장음표시 사용
71쪽
5 multo minor quam AS,Ostenta est enim A, maior quam Quatuor igitur proportion liun . AE AN A GA minuatae r . ΑΕ, maxima Α S undera E maior erit quam QN. Atque hoe , --
Denique in utroque casu quoniam est ut AG ad AC ita Np,- Pri&ita EB ad S, erit NPad PQ ut E BS, S existentem in tera erit conuertendo&componendo, existente vero Uinter Brierit conuertendo&diuidendo,at existente Scinter B erit per coit iter sonem rati ni conuertendo, ut N ad Ni ita S E ad ps sed minor est Q quam SE Vt demonstrauimus,ergo A NPqitan mino erit Piopinquior igitur minimae minor est remotiore. quod postremo loco erat de monitiandum.
O M I. Anifestum est igitur AK maximam esse omnium, quae inter circumferentias KM AO interij ciuntur. Ostensum est enim propinquiorem ipsi O remotiore ex eadem parte minorem esse, sed A remotissima est omnium, ergo maxima. COROLLARIUM II. Imiliter manifestum est Famaximam esse omnium qu ς Im ter circumferentias M OC interij ciuntur . Cum enim propinquior ipsi Moeremotiore ex eadem parte ostensa sit minor, ipsa FC quae remotissima est omnium,
PROBLEMA.s Atis duobus semicirculis in directum bases habenti-
tibus. Inter eorum circumferentia ponere rectam
lineam magnitudine datam quae ad unius semicirculorum angulum per imgat. Oportet autem eam magnitudine datam non esse maiorem maxima rectarum linearum,quae ad ipsum angulum
72쪽
pertingentes lirier circuπὶ serentias interi ciuntur, neque
minorem minima. Qua autem sit maxima, quaevo Piu
ma, iam cst demonstratum. i it: ti Sint clati duo semicirculi ABC DEF in dilectit ira bases habe lites
AC Da, data autem rccta inca rasu, b ducatur contingens semicirculunam EF in , si punctum A sit extra basim enucircusi DF, silveto sit in ipsa laa seducatur in perpendiculatas in Daciccans circumserentianam EF in K. Opoitu triue cuculuserentias ABC F ponere rectam Lilis an aequaleii dira datae, ita ut ad punctum A pertingat oportebit autem piani tu nota esse in irca maxima rectarum, quae ad punctum A pertingentes inter citctim scicutias ABC F inter j citantur, neque minorem mi
Primum existantsemicirculi, veI.ex opposito,vel alter in altero ii elusus, neuter vero alterum angat, aut secet etiamsi compleantur. Et sit, ubi alter includitur, C maior quam AD, InoppositaSverinexistente puncto A in base DF, suminor, existente enim extra, si Lquomodocunque Producatur ad circumferentiam ABC iii T. Si igit ut rati data sit aequalis maximae, factum iam erit quod pro ponebatur, etenim maxima est ea, quae maior est rectarum ΚT FC. Si vero dira sit aequalis minimae, minimaque sit ea quae latinor est ipsarum T DC, itidem factuin erit quod proponebatur. Sin ipsarum minor non sit minima, inuenta minima, problemati satisfiet Uu modo autem inuenienda sit minima vide Lemmata I 6.dceto. Sed si dira minor sit maxima maior autem minima ponatur ex centro Ci
culi EF, quod it , recta G aequalis ipsi V C, ML di tecetur bifariam in , di fiat ut A G ad AC ita 1 dratum A K ad qua dratum AL Similiter ut AG ad AC ita nat L ad AN. Et existente puncto A extra basim semicirculi DF , fiat L differentia rectarum L L M, existente vero in ipsa bale, sitati earundem aggregatum. In ipsa autem LN describatur semicirculus, in quo a C- conri detur recta L aequalis A Lest enim A minor quam Nut sequenti Len ate monstrabimus,& iungatur Nb, S centro interuallo N describatur circulus, quem LN producta secet in punctis PQ sca puncto A ad circuiraferciuiam KF ducatur a ipsi P
disterentiae vel aggregato rectarum L MN aequalin. Quo autem casu LP fiat differentia, quove aggregatum, post sequensa, emma praecepta ponemus ac inde ij quae Equuntur Lemmatibus demonstrabimus eam recta posse duci. Producta denique ubi opus exigit Aiad circumferentiain ABC in B, facta erit problena alis constructi Secet enim B, Aetiam producta semicirculum D EF, aut circuluna
com2lctum in N, conectatur GH, cui parallelad catur CS ς
75쪽
cans Era, vel cicontinuata occilrrens in S,&d in licetiaret Nin
utioniana igitur aequales iunt mm R, d aequales quoqtie Q i', erunt per aequali uni aequalibus additioneni, veluti bductionem aequales S L R P. Et quoniam L G tangit circulum P ba Ini , angulus enim Lb in semicirculo rectus est , rectangulum L QCauale eii Ic.TU quadrato L , sed S rectangulum' Α S aequatur quadrato A Ihoc est b, ergo aequalia erunt rectangula E AMPLO. sed E A qaequalis est L ex construtione,ergo dc As aequalis crit LG, hoc est ipsi δε ostensae sunt enim aequales rara . Quare tota Stoti LM aequaliS erit. Postremo quoniam est, AG ad AC ita L ad Z Nex construction de ita quoque I ad B S, erit m adici ut Let ad Zm t. , S: existente puncto B inter puncta E erit conuertendo S compo O ..... nendo, existente vero E inter B, erit conuertendo S diuidendo a texistente S inter EB, erit per conuersionem rationis, S conuertendo vi Si ad Em, iram L ad Let, laoc est ita DR ad Lini est enim eadem ratio dupli ad duplum quae sempli ad simplum, sed ST prima osteia est aequalis . tertiae, ergo S E secuda quartae aequalis erit Posita est igitur inter circumferentia ABC KF recta linea EB aequalis datae,eaque ad punctum A Pertingit, quod erat fa
vero rectam AI minorem esse quam L Ucu
Iungantur GK D, quibus parallela ducantur CY X secantes AK continuatas in punctis YX, dc duplicetur L N in R, SI
sit primu C minima omni uni, quae per A ductae inter circumferentias emicirculorum intelliciuntur. Quoniam igitur rectangulum A aequale est quadrato AI, erunt proportionales RA ADL-, AX. Unde composita ex extremis non erit minor mediae duplo, hoc σαε. .eit L non erit minor quam x dupla
Et quoniam est, AG ad AC ita Vadam ex constructione it quoque DC ad C X erit FG ad G uti ad Zm , e
exutente puncto C inter F X, erit conuertendo S componendo B rurius conuertendo, existente vero F inter C erit conuertendo cluidendoque S iterum conuertendo,at existente, intera erit
76쪽
citi pla, ut demonii rauimus, ergo S in dupla mitior erit quam DR, F per Onicquens A sutipla niuror quam L N, quae est emaidia ip-
Deinde sit ΚΤ omnium minima. Eadem ratione, quonianar L s. ειε angulum AK aequatur quadrato AI, erunt proportionales β M Y Α ΑΙ ΑΚ, quare Κ composita ex extremis non erit minor quamin dupla. La.s.εν Et quoniam est ut AG ad AC ita 'UT ad Y S ita quoque L ad Z ex constructione, erit T ad T Y ut L ad LN,i existentes interam, erit conuertendo dc componendo ac etiam conuertendo, istente vero L inter erit conuertendo de diu, dendo de rursus conuertendo, at existentem inter L Z erit perconuersionem rationis vim ad Y ita L ad N hoc est ita Zad LR, dupla videlicet ad duplam. Sed ΚT, cum sit minima, minor est quam ' ponitur enim se maior minima, Ergo S K minor erit quam L R. IELYΚ ostensa est non minor quam AI dupla, ergo dc A dupla minor erit quam LR, S per consequens AIs impla minor quam L N, dimidia videlicet ipsius L R. Denique
77쪽
Denique neutra rectarum K a C sit minima sed alia quaedam, utpote ΜΟ, quae producta secet semicirculum D EF, aut circulum completum in H dc iungatur Gm, cui parallela ducatur Moccurrens A continuatae in . Rectangulum igitur AS aequale M incerit quadrato AI, S ideo proportionales eruiit A AI AS, qu rem S composita ex extremis non erit minor quam Aldupla. Et quoniam est ut AG ad AC ita MO ad S, dc ita quoque L ad Zm ex constructione, erit MD ad Ori ad Z N. Stexistentes interm S, erit conuertendo componendoque, di rursus conuertendo,existente vero M inter OS, erit conuertendo, bc diuidendo, ac rursus conuertendo, at cxiitente S interio erit per co i
uersionem rationis ut G ad Scit L ad L M, id est ita dirua LR, dupla videlicet ad duplam. Sed MO, cum sit minima minor est quam Zm ergo dc minor erit quam Li . ted ostenta est MS non m nor quam Idupla ergo i pia Ari uti pia muror erit quam R. consequenter Al simpla minor quam LN, hoc est quam dimidia ipsius L R. Quocunque igitur ealii recta Annamoeest quam N, quod erat dei non strandum.
78쪽
SI AI non sit minor maiore rectarum A AK, sat Lindisterentia rectarum LN NM. PRAECEPTUM II. SI vero AI non sit maior minore rectarum AF Κ, fata aggregatum rectarum LN b PRAECEPTVM III. SEdsi AI minor sit maiore rectarum AF ΑΚ, maior
autem minore, fati P siue differentia,sive aggregatum rectarum LN b, dummodo Zyt data neutra rect rum ΚΤ FC sit maior. Atque hoc casia recta ipsi Z aequa lis poterit aptari inter circumferentias semicirculorum ex utraque parte minimae, S ideo duobus modis Problema absolui. Nam si L fiat differentia, aptabitur ea recta in ter circumferentias semicirculorum quae minima, ea quae minor est rectarum ARA etiam producta terminantur. Si vero LP fiat aggregatum, aptabitur ea recta inter circumferentias semicirculorum , quae minima ea quae maior est rectarum A A etiam producta
PRAECEPTVM IIII: I autem Z di data maior sit minore rectarum ΚΤ F
recta, ipsi ZR aequalis, poterit aptari inter circumferentias semicirculorum ex una tantam parte minimae, id est inter circumferentia quae minima,& maxima intercia
piuntur. Ergo si alterutra rectarum A RA , ea scilicet quae contermina est mmmae, hoc est maiori rectarum
79쪽
RTAEC, minor fuerit quam reliqua, fiat LP differentia rectarum LN NK in maior fiat aggregatum.
tat igitur Arnon minor maiore rectarum A ΑΚ. Rectam ipsi LP disserentiae rectarum LN ba qualem, posse a puncto A ad circumferentiam DF duci, sic
RP,aequa Ἀ- libus enim L N addita sunt aequales QNP, quare rectangulum P L equale erit rectangulo LPR. sed rectangulum L aequale est quadrato Lb circulum enim P b angit L in b,quoniam rectus est angulus Lb N in semicirculo; Ergo&rectangulum L ZR aequale erit quadrato L . Primum igitur sitis maior quam A Κ, Ergo cumra Inon sit minor quam ΑF, ea enim ponitur non minor maiore rectarum AFAK, erit KT maior quam C Sc ideo maxima omnium quae per Tein ννοῦ uir Minter circumserentias I ADC interliciuntur, ipsa ct r. 'erOxh miruma, unde Z, data minor erit quam maior s. quam FC, ea enim ponitur minor maxima maior autem minima 'Quoniam igitur est ut AG ad A C ita Let ad Zm ex constructione, denara C ad X, erit L ad ZN ut FG ad C X, S con L..,..ις hi uertendo
80쪽
erit diui- dedo, exi stente vero Z inter LN erit
ει rursus conuertendo ut L ad LN hoc est, ut Z N ad R. Est enim eadem ratio dupli ad duplum, quae simpli ad simplum ita erit FG ad F X, edet hostensa est maior quam PC, ergo S quam
Et quoniam rectangulum LI R. ostensum est aequaI quadrato L. 3 b hoc est quadrato AI, cui quoque aequale est rectanguluma .3 i. FA X, aequalia erunt rectangula L 'R PAX S ideo proportionales LPFAΑXPR, sed c composita ex extremis ostensa est L.m.s maior qui F X composita ex med ijs, ergo altera extremarum LP P minima erit, sed LP minor est quam PR, sunt enim aequales L ex constructione, Ergo ipsa DP minima erit, ter consequens minor quam A F. Ut autem reliqua demonstrationis pars utrique figurae conueniat, transferatur in se circulis in quibus punctum A existit in baseus recta AM ad contrarias partes, ita viam sit composita ex A N ΛΚ Quoniam igitur est ut AG ad AC ita Z ad Nex constructione, S ita AE ad T Y erit K T ad a vi L ad ZN S conuertendo vi TY ad KTita N ad Z N existente puncto L inter ZN erit diuidendo, existente vero Z inter N, erit componendo via K ad K ita L ad Z idestita L ad Z , dupla videlicet ad duplam S rursus conuertendo ut Tad Ym ita erit Z di ad L R, sed K ostensa est major quan Ergo quam δε maior erit. Et quoniam rectangulum Y AK aequale est quadrato AI, proportionales erunt AK AI Aa, sed AK minor est quam AI, ponitur enim At non minor maiore rectarum A AK, hoc est noli minor quam AF, Ergo S in I minor erit quam Aa, α per Onsequens