장음표시 사용
331쪽
,3 13 SECTIONUM CONICARUM ter ad parabolam . Unde , quemadmoelum adis ditione horum locorum habebitur locus ad circulum xx - ο fv -- by l cx-ad - ος ita, si prior ad parabolam sequatio xx - ρο- o multiplicetur per fractionem δε et a , ori tur subtractione locus ad hyperbolam D -- Θ ' -- Θxx: a 'cx -, ad ἐπι o.
Similiter, si κε ' 2D3 , . abxx t aacx- a 3d - o sit aequatio problematis , sumpto loco ad Parabolam paulo composito xx t μ
tione istorum locorum oritur locus ad circu
rabolam aequatio xx f ' ο - o multiplicetur per stactionem B : a , fiet subtractione Fu - B: a ' hy-θxx: a -- hse: a ffix et aa f Ux et a s cx--ad o locus ad hyα perbolam. Sed hic quoque notare oportet ε quod hujusmodi hyperbola , pro multiplici valora ipsus B, possit esse infinitarum specierum. Speciatim vero erit aequi latera, si fuerit B a. Et quoniam parabola considerari potest vel uespecies quaedam hyperbolae ; omnino necesse est, ut in constructione , quae hyperbola , ct circulo perficitur , contineatur ea , quae circulo , S parabola peragitur t quemadmodum revera abit in illam,quotiescumque ipsa quantitas B infinita supponitur. XI. Hyperbola vero sub contemplatiorinem hic venit tela te ad aliquam ejus diameet
332쪽
sos a mptotos considerata Plane,qm in aequatio problematis est tertii gradus , sive trium dimensionum, inter alia loca, quae tradita me thodo exinde eruuntur , ille etiam reperitur, qui ad hyperbolam nos ducit, relate ad ipsius asymptotos consi dratam. Unde facile erit,ope ejus, problematis constructionem exhibere. Sit enim primo x3 a ' aacino pr hiematis aequatio. Capiatur locus ad parabo Iam simplicissimus xx v . Et quoniam, multiplicata utraque ejus parte per x , fit x3- au 3 erit substitutione av - abx f aae M o , sive etiam v - ac - ος quae quidem aequatio non aliter, quam per hyperbolam , relate ad suas asymptotos consideratam,
potest explicari. Sit etiam x3 f Uxκ - a f aac oaequatio,ex problemate nata. Capiatur adhuc locus ad parabolam paulo compositus xxijx- ο . Quumque , multiplicata utraque nus
aequatio per hyperbolam, utroque modo consideratam , potest explicari.
Quod si autem aequatio problematis sit
quatuor dimensionum ἔ tunc tradita methodo numquam ex ea erui poterit locus ad hy-Perbola in , relate ad suas asymptotos consideratam . Verum , si aequatio subinde transistin metur , ut ultimus ejus terminus sit quadra.
tum persectum , ct afficiatur etiam fgno i , licebit circulum, & hyperbolam reperire in hunc
333쪽
33. SE Ct IO NuM CONICΛRUM hunc , qui sequitur, modum . Sit α' ' a' at xx uacae t aad ι- ο hujuscemodi problematis aequatio . Cainpiatur locus simplicissimus ad hyperbolam. relate ad asymptotos consideratam, I ad. Et quoniam fit , tum x M ad: I , cum xx me
me s. Quare, reducta aequatione ista , habebit ut locus ad circulum aD . ab -- acyr
e. ': --. Xli. Illud iam stiperest, ut paulo cla.
sis, eius hic explicemus , cur omnino opus sit, ut occursui duorum locorum , quibus probumsmi. M Win construιtur , fot in totidem punHis, quot Da. z. ores in eius aquatione habet incognita. Nam,
tria.. . quod saepius supra dictum est , id exinde ori
ia. ' ri, quia aequatio , pet quam occursus ille definitur , ab ipsa problematis aequatione non differt, etsi verissimum sit; rem tamen noi adeo luculenter ostendit, ut omnis dubitandi ratio remota videatur. ProprIa ergo ejus rei tatio repet ἰ debet ex ἱllo Algebrae principio, quod aequatio, ex resolutione alicujus problematis nata , radio cibus suis omnes ejus problematis casuS nois his ostendat. Inde enim fit, ut aequatio , qua duarum linearum occursus definitur, de bot per suas radices puncta omnia exhibere , in quibus oecursus ille contingit. Unde omni no iiscusse est, ut occursus duorum loeorum, quibus problema construitur . fiat in totidem Punctis , quot valores in esus aequatione haαbut incognita; quum radon problematis ae in
334쪽
LLEMENTA. . 333quatione etiam occursus ille definiatur. Quod autem aequatio , definiens occuria sum duorum locorum, quibus problema construitur , non disserat ab ipsa problematis aequatione ; id notius est , quam ut possit in
dubium revocari. Invenienda est enim aequatio illa per conditiones, quae seorsim in utroisque loco continemur. Unde, quum istae conis ditiones sint illae eaedem , quae simul in pro- hiemate reperiuntur ν oportebit, eam invenire per ipsas problematis conditionest proindeque omnino necesse est , ut non disserat ab aequatione , ad quam problema ipsum revoca. t ut ς quum ex iisdem conditionibus utraque aequatio erui debeat. Ex eo porro , quod aequatio , definiens duatum linearum occursum, debeat radicibus suis puncta omnia exhibere , in quibus occursus ille contingit, perspicuum est, non
melius intelligi possie . in quot punctis duarum linearum occursus fiat , quam quaerendo aequationem , per quam illiusmodi oecursus definitur . Unde, quod nimio labore ostendit Apollonius libro quarto suorum Conicorum de numero punctorum , in quibus aliqua sedi io coni convenire potest, vel cum circuminferentia circuli, vel cum alia coni sectiones
ope ejus principii, facili quidem negotio demonstrare licebit. Nimirum aequatio , definiens occursum, sive duatum coni sectionum . sve circumferentiae circuli, S unius conicae sectionis , reis gulariter ad quatuor dimensiones ascendit.
Unde non plura, quam quatuor, Poterunt esin
335쪽
3 a SECTIONUM CONICAxuvia puncta eius occursus. Sed duo quaevis horum punctorum possunt, Vel in unum coire, vel nullibi etiam te periri: si scilicet radices, iis correspondentes , vel aequales fiant, vel etiam evadant imaginariae. Et quoniam,quum coeunt in unum , abeunt in punctum contactus ; hinc est, ut eaedem curvae in pluribus, quam duobus , punctis nequeant se muri
C A P. U. Conseructio problematum silidorum plenius expenditur.
I. Bide constructione egimus proin
hiematum planorum , ad rem vi stim suit ostendere , ad quos terminos coninstructiones eoum possint revocati . Eadem autem ratione non abS re erit,hic etiam aperire , quorsum constructio problematum solidorum proprie reducatur . Id vero ut comis modius exequi valeamus, praestat prius advertere , quod problemata quarti generis facillimum sit construere mediantibus iis , quα tertiam genas constituunt. Sunt quippe problemata quarti generis, quorum aequationes ad quatuor dimensiones ascendunt; s uni vero problemata tertii generis , quorum dimensioneS ad tres tantum diamensiones assiugunt. Unde constabit, priora problemata posse istorum beneficio construi, si
utique ostendi possit, quod qualibet aequatio
336쪽
ELEMENTA. 3 3 uarti gradus ad aliam trium dimensionum eprimi queat. Id autem demonstravit primus omnium Raphael Bombellius. Et facillime illud idem ostendere licebit in hunc modum . Sit κη obxx f aacx -- d m o aequatio quarti gradus . Supponatur ea orta ex multiplicatione istarum secundi gradus xx - γxist tm o, &xx 'Ix - raras . Jamque, iis per se mutuo multiplicatis, fiet κε -Μxx ' Τxx - MXX
sequatione proposita. Comparentur itaque smul , ct ex mutua terminorum collatione habebitur πι-
--aabb ' et abn ---γ',sive etiam γε - aais aobbis ' Mὸ γ - o 'cci o , quae est aequatio sexti graduS, derivativa tertii. Verum quidem est, quod aequatio quar ti gradus assumpta sit carens secundo termino . Sed id dissicultatem facete non debet, quum facillimum sit ex aequationibus delere secundum terminum . Qua autem ratione aequatio quarti gradus κε - alxx t aacx - a 3d - o censenda sit reducta ad hanc aliam cubicam ' . - 2 ab aabbdidi Da 3 γ 'ccm o facile quidem erit intelligere et nimirum, quia cognito valore incognitae di , innotescet quoque valor incognitae π.
337쪽
- O , ex quarum multipl catione concipitue Orta aequatio, de qua agitur , κη alxx laacx - οῖdm o,prior fiet xx - 3x laac. -- ab: a ' γ'ν: a tm o, & posterior xx ' γκ aae : a V ' ab z 2 IF . a o: proindcque, cognito valore incognitae θ, facile erit iis mediantibus invenite quatuor valoreS, quos hahet incognita x in aequatione proposita.
a. - Π. Quum ergo problemata quarti gene
tis facili negotio construantur Per ua , quae tertium genus constituunt; fatis erit, inquia mi rete , quorsum constructio problematum tertii texeris reducatur . Et simplicior quidem me' uatio , uuae ex at quo horum problematum mI potest oriri, est x λ --. Ei autem fit satis per primam duarum medio loco proportionalium inter a ,&c. Nam, si ista vocetur x, sex' altera xx: a I adeoque , quum si, ut a ad x. Ita xx: a ad c , erit xa: a m ac, sive etiam xῖ
Nec aliter siet satis problemati, si aequa
tio ejus sit xῖ - - aac. Tum enim duae meis diae proportionales inveniendae sunt inter a. adhuc prima ipsarum valorem exhi-hebit incognitae α. Nam, vocando x primam duarum medio loco proportionalium inter o, ct e s fiet altera xx : a . Unde , quum sit, ut a ad x, ita xxr a ad ν- erit x3: a 'ra ac, sive etiam πῖ - - aac , quae est ipsa pr hiematis aequatio.
338쪽
ELEMENTA. 3ιν. S ed notare oportet hoc loco , valorem Incognitae x oriri positivum , quum sequatici problpmatis est x3-aac ; & vicissim negativum,quum eadem aequatio est x3--. aac.
Constabit id autem facili negotio . si regulis, praecedenti c pite traditiS, utrumque proble,
ma construatur . Patebit enim , Occursum i
corum , quibus constructio peragitur, seri ex parte radicum postivarum , quum habetur x3 αα aaς ὁ & ex parte radicum negativ rum , quum per contrarium est xῖπα---m c.
Hoc idem repeti quoque potest ex ipso clitorio, quo magnitudines proportionalepdignoscuntur. Ut enim vidimus in nostri*Alpebrae Elementis dicendae sunt proportionale. qud tuor magnitudines , quotiescumqu*quicquid emcitur ab uno antecedentium , up consequentem suum adaequet, id omne fieri debet ab alio antecςdente, ut adaequet quoque suum consequςntem . Unde , non aliteri uter magnitudinea diversi status proportio subsistere potest , quam si servantes legem proportionis , qua quantitates . duae suerint unius status , S alia duae status oppositi. Hinc autom prono alveo fluit, ut dua-xum medio loco Proportionalium inter - c prima debeat esse negativa , ct secunda positiva. Debent enim in iis magnitudinibus,
velut continue proportionalibus , tres analoωgiae distingui. Nam , non modo necesse est,
ut prima sit ad secundam , veluti est tertia ad quartam sed oportet quoque, ut tam prim sit ad secundam,veluti est secunda ad tςrti/m; quam secunda ad tertiεm . veluti est teri a d
339쪽
quartam . Profecto autem non aliter omnea
istae analogiae subsistere queunt, quam si duarum mediarum proportionalium prima sit negativa , & secunda positiva. Atque hinc etiam ratio repeti potest, eur problema planum sit impossibile , quum
ejus aequatio est xx πι -- ah . Pro eo enim inveniendi esset inter a , ct . b una media proportionalis . Sed cujuscumque status ea capiatur, numquam essicere licet, ut in ipsa analogia duo termini sint positivi, & alii duo negativi. Plane vero media proporionalis inter a . & b potest esse, tum positiva, cum negativa. Nam, sicuti in priore casu omnes analogiae termini sunt positivi; sic in secundo duo erunt unius status , S alii duo status oppositi.
HI. III. Quemadmodum autem per Inventio-- nem duarum mediarum proportionalium fiefmνω - satis problemati, cuius aequatio est, vel xy- aac , vel x3 m . aac I lic eodem artificio omnia alia problemata tertii generis confrue-aonreti. re liceret, si eorum aquationes ad formas illas
simplicissimos possent retocari . Fieri vero id facile potest , quum aequatio problematis secundo , 2 tertio termino caret. Nam, si hac beatur,exempli gratia ,κῖ aab ' acc - fcri capiendos O b f cc; a -- scd: aa, fiet utique
Sed non per nde se res habet , si in aequatione problematis , vel secundus , vel te titis , vel etiam uterque terminus reperiatur. Tune enim in id primo incumbendum, ut,remotis ab aequatione illiusmodi terminis , pu-
340쪽
ELEMENTA. 33 ea reddatur , ct ab omni affectione Immunis aequatio ipsa . Et quamquam , delere secundum terminum, facillimum sit; non est tamen peraeque facile , subinde etiam auferre
terminum tertium , ut iterum secundus non oriatur.
Obtinet I interim id potest sequenti ratione. Sit ' abae . aac m o aequatio cubiaca, tertio termino praedita . Ponatur κ'γst e . Et quoniam habetur, tum η3 αα aac