장음표시 사용
91쪽
quar maiore rectarum A A S ipla A intercipitur Constat igitur rectam ipsi DP, sitie differentiae, siue aggregato rectarum L NN aequalem, postea puncto A ad circumferentiam KF duci, quod
R Ursus sit AI minor maiore rectarum A AK,maiqr
autem minore Seda data inaior sit minore recta rum Κ FC. Manifestum es igitur, rectam ipsi δι aequalem posse aptari inter circumferentias semicirculorum ex una tantam parte minimae, hoc est inter circumferentias quae minimaec maxima Intercipiuntur. Itaque ostenden dum est quod a puncto A ad eam circumferentiae KF partem, quae minima S maxima intercipitur, poterit duci recta aequalis LP differentiae quidem rectarum LN 'si altera ex rectis AF AK ea scilice quae contermina est maxima:)minor fuerit quam reliqua, aggregat Vςr
Sit primu FC maior qui in UT, ergo recta ipsa ZR 'qualis poterit aptari inter circularentias M OC tantum, inter circularentias en in KM O aptarino potest quia ponitur ni maior minore rectarum K FC, hoc est maior ipsa Κ quae maxima ' est omnium ducta rum per A qua inter circumferentias KM O interliciuntur. .is Primum igitur si ea scilicet quae contermina est maxima Lamis a. Fc minor quam Am. Ergo ex iussu Lemmatis S praecepti quarti fiat LP differentia rectarum LN Nb ea erit minorqtiam Lb, hoc est quam AM, sunt enim aequales L AM ex constructione. Iungan-Dj0it 2
92쪽
Iungantur autem Κ ΚD, eisque parallela ducantur CY YX secantes Da continuatas in punctis Y X, S duplicetur L Nin R. Quoniam igitur est ut AG ad A C ita Z ad Z ex constructione, & ita C ad C X, erita ad X, sicut L Z ad Z N,&existente puncto minter Z erit per conuersionem rationis, existente vero Z inter L M, erit conuertendo cdmponendo, rursus conuertendo ut C ad F vitai ad N S ita ZR ad LR, dupla videlicet ad duplam, sed F cum sit maior quam ΚΤ, S: ideo omnium maxima, maior est quam tabe, ponitur enim Z, minor maxima , ergo S a X quam a maior erit. M.f.ε ε Et quoniam rectangulum P X aequale ' est quadrato AI, pr portionales erunta Α Α X, sed F A minor est quam AI, poniatur enim ΑΙ maior minore rectarum Α ΛΚ, ergo M AI minor erit quam ΑX, unde A multo minor. c.Tm Et quoniam rectangulum L aoc est LP Raequatur quadra-L..,..ιιt L hoc est quadrato AI, cui quoque aequatur S rectangulum FAX, aequalia erunt rectangula A XLUR, S ideo proportionales A LP P. X, sed F composita ex extremis ostensa est
maior quam L composita ex med ijs ergo altera extremarum FAramo. A X minima erit, altera maxima, edua, cum sit ostensa minor quam xx, non est maxima ergo minima crit S ideo Li maior quam A. Cum igitur L maior sit quam AF S minor quam Α M ut demonstrauimus, poterit a puncto A ad circumferentiam FM, hoc est ad eam circumferentiae KF partem, quae minima, cmaxima intercipitur, duci recta ipsi LP disterentiae rectarum LN N aequaliS. Deinde sit Aa contermina maximaea Cymaior quam AN E go ex iussu Lemmatis fiat L P aggregatum rectarum LN Ni erit l. Trei igitur LP maior quam b, hoc est, quam A M. Et quoniam ut AG ad AC ita est L Z ad Z N ex constructione, L.. r.ei vicita quoque C ad X, erit C ad C X vi cadam, de conuertendo ut C ad F C, ita Z ad Laut existente inter
93쪽
ita Z ad LN, Mitara' ad R. dupla videlicet ad dii plana, sed FC, cum sit maior quam T, ob id sinitium maxima, maior est quam Z, ponitur enim tam minor maxima ergo S a maior erit quam LM. Et quoniam rectangulum FAX aequale est quadrato AI, erit ut
P ad AI ita AI ad xx. sed in maior est quam AI, ponitur
enim A minor maiore reclarum Λ ΑΚ, ergo de A I maior erit quam ΑX, atque adeo A multo maior. Et quoniam rectangulum L hoc est LP aequale est quadrato Lb hoc est quadrato Ad cui quoque aequatur M reclanguis ιlum FAX, aequalia erunt rectangula FAX PR, quare proportionales a L P. X. sed F composita ex extremis ostensa rc Sextia est maior quam Lacomposita ex medi)s ergo altera extremarum LMms. FA AX maxima erit, altera minimaue ted AF, cum sit maior quam A X et demonstrauimus, non est minima ,ergo maxima erit,undeLP minor erit quam in Cum igitur LP minor sit quam AF S maior quam Amut demonstrauimus, poterita puncto A ad circum. ferentiam FM, hoc est ad partem circumferentiae, F qnae minima
5 maxima intercipitur, duci recta ipsi LP aggregato rectarum LN N aequalis.
94쪽
Sed sit ΚΤ maior quam FC ergo recta ipsi aequalis poterit aptari inter circumferentias K Ma tantum, Sit primum ΑΚ contermina maximae T)minor quam AF Ergo ex iussu Lemmatis fiat LP differentia rectarum LN Ni ea minor erit quam Lb hoc est quam A M. Iam transferatur Acad contrarias partes in semicirculis in quia hus punctum in basem F existit. Quoniam igitur est ut AG ad Le. r.εt AC ita L ad LN ex constructione, M ita quoquem ad T T. erit K ad T Y ut et ad Zm, S conuertendo,ut T Y ad K cita Z ad LL, S existentes interm Z erit diuidendo, existente v ro inter L N erit componendo vi K ad T ita L ad Z, ωrursus conuertendo ut DT ad Y cita erit L ad N S ita quoque Z N ad DR dupla videlicet ad duplam, sed KT, cum sit
maior quam C S per consequens omniumaxima, maior est quam Trat, ponitur enim Lye minor maxima , ergo Κ maior iit
t..s..t Et quoniam rectangulum AK aequale est quadrato AI, pr portionales erunt Α Κ AI A te ΑΚ minor est quam At, ponitur enim ΑΙ maior minore rectarum A AK, ergo S AI Nnor erit quam Aa,unde A multo minor. Et quoniam ostensum est rectangulum L in hoc est rectanFulum P R, aequale quadrato L , seu quadrato AI, cui quoque L . . t aequale' est S rectangulsi ΛΚ, erunt aequalia rectangula in KL P ideo proportionales in L P ' AN, led Ym compo
sita ex extremis ostenta est maior quam La composita ex med ijs,er- L m ' no altera extrema run erit minima, altera maxmia, sed
AK non est maxima, quia ostensa est minor quam Aa, ergo erit minima, S ideo 'maior quam ΑΚ. Cuna itaque L P maior sit quam AK, 5 minor quam AM test ostensum, poterita Iuncto
95쪽
ad circΔmferentiam M, hoc est ad circumserentiara partem quae minima maxima intercipitur, duci recta si Lindifferentiae rectarum LN N aequalis. Deinde sit AK contermina maximae T.)maior quam F. Ergo fiat L aggregatum rectarum LN Nb. Constat igitur rectam LP maiorem esse quam L laoc est quam A M.
Et quoniam est ut G ad A C ita cadam, cita T ad T Y, erit vi K ad Tacita Let ad Z N, ct existentem inter LL,
erit per conuersionem rationis, existente veto: inter L N, erit conuertendo S componendo S rursus conuertendo vi K ad Ym ita
L ad LN, hoc est ita ZR ad R dupla videlicet ad duplam, sed ς ostensa est maior quam ne, ergo S a quam L maior
Et quoniam rectangit lima YAK aequale est quadrato A pro Le. s. portionales erunt K AI Aa, sed Am maior est quam A I ponitur enim A minor maiore rectarum A AK, ergo S in maior erit quam Aa, S consequenter multo maior. Postremo quoniam rectanguliuni inlaoc est L P R. aequale est quadrato Li, seu quadrato AI, cui quoque aequatur S rectangulum in , aequalia crunt rectangula PR,, ideo proportionales Y L P AK, scd Y composita ex extremis ostensa est maior quam La composita ex me dijs ergo altera extremarum erit maxima, altera minima, sed vi, cum sit Lιm. ostensa maior quam Aa, non est minima ergo maxima erit, unde 'minor quam Κ. Cum itaque inniano sit quam Α Κ, Mnaaior quam AM ut demonstrauitariis, poterita puncto A ad circumferentiam M, hoc est ad circumferentia: Κά partem, quae minima S maxima intercipitur, duci recta ipsi P aggregato rectarum LN Ni aequatis, quod erat ostendendum
Sequitur fecunda pars constructionis roblematis
96쪽
Deinde, Vel ex eadem parte existant dati duo semicirculi ABCDEF. Vel punctum A sit in bale semicirculi DF, sit in 1 cmicirculis quorum alter in altero includitur, FG non maior quam Am, in oppositis vero , qui te inuicem non lecant etiam si compleantur, si non minor, in reliquis quomodocunque. Atque tangentium se . inuicem claricirculorum sit contactus in puncto C, oporteat inter circum serviatias ABC KF ponere rectam lineam aequalem civdatae, ita ut ad punctum A pertingat Sumatur G aequalis C, dc
secctur: iu bifarim in L S fiat ut AG ad AC ita quadratum AK ad quadratum I. Similiter fiat ut AG ad AC ita Z ad
in in rectam LN ducatur perpendicu I. uis O aequalis vero rectae Al, ct conectatur O, SI centro minteruallo Ni disterentia, vel aggrcgato ip arum; Z, di Grentra quidem si punctum sit in Niselemicirculi Di, aggregato vero si cxtra circulus descri-hatair lecans ON continuatam in punctis PM , S a puncto A ad circunt fercntiam KF ducatur AE aequalis ipsi Ol disterentiae, vel aggregato ipsarum ON L. Quo autem alii O fiat disterentia, quoue aggregatum, infra dicemus, dem de sequentibus Lemniaribus demonstrabimus eam rectam posse duci. Producta denique ubi opus exigit recta AE tque ad circumferentiam ABC in v recta EB problema eniciet. Secet enim Ba etiam producta semicircuIum D PF, aut circu Iuni completum iam, S conectatur GH, cui parallela agatur Cri E-cans E H, vel ei continuatae occiarrens in . Quoniam igitur rectus est angulus L N. recta O tanget circulum P Laia , undetrectangulum o equale erit quadrato Lo, hoc est quadrato A sed de rectangulum AS aequale est quadrato AI, ergo t., erunt rectangula O SAS, sed aequales sunt ZO E A ex
conitructione, ergo in , aequales erunt; quare per additi nem vel subductionem aequalium aequalibus erunt aequale S PQ ES.
Et quoniam est ut AG ad AC ita Z ad Z N ex constructione, Mita ' quoque Et ad BS, erit Et adiri ut L ad LN, de existente
puncto D inter puncta S E , erit conuertendo S componendo, exi stante vero E inter B erit conuertendo S diuidendo, existente denique S inter EB, erit per conuersionem rationis, S conuertendo
viri ad Bitas madia, hoc est ita P ad 33, est iam ea dem ratio dupli ad duplum. quet simpli ad simplum, sed Si ostensa est aequalis ipsi PQ, ergo S EB pli tam aequalis erit. Posita est igitur inter circuiti ferentias semicirculorum recta EB aequalis Zmdatae, eaque ad punctum A pertingit, quod facere oportcbat.
In semuirculis qui se inuicem tangunt, aviscant etiam com
99쪽
phi facilius inuenitur quadratum AP, ut etiam pomLemma quintum cI sextum ostendimus. Nam in secantibus,a puncto ad punctum sectionis, quod sit , duelares ta linea M. erit et AG ad AC ita quadratum Acad quadratum M ergo quadratum AI quadrato A aequale erat. In tangentibus vero quadratum I aequale ess quadrato AC. Nam cum rectangulum Ain aequale sit quadrato Aa, pro . , 'teportionales sunt tres rediae lineae G AX AC. Vt igitur AGH, ad C, prima idelicet ad tertiam, ita erIt quadratumsecuu a..s.xιi.d AL ad quadratum C tertiae.
πιο autem casulae fiat differentia recturum OPONI,
quove aggregatum, ratio his conflat praeceptis. PRAECEPTVM .
SI A non sit minor maiorercinarium Α ΑΚ, fiat OP
disserentia rectarum ON L PRAEC EP Tt M M. SI vero AI non sit maior minore rei talum AP AK, fiat OP aggregatum ipsarum G N L. PRAECEPTUM ILCEd si Al maior sit minore cetarum AF ΑΚ, minor autem maiores, quod quidem accidit in quibusdam se amicirculis se inuicem secantibus fiat O siue disterentia,s,ie aggregatum recharum N L, dummodo Z Ndata non sit maior minore rectarum T C. Atque hoc casu recta ipsi Zi aequali poterit aptari inter circumferentias semicirculor tim ex utraque partes cetionis, ideo duobus modis Problema abs , tui. Nam si OP fiat disterentia, aptabitur ea re sta inter circuserentias semicirculorum
100쪽
quae puncto sectionis&minore rectarum A A etiam producta intercipiuntur. Si vero OP fiat aggregatum, aptabitur ca recta inter circumferentias semicirculorum, quae punctos cetionis&maiore rcetarum ADA etiam producta terminantur. PRAECEPTUM ILI. autem y edata maior sit minore rectarum T C. Recta ipsi aequalis poterit aptari inter circumferentia semicirculo tum ex una tantum parte se&ionis, hocellinter circumferentias, quae maxima , puncto se chionis terminantur. Itaque si alterutra rcctarum Alim, ea scilicet qhaae contermina est maximae, hoc est maiori rectarum ΚT C, minor fuerit quam ch qua, fiat OP differentia rectarum O N NI, in maior, fiat aggregatima.
SIt igitur At non minor maiorere istarum Α ΑΚ. Recham ipsi OP differentiae rectarum N L aequalem
posse a punisto A ad circumferentiam KF duci demonstrabimus hoc modo. Ima antur K ΚD, quibus parallela agantur CY X secatites Au , coiuintiatas in punctis Y X. Et sit pyimu V
quam AK. Frgo ponituris non minor quam rior erit quam FC Ac ideo maxima omnium quae ter circunuc μ' '' rentias K ABC interliciuntur, minima vero C, unde δι δ' la minor erit quam maior autem quam TC. D quoniam rectangulum incaeo uale est quadrato ' pro'
portionales erunt ΑΚ Α YA, sed A minor est quan et nitur enim , non minor quam A quae maior est Tiam ' istgo S A mn or erit quam WA, S per consequens Am multo minor. Transferatur autem existente puncto A in bale in contrarias Partes,ut una eademque demonstratio omni ou Vc ,