Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

311쪽

3os 2ECTIONUM CONICA Ru Midem iste locus complicetur, tam additione, quam subtractione , cum altero ad parabolam loco v -- Λ et o i cmz t a m : a tam o 3 habebitur additione quidem locus ad ellipsim ueta: o i v -- πηλγν t o -- bηρο : a ' cma: a -dmm ea vi o 3 subtractione vero locus ad hyperbolam non aequilateram n : a --Μ 11ms: a s h : a - cme . a i dmm: a o . Quum itaque in utroque horum loco rum duae indeterminatae quantitates contianeantur ι facile quidem erit, iis mediantibus, unumquemque eorundem locorum subinde determinare, ut exhibeat, vel datam ellipsim, vel datam hyperbolam non aequi lateram. Nam , quemadmodum inde terminata vi usui nobis esse dehet, ut ellipsis , aut hyperbola datum habeat axem 3 sic indeterminata alteras inserviet nobis, ut idem ille axis ad suam rara metrum datam habeat rationem. x1. XI. Et, ne ullus supersit dubitandi Deus, Videamus primo , quomodo aequatio ad elliis psim neE: o lv ---o his: a ' cme:a' is, dmm: am o illiusmodi determinat ionem Mnes suscipere possit. Nimirum in ea ratio axis ad para metrum est aequalis ei, quam habet s ad a; tum item Ipsa axis longitudo est ab thbmm:

sus axis ; erit, tum ut a m r : I, cum

312쪽

ostendamus deinde , quomodo aequatio ad hyperbolam ME: a -υ s rasuem et oε-- emz: a ' m t a. α o eandem illam deteris minationem subire queat . Nimirum in ea ratio axis ad parametrum est aequalis et,quam

a j ipsa axis longitudo. Quare . si in data hy

quibus constructio problematis solidi fieri de-

313쪽

het, nihil obstat , quin unus quandoque sit datus. Sed, si eadem coli structio duohus datis locis pelagi vellet; id sane tantum non imis

possibile foret. Plane veto , si ellipsis, aut operbola non aquilatera deserer es e similis

dumtaxat alteri datae ; tune data etiam esse posset, vel parabola , vel circam frentia circuli , vel Θperbola aequilatera ς quandoquidem , ad adstruendam similitudinem illam, nonnisi unica quantitas inde terminata requiritur.

Dicuntur quippe duae ellipses , aut duae

hyperbolae non aequi laterae similes inter se, quotiescumque eadem in utraque est ratio a xlS ad paramet ruin . Unde, non aliud exigit quaesita illa similitudo , quam ut axis ad parametrum datam habeat rationem . Profecto autem , ope datae hujus rationis , tam in loco ad ellipsim, quam in loco ad hyperbolam non aequi lateram , dumtaxat determinatur valoriphus u . Quare, quum maneat indeterminata alia m ; lieebit, ope hujus , efficere , ut datast, vel parabola , vel circumferentia circuli, vel hyperbola aequi latera. Obiter autem notetur hoe loco velim, de similitudine sectionum conicarum fusa egisse Apollonium in libro sexto suorum coinnicorum ; S praeter des nitionem ejus similitudinis, quam ipse Apollouius ibidem assum psit, plures alias , a suhsequentibus Geome eris excogitatas , passim circumferri. Hujusmodi argumentum, velut parum utile, in nostris hisce Elementis omisimus omnino . Sed,

si de eo agendum esset, posthabitis aliorum

314쪽

definitionibus , vocarem libenter similes eoia seniones, qua ex uno, eodemque cono per plana parallela erui possunt. Ex hac veto definitio ue ultro liquet. parabolas omnes debere esse similes inter se; quum omnes , quot quot fuerint , possint per

plana parallela ex eodem cono deduci. Patetisque ctiam , tam elliptes , quam hyperbolas tunc demum eandem similitudinem sortiri. quotiescumque eadem in iis est ratio axis ad Para metrum . Nam , ob eandem istam rati nem , licebit quidem, eas eruere ex uno , eo demque cono per plana aequi distantia .

XIlI. Metelut interim , ut speciatm θος okeo ostendatur . quod si duarum ellipsium,aut ι,λ. ι. hyperholarum axes eandem habeant ratio. nem ad suas parametro S I omnino necesse sit, ιti Φ. ἁ-

ut et am diametri, quae aequaliter ad suas ot- zzz dinatas inclinantur, eandem servent rationem tin. cum parametris suis. Hunc in finem sint AM,' iam duae istae ellipses, aut hypeiholae, quae ita 1 6. quidem dispoliantur, ut habeant, tum commune centrum C , cum axes AB, ab sibi mu tuo coincidentes. Ducatur ex centro C recta quaevis CE, secans utramque earum curvarum in punctis E . & e . Tum ex punctis istis demittantur ad axes ordinatae EG, . Et quoniam in utra

que curva eadem est ratio axis ad parametrum; erit, ut rectangulum AGB ad EG quadratum , ita rectangulum υb ad et quadratum . Sed EG quadratum est ad CG quadratum, ut eg quadratum ad se quadratum. Itaque erit ordinando, ut rectangulum AGB ad

315쪽

quadratum.

Hinc erit pariter, ut C A quadratum ad CG quadratum , ita Ca quadratum ad Mquadratum ς sive etiam , ut CA ad CG , ita Ca ad in . Et permutando erit quoque , ut CA ad Ca. ita CG ad in . Sed CG est ad CD ut CE ad Ce. Quare erit ex aequali, ut C A ad Ca, ita CE ad Ce: & propterea duabus iis clinlipsibus, aut hyperbolis illud etiam accidet ,

ut omnis recta , quae ad eas ducitur ex centro

C, secetur ab ipsis in data ratione. Extendatur jam tecta CE ad partem ab teram versus F , ita ut EF , ef sint duae carunisdem curvarum diametri ; sitque porro Auordinata una diametri EF . Et quoniam, juti-

ctam in O , etiam am bisecatur in o . Quare erit am similiter ordinata una ipsus es proindeque duae diametri EF, ef aequaliter ad suas ordinatas inclinabuntur. Denique , quum in eadem ratione ipsarum CA, Ca sit, tam CE ad Ce , quam Coad Co ; proportionalia erunt quadrata , quae fiunt ex ipsis CE , CO , Ce . Co . Unde erit quoque, ut rectangulum E OF ad Co quadratum , ita rectangulum eosait Co quadratum. Sed Co quadratum est ad Ao quadratum, ut Co quadratum ad ao quadratum. Quare erit ordinando , ut rectangulum EOF ad Aoquadratum , ita rectangulum eos ad ao quadratum : S propterea diametri EF , es ad parametros suas eandem rationem habebunt.

CAP.

316쪽

ELEMENTA.

C A P. IU. Ita antiores problematum δε-lidorum conseructiones

exhibentur .

i. πν Idimus praecedenti eapite, ex eris i.

v quationibus problematum soli- .. . Ia --dorum omnes secundi generis locorum spe cies eruere licere . Inde a utem abunde liquet, M. m. constructiones eorundem problematum , tam

duabus coni sectionibus , quam circulo , S c ναctis una coni sectione peragi posse . Sed , ut ibidem innuimus , praeserendae sunt eae construα εον. ctiones, quas circulus ingreditur ἔ quum circulus in plano longe facilius describatur . quam quaelibet sectio coni. Quamquansvero cum circulo conjungi possit quaecumque sectio conica 3 non omnis tamen sectio coni,unita circulo,elegantiorem nobis suppetit problematis costructionem. Unde , quia in construendis problematibus, non modo vitandae sunt eae constructiones, quae naturae problematum consonae non sunt,

sed in id etiam sedulo incumbendum , ut faciliores , simplicioresque eligantur, illud iam oportet inquiramus , quae cani femo cum circulo sit coniungenda , ut problematig cos. structio , quoad fieri potes, elegaur oriatur. Hunc in finem meminisse oportet, facilitatem, simplicitatemque constructionis geo.

317쪽

li4 SECTIO NuM CONICARUM metricae generaliter ex duplici capite aestimari debere; primo nempe ex faciliore ratione, qua lineae, loca terminantes, describuntur, &seeundo ex simpliciore apparatu, quo opus est , pro determinatione earundem linearum. Hinc enim fit, ut sectio conica , cum circulo conjungenda , esse debeat ellipsis, si descriptionis facilitas consideretur ἔ parabola vero, si simplicior eam determinandi ratio inspiciatura

Primo squidem dubitati non potest, qu n ex conicis sectionibus ellipsis sit illa, quam paulo facilius in plano deseribere licet. Nam, ubi ad ejus descriptionem soci adhiben-

tue , describitur eadem sere facilitate , qua circulus ipse delineatur. Et deinde nec etiam in dubium verti potest, quin ex curvis omnibus , quae ex aequatione problematis solidie ruuntur, parabola sit ea . quae simplieiore apparatu determinatur. Nam liquet, ejus ae in

quationem non esse adeo compositam , quemadmodum aequationes aliarum curvarum.

Haec quum ita sint 4 duo nobis hoc capite praestanda sunt . Primo enim oportet ostendamus , qua ratione problemata solida parabola , ct circulo construantur . Deinde explieandum nobis erit, quo pacto eorundem problematum constructiones ellipsi, & circuso peragi debeant. Et quamquam , ad haec Ostendenda , exemplis primum utemur specialibus;deinceps tamen non gravabimur , ad

regulas generales rem omnem revocare.

Π. II. Ut igitur ostendamus primo loco,qua ratioπε problemata solida parabola , ct circulo

318쪽

ELEMENTA. 3IT D eousruautur , sit primum κηώ-abxx fila exi a 3d - o problematis aequatio, quae secundo termino caret. Sumpto itaque loco ad parabolam simplicissimo xx-υ - ος fiet immat. .a- methodo superius tradita xx l Fy --ay - Θ

', cx ,-- ad -- o locus ad circulum . Unde emptam.

duobus hisce locis constructio problematis est peragenda , quo parabola , di circulo comstrui possit. Sit ergo positione data recta quaevis AB. Fro. Et quoniam aequatio ad parabolam est xx D . Ο o , designandi sunt per portiones eius valores incognitae ν . Unde , erecta super ea perpendiculari AC ; fient huic aequi distantes valores alterius incognitae xi proindeque, ab . scissa ex AC portione AD - a; oportebit, eam describere , axe quidem AB, parametro vero A D. . Λd circulum vero quod attinet, quia

.actim O, invenietur centrum eius , abscimdendo ex AB, tum AE in a : a , cum EF hi a ; & capiendo super AC ad partem oppositam AG in e: a. Nam, completo deinde parallelogrammo rectangulo FG,fiet H centrum quaesitum. Radius porro eiusdem circuli est . saar

que circulus describendus erit centio H. x intervallo HI.

319쪽

iti.

sis sEGTIONUM CONICARUM Describatur itaque hujusmodi circulus. Et siquidem ex punctis, in quibus idem para,

holae occurrit , perpendiculares demittantur super AB; dabunt eae valores , quos habet incognita x in aequatione x' abis f aacn a 3d M a. Nec dubium esse pote st, quin occursus fieri debeat in totidem punctis,quot sunt valores Illi. Nam , si quaeratur aequatio, definiens eum occursum ἔ non alia nobis sese offeret, quam illa ipsa , de qua agitur , χ' a x ' aacx a 3d tin o. Qustinergo huius aequation s tres r dices sint positivae , & una negativa; fiet oecursus in quatuor punctis,quorum tria erunt in portione AX , ct unum in portione AZ.Quumque duae ex radicibus positivis possint quandoque , vel aequales fieri, vel etiam imaginariae; hine etiam est, ut ex tribus punctis, in quibus circulus secat portionem A X , duo Interdum, vel in unum eoire queant, vel nul- tibi etiam reperiri.

III. Neque veto dissicile erit , specialem

istam confructionem ad omnes casus extende re, suamq;ei universalitatem conciliare. Quae- eumque enim sit aequatio quarti gradus , secundo termino carens , per constructiones problematum primi generis , fieri semper potest, ut sit ab coessiciens tertii termini, saccoessiciens quarti, de a 3d ultimus terminus. Quare , nulla habita signorum ratione , PO- terunt aequationes omnes quarti gradus,quae secundo termino carent, exhiberi per istam

Hincisi quae mutatio facienda sit In conis

320쪽

ELEMENTA. 3I3 sttuct ionibus aliarum aequationum . ea ex di.

versitate signorum,quibus assici possunt ipsarum termini, tota proficiscitur . Quare, scuti Fiti. in allato exemplo , ubi erat abo , Portio 3 i DEP eth: a sumpta est in directum cum A Ε, sc capienda erit ad partem oppositam , quum habetur ' abis. Atque ita quoque, quemadmodum in eodem exemplo , ubi erat f oocx, portio AG αα ci a sumpta est ad partem alte- .ram rectae AC ; sic oportebit, eam sumerumper ipsa AC , quum habetur ν adcx. Nou perinde autem se res habet, si ultimus aequationis terminus a 3d fgno i affetatur . Tunc enim haud quidem ducenda erit AI ad ad plagam oppositam , sed oporte-hit, talem ei positionem tribuere, ut angulta

HIA rectus oriatur . Nec obscura est hujus rei ratio . Nam, sicuti quadratum radii circuli describendi est aequale summae quadratorum, quae fiunt ex ipsis AH, AI , quum ultimus aequationis terminus assicitur signo-; fieriusdem radii quadratum aequale fiet disserentiae eorum quadratorum, quum idem ultimus terminus signo ' assectus reperitur. Fieri autem potest,ut in *quatione non omnes ii termini reperiantur . Et tunc nullae evadunt rectae illae , quae per coeffcientes deficientium terminorum definiuntur . Sic, deficiente tertio termino abra , nulla fiet ipsi EF ἔ adeoque punctum F accedet ad E . Pariterque , deficiente quarto termino aacx, ad

nihilum reducetur ipsa AG , sive FH : unde punctum H coincidet cum puncto F . Et quoniam , quum deest ultimus terminus a 36 aequ4-