ultimum terminum a ad . Et quoniam, deleto isto termino , nulla evadit recta AUGe t ad ἔ duo hinc consequuntur . notatu digna . Primum est , quod circulus describi disheat centro S , & intervallo SU . Alterum,
quod portiones ΥΡ , Υ , quae supet YZ su
muntur hinc inde a puncto Y , deheant esse talis longitudinis , ut cujusque quadratum sit quale quadrato ex AX una cum quadrato alio quod sit ad AZ quadratum,ut est δε ad a. X. Caeterum, etsi coit structiones proble-
matum solidorum , quae hyperbola , & circulo fiunt, ob rationes superius allatas, non sint eomparandae cum iis, quae sive circulo, & pa. quum rabola , sive circulo, & ellipsi peraguntur;attamen , si eae velint adhiberi, poterit locus ag-μt perbolam eodem fere arrifero reperirβ, quo os . invenitur Deos ad ellium; hoc est, multiplicando per fractionem aliquam pilorem locum ad parabolam , tum eum subducendo ex locis altero , qui etiam ad parabolam nos ducit. Ita, si x . abxx f aaex a 3d era sit problematis aequatio , sumpto loco ad parabolam simplicissimo xx --υ - ο , fiet substitutione v --brtex -- adi e locus aia