장음표시 사용
101쪽
Ponantur figurae inter paginas, o Vispertinent enim
102쪽
Ponamur hae figurae inter paginas 76. I 'VI. pertine tenim ad primampartem Lemmatis XXVI
103쪽
eonueniat. Quoniam igitur est ut AG ad A C ita Z ad Zmeae eonstructione, M ita 'K ad TY, erit K ad TY ut L ad LN Sta . . foconuertendo vi TY ad K ita Z ad Z S existente uincto interpuncta LN erit componendo, existente vero L inter ZN, erit diuidendo viam ad K ita LN ad LL, id est ita Osd Zob, dupla nempe ad duplam, S rLirsus conuertendo erit ut T ad Mita dis ad P sed K istenta est maior quam tam ergo di ammaior erit quam Et quoniam Lo tangit circulum O Qini, rectiis est enim angulus OLN ex constructiones, rectangulum Q P aequale erit sc Tινιν quadrato Lo, hoc est uadrato AI, sed eide quadrato A I aequatur &rectangulum Iti, ergo rectangula in K QO P aequa D. iis clia erunt,&ideo proportionales in Q O OP AK, sed K dis ferentia e stremarum Ostensa est maior quam P sifferentia media
rum ergo altera extremarum in Acmaxima erit, altera mini ma .sed AK non est maxima, est enim minor quam A ut demonstrauimus, ergo minima erit, Unde Oi maior erit quam A K.
F quoniam est ut AG ad AC ita Z ad Zm ex constructio ne . At ita 'FC ad X, erit Z adam ut C ad X, S conuer G. s..istendo ut m ad L ita C X ad C, S existente puncto Z inter puncta LN erit componendo, existente vero L inter Zm, erit diuidendo uti mad L ita X ad C, S rursus conuertendo erit
L ad L N. hoc est ut AE ad PQ, dupla videlicet ad duplam, illa ad I sed ostensa est maior quam C ergo S P Qquam maior erit... Et quoniam aequalia sunt rectangula Oa AX, aequalibus . i. , enim quadratis L A sunt aequalia, proportionale erunt O M.,.. σUA A X O a L sed PQ differentia extremarum ostensa est maior quam X differentia mediarum,ergo altera extremarum Oo Q hoe est ipsa P minima ' erit, S per consequens minor quam in tim. io. Cum igitur Ol minor sit quam Aa, S maior quam ut de monstrauimus. Poterita puncto A ad circumferentiam KF ducitecti ipsi O P disterentia rectarum O mi aequalis . . In semicirculis se inuicem tangentibus satis est ostendere rectam OP maiorem esse quam Am, reliquum enim, hoc es ipsam Olminorem esse quam A manifestum est. Nam cum sint aequales AC AI ut infra ecundam partem constructionis problematis demonstrauimus, S minori quam Lo ea quoque minor eritis T.=ji
quam AC, hoc est quam AJ sunt enim in huiusmodi emicirculis una eademque Linea.
104쪽
Sed si ΑΚ maior quam A F. Ergo ponitur AI non minor quam
αε. - ιι. I K, unde C maior erit quam KT, ac proinde maxinaa om- 'nium quae ad A pertingentes inter circumferentias, ΑΒ in-L..i,., teri ciuntur,mmima vero T. itaque si minor est quam C. La. s..ι id maior quam T. Et quoniam rectangulum FAX aequale est
quadrato AI, proportionales erunt FA A PAX , sed in minotest quam AI, ponitur enim A non minor quam ΑΚ, quae maior est quam AT, ex positione ergo S AI minor erit quam AX,
Et quoniam est ut AG ad AC ita Z ad Zm ex constructione, L , ἔ- δέ S ita quoque, FC ad X, erit C ad C X ut L ad N, S conuertendo ut C X ad Cit EN ad LX, existente puncto cinter L N erit componendo, existente vero L inter ZN erit diuidendo ut X ad C ita L ad Z dc per consequens ita P ad Zm , dupla videlicet ad duplam S rursiis conuertendo erit ut FG ad F Vita ZR ad PQ, sed F maior est quam tu ut demoth
strauimus, ergo δ quam in nator erit ir .r. atquoniam rectangulum FAX aequale est quadrato AI, hoc 3 c. Tιν. , est quadrato O, cui quoque aequale est S rectangultim OO, aequalia erunt rectangula FAX OQ, S ideo proportionales RAPO O J X, sed X increntia extreniarum stenta est maiori quam in disterentia mediariam, ergo altera extremarum FA AXmaici maerit, altera in una, sed AF cum sit minor quam Acut demonstrauimus, non est maxima, ergo minima erit, ct consequenter o maior quana A. Iam trans ponatur, existente puncto A in base DF, recta vi in contrarias partes, ut reliquum demonstrationis omnibus figuris con
Z ad L ita TY ad a, ct existente punctora inter N. crit componendo,existente vero L inter EN, erit diuidendo ut L N id LL, hoc est ut PQ ad Diu est enim utrobique eadem ratio, cuia sint aae illarum duplae ita , Ic ad T S conuertendo ut VI ad Piacita erit K ad K, dura ostensa est maior quam ergo de PQ maior erit quam K. 3'.T. ti . Et quoniam restangulum Oinaequale est quadrato Lo seu ος. - ς miradrato AI, cui quoque aequale cst rectangulum in Κ, aequalia ciunt rectangula P O in , in , quare proportionales P O TAAM Q. sed PQ disterentia extremarum ostenta est maior quam Ym distererentia mediarum, ergo altera extremarum P OOQ, hoc est ipsa O erit minima , 5 ideo minor quam AK. Cum itaquePO inmorsit quam AK, ei maior quam A ut demonstrauimus,potcrit a puncto A ad circumserentiam a duci recta ipsi P O diDiercntiae Icclarum MN aequalis, quod erat ostendendum.
106쪽
SEd sit AI non maior minore rectarum AF ΑΚ Rectam ipsi OP aggregato rectarum N L aequalem, posse a puncto A ad circumferentiam KF duci, sic
ctatur GKΚD, eisque parallelae a Rantur aYX secan. te ΑΚ Α con tinuatas inructis YX. Et sit primum Fminor quam Κ. Ergo Abno erit maior qua A poni tu rem ΑΙ non maior minore ip- 1arum FΑΚ. Quare Zν. ν .r Tmaior erit qnam C, S ideo maxima omnium ductarum L . 1 3 pero quae intereircumferentias K ABC interliciuntur,minima vero C, unde di data minor erit quam ΚΤ,maior aut-m quana FG. Et quoniam rectangulum AK aequale est quadrato AI, Proportionales erunt ΚΑΙ Α , sed ΑΚ maior est quam AI, ponitur enim Ad non maior quam a quae minor est quam AN, ergo S in maior erit quam Aa, S per consequens Am multo maior Transferatur autem existente A in basema recta AK ad contrarias partes, ut in praecedenti Lemmate factum est. Qiioniam agitur
107쪽
igitur ut AG ad AC ita est Z ad ZN S itam a TY e l. T ad T Y v L ad M, 5 existentem inter L L erit per coit
uersionein rationis, existente vero Z inter L N erit conuertendo componendo ac rursus conuertendo ut, ad K ita L ad LM
hoe est ita me ad PQ, dupla videlicet ad duplam, sed et ostensa est maior quam ergo M in quam PQ aior erit.
Et quoniam rectus est angulus L ex constructione, recta Lotanget circulum P LQm L, 5 propterea rectangulum in P aequale erit quadrato Lo ted 5 rectangulum AK aequale est quadrato AI, hoc est quadrato Lo, ergo duo rectangula ΑΚ QOPaequalia erunt, ac proinde proportionales in ODI A , ted Y differentia extremarum maior est quam indisterentia me. diarum ut demonstrauimus, ergo altera extremarum Y ΛΚ hoo est ipsa Λ Κ, quae ostensa est maior quam Aa maximi erit, undeo P minor quam ipsa A M. Similiter quoniam est ut AG ad AC ita L ad Zmex constructione, Scita FCad X, erit L ad N ut DC ad C X, At exi Lε sucstente puncto N inter L erit per conuersionern rationis, existente vero Z inter L N erit conuertendo S componendo di rursus conuertendo uti ad N ita C ad X, hoc estv LM ad PQ ita FG ad F X est enim eadem ratio Let ad L N, quae LM ad PM, cum sint hae illarum duplaexsed Z ostensa est maior quam Lia etTgo PQ quam FX maior erit. Et quoniam rectangulum is inaequale est quadrato Lo, hoc iam. est quadrato AI, cui quoque aequale est'& rectangulum FAX, ipsa M., .is oduo rectangula aequalia erunt, ct ideo proportionales O MAXOQ,sed Pindifferentia extremarum ostenta est maior quam X diueferentia mediarum, ergo altera extremarum in Q empe PD, maxima erit,' ideo maior quam A. Cum igitur e maior sit r. .
quam ΛF, S minor quam ΑΚ, ut demonstrauimus, poterita punia secto A ad circumferentiam Κ duci recta ipsi P aggregato rectarum MN aequalis. In semicirculis se inuicem tangentibus satis est ut recta Ol ostendatur minor quam Λ Κ, ut factum est, nam ipsam I maiorem es sequamin patet, quoniam aequales sunt Α LO, ut intra secundam partem constructionis problematis demonstratum est QOP
nuior est quam Lo, essio dirmior quam AC hoc est quam Λ F. Deinde
108쪽
maior quam Κ, unde erit quam Κπ, ac pro . a 'Omniuquae inter cir cumferetia 6
ma. Itaque dididi data manor erit qua FC,--aior qua Κ T. Et quoniam rectagulum FAX aequa Irus κε te est quadrato AI, Iroportiona
ΑPAX, sed F A maior est qua AI, ponitur enim AI non maior quam Α Κ, quae minor est quam AFη pDntione, ergo x Λ maior erit quam X, de conlequentes AF
Et quoniam est ut AG ad Ac ita Let ad Z N ex constructione, ita C 'ad CX erita ad Ccvt L ad ZN,d existente
Pusa Ninter ZL, erit per conuersionem rationis , existente vero sint L N, erit conuertendo, S coni ponendo dc rursiis con Ilei
do et C ad F vitara af LN hoc est ita πη ad P in duplavse Helicet a diiplam, sed Fc ostensa est maior quam Lye, ergo ocF maior erit quam P Tm, quoniam rectangulum P OV equales est quadrato uo, hoc est
109쪽
Est quadratoin I. cui quoque aequatur' i rectangulum in X, Le. s.πε aequalia erunt rectangula FAX O Mideo proportionales FΛPo oc X, sed F differentia extremarum ostensa est maior quam PQ differentia mediarum,ergo altera extrea arum, ipsa videiieeta Α, quae ostensa est maior quam A X, maxima erit undetiis P minor quam ΑΤ. Similitet existente puncto A in basem F, transponatur Am in partes contrarias propter iam dictam causam. Quoniana igitur est ut AG ad AC ita Z ad m, S ita T ad a, erit L ad Z Nseu Κ ad a, existente puncto, inter L erit per con
uersionem rationis,eXistente veri inter N erit conuertendo.
componendin iursu conuertendo vim ad UN hoe est utra ad PQ dupla videlicet ad duplam, ira T ad Κ, sed Z p. ma ioc est quam ΚT, ut demonstrauimus,ergo Mi suam n ma
Postremo quonia aequalia sunt rectangula PD Y Aa, utrun que enim aequale est Quadrato Lo, vel quadrato AI, proportio νι ris . naiecerunt O TMA O in sed PQ disterentia exrremarum ..s..ισostensa est maior quam Κ disterentia mediarum, ergo altera extrematum ipsa videlicet 'o maxima ' erit, consequenter maior 1- ,.quam ΑΚ. Cum itaque o maior sit quam ΛΚ, minor auteniquam Al vi demonstrauimus, poterita puncto A ad circumsereniatiam in duci recta ipsi P aggregato rectarum MN L aequalia,quod ostendisse oportuit.
IAmst AI maior minore rectarum A A minor au
tem maiore,quod quidem accidit in nonnullis semici culis se inuicem secantibus . Ostendendum est igitur, re clam ipsi PO siue differentiae siue aggregato rectaru NN aequalem, posse a puucto A ad circumferentiam KF duci, dummodo di data non sit maior minore rect rum K TFC.
Iungantur KAED, Mquibus parallelae ducantur CY X, secantes ΑΚ Λ continuatas in pun YX, dc a puncto A ad punctum sectionis semicir-
110쪽
eulorum, quod sit , ducaturin M. Ergo ut AG ad AC ita erit quadratum ΑΚ ad quadratum AM, sed ut AG ad AC ita est quadratum ΑΚ ad qua sdratum I ergo recta aequalis erit rectae Α vel L. Primum ira tui fiatio differentia rectarum ON Ni ea minor erit quam O lioeest quam ΑΜ, reliquum igitur est ut ipsa O ostendatur non minor minore rectarum AP ΑΚ id autem sic fiet. . Sit primum A minor quam AK. Quoniam igitur ut AG ad M./O AC ita est L ad Z N ex constructione, S ita IC ad C X, erit FG ad Qx vi L Z ad Zm S exist ente N inter Z L erit per conuersionem rationis , existente vero Z inter L N erit conuertendo componendoque acriu sus conuertendo ut FG ad F Vita Zi ad LN hoc est ita ZR ad P dupla videlicet ad duplamae FC maior est quam Z vel ei aeqhialis, ponitur enim' non malo minore rectarum Κ FC, ergo S a X quam P maior era, ves ipsi inaequali . ὀν/.6 Et quoniam rectangulum in aequale est quadrato AI, pr portionales erunt A AI A X, sed F nainor est quam AI, ponitur enim A maior minore rectaram AF ΑΚ, hoc est maior quam AF, ergo de A minor erit quam AX, unde A multo minor. Et quoniam O tangit circulum P L mi rectangulum P D. r in aequale erit quadrato O, seu quadrato AI, cui quoque aequales est rectangulum Finx, ergo rectanguliam I X aequale erit rectangulo POQ. Vt igitur Mad Ο ita erit Od ad A X, sed F X differentia extremarum ostensa est maior quam inlisserentia mediarum, vel ei aequalis ergo si sit maior, altera extremarum FAX, hoc est ipsa in quae ostensa est minor quam Aa, minima erit; χ m o v les maior erit quam A, hoc est malo minore rectarum AP ΑΚ. Si vero X sit aequalis ipsi P minor extremarum, L. m. r. nempe AF minori mediarum hoc est ipsi P aequalis erit. Deinde sit A maior quam ΛΚ Transponatur autem in semicirculis in quibus punctum A existit in basem recta AK in cotrarias partes,ut factum est in praecedentibus. Quoniam igitur ut
RG ad AC ita est L ad Zm ex constructiones, cita ad T Y erit; ad c uti ad Z o conuertendo ut TS ad K ita Z ad divi existente ructo Vinter L N erit Ompinnendo