장음표시 사용
81쪽
sequens ΑΓ multo minor. Et quoniam rectangulum L P ostensum est aequale quadrato Lb hoc est quadrato AI, cui quoque aequalerest rectangulum G.,.ocY cerunt rectangula ΑΚ ZR aequalia,& ideo proportio a Mara. nales in L P Sed YΚ compolita ex extremis ostensa est maior quam L composita ex medijs,ergo altera extremarum Y L .f. ΑΚ erit maxima, altera minima, sed Λ Κ non est maxima, quia ostensa est minor quam Aa, ergo minima erit, de ideo L P quam AK maior. Cum itaque L maior sit quam ΑΚ, 5 minor quam AF, poterit a puncto A ad circumferentiam Κ duci recta ipsi LP disterentiae rectarum LN N aequalis. Sed maiore ipsarum A ΑΚ, quare maior erit quam ac Lam. ro. proinde maxima omnium , quae ad punctum pertingentes inter' circumferentias KI AB C interjjciuntur minima vero ΚT, unde: πη data minor erit quam PC, maior autem quam Κ T. Quoniam igitur est, ut AG ad A ita L ad Zm ex constructione, S ita quoque DC ad C X, erit FG ad C X ut Let ad Z N M., σ& conuertendo vim ad C ita Z ad L Z, existente Uinter C X erit diuidendo,existente vero C inter X erit componet do ut T ad Fc ita LN ad L Z S ita δε ad Z ' dupla vide- Iicet ad duplam de rursus conuertendo via ad F vita erit ad DR sed Fc maior est quam Zete, ut demonstrauimus, ergo MFX quam L maior erit. Et quoniam rectangillum FAX aequale est quadrato AI,pro M.f.nc portionales erunt FA APAX, sed F minor est Quam ΑΙ ponitur enim AI non minor maiore rectarum Λ ΑΚ, noc est nominor quam ΑΚ, ergo ocin I minor erit quam ΑX, atque adeo A
Et quoniam rectangulum L Ρ ostensum est aequale quadrato Lb hoc est quadrato AI, cui quoque aequatur S rectangulum La. ι.εις
82쪽
COnν osita ex extre inis ostensa est maiorinitam L composita ex mediis ergo altera extremarum UA A erit in axima, altera mini nia, sed A non est maxima, quia Ostensa est minor quam A X, ergo minima erit,& ideo LP maior quam A F. Aequiae quoniam est ut AG ad AC ita Z ad Zm ex constru ctione, M ita Κ Tad Y eriti ad Z v K ad TY,5 coi uertendo viam ad L Zita TV ad T S existente L inter Z N. erit diuidendo, existente vero Z inter N erit componendo , ut L ad L. hoe est uti R. ad Zoe, dupla videlicet ad duplam ita Y ad T S rursus conuertendo ut tu ad Li ita erit K ad YΚ, sed ' ostensa est maior quam Kr, ergo R. maior erit quam M. Et quoniam rectangulum P Rostensum est aequale quadrato Lb hoc est AH, cui aequale est rectangulum AK, et unt/σ.Soxii aequalia rectangula LP T AK,5 ideo proportionales in P WAAK PR, sed LR composita ex extremis ostensa est maior quam Ym composita ex medijs , ergo altera extremarum i R in iram s. ara erit, a tera maxima, sed L 'non est maximi, et enim minor quam Pl hoc est quam Q. ergo minima erit , ideo ni inor qua in A K. Cum igitur DP minor sit quam AM S maior quam AF, ut demonstraurinus, poterita puncto A ad circumferentiam
KF duci recta ipsi LP differenuae restarum LN Ni aequalis, quod
83쪽
SEd sit A non maior minore rectarum Ai ΑΚ Rectam ipsi LP aggregato rectarum LN N aequa- leni posse puncto A ad circumferentiam KF ducj, ita
R. Ergo aequales erunt ab aequalibus enim LN MahIatae sunt aequales Q P, quare rectangulum P LQ. aequale erit rectangulo LPR l ed rectangulum Lia aequale est quadrato Lb, recta enim L tangit circulum P b Q in b, quia rectus est angulus Ll, in semicirculo ergo S rectangulum L P aequale erit quadrato Lb. Sit primum AI minor quam xx, ergo cum sit A non maior quam AF, ea enim poniturno maior minore rectarum A AK erit KT maior quam C, unde ipsam 'maxima erit omnium duis Lem. νιοῦctarum per A quae inter circumferentias FABC interi jciuntur, minima vero PQ Itaque Lye data minor erit quam DT, maior 'quam FG. Quoniam igitur est ut AG ad AC ita LZ ad Z ex constructione, Z ita PC 'ad CX, erit LZ ad LN ut FCad CX,Sc existente puncto N inter Ira, erit per conuersionem rationis, existente vero Z inter L N, erit conuertendo componendoque S rursus conuertendo, uti ad
L ita FC ad F X, hoe est viai ad L ita FG ad F X, est enim eadem ratio dupli ad duplum quae simpli ad simplum, sed Z se ostensa est
84쪽
to b hoc est quadrato AI, cui quoque aequale est 5 rectagulum X aequalia erunt rectangula LP FAX,4 Ob id proportionales LP A X R, sedi composita ex extremis ostensa est maior quam X composita ex mediis, ergo altera extremarum L PIR maxima erit, altera minima, sed LP non est minima est enim maior quam ' quia aequales sunt L NR, ergo ipsa LP maxima erit 5 ideo maior quam Λ F. Iam transferatur,in semicirculis in quibus punctum A existit in
has kF recta A ad contrarias partes quemadmodum in praecedenti Lemmate factum est, ut una eademque demonstratio utrique figurae conueniat. Quoniam igitur ut AG ad AC ita est LZad ZNLe. r. ' ex constructione, Sesita'ΚT ad TY, erit Kra TY ut L ad ZN, Mexistente Ninter LZ, erit per conuersionem rationis, existente vero inter LN erit conuertendo A componendo aerursus conuertendo ut T ad Y ita Z ad LN hoc est ita Zi ad DR, dupla videlicet ad duplam, sed Κ ostenta est maior quam Ziu, ergo Δ ΚΓ maior erit quam L R. t..,.., Et quoniam rectangulum Y AK aequale est quadrato AI, pr portionales erunt Amina Aa, sed L maior est quam AI, nitur enim Α non maior minore rectarum Ai AK, hoc est non maior quam AS, ergo maior erit quam Aa, ct consequenter Acmulto maior. Et quoniam rectangulum LI Mostensum est aequale quadrato Lιm.f. ib, hoc est quadrato Ad cui quoque aequatur' rectangulum Y ΑΚ, aequalia erunt rectangula A L PR, ac proinde proportionales in L P ΑΚ, sed Κ composita ex extremis maior est quam L composita ex medijs ut demonstrauimus, ergo altera extreniarum Ain maxima erit, altera mininaa: sed ΑΚ non est minima,quia ostensa est maior quam A ergo maxima erit, Vnde
85쪽
de LP minor quam ΑΚ. Poterit igitur a puncto A ad circumserentiam KF duci recta ipsi P aggregato rectarum LN N aequalis, ostensa est enim L P maior quam Ai 5 minor quam Λα. Z PRDeinde sit AK minor quam A F. Ergo A non erit maior quam
AK ponitur enim A non maior minore rectarum Α ΛΚ, quare C maior erit quam T, ideo maxima omnium quae per 2 ducuntur, S inter circumferentias K ABC interliciuntur, mi L I, nima vero T, unde ridi data minor erit quam C. maior autem y,
quam Quoniam igitur ut AG ad Ac ita est Z ad Z N ex constructione, di ita C ad C X, erit FC ad C sicut L ad
ZN,i existentem inter L di, erit per conuersionem rationis, existente vero Z inter L N, erit conuertendo S componendo ac rursus conuertendo ut C ad vita L ad LN, hoc est ita diruet ad L R. dupla videlicet ad duplam, sed F ostensa est maior quam di , cringod F X naaiore. it quam L R. .
Et quoniam rectangulum FAX aequale est quadrato A I. proportionales erunt in AI A X, sed F A maior est quam AI, ponitur enim Annon maior m more rectarum A A K, hoc est non maior quam AK; ergo dc A maior erit quam A X. unde F A multo maior.
Et quoniam rectangulum L PR. ostensum est aequale quadrato Lb hoc est quadrato Al Cui quoaue aequale est, rectangulum La. r.er FAX, erunt aequalia rectangula FAX LPR, SI ideo proportionales 'MAX, sed F X composita ex extremis ostensa est maior quam R. composita ex mediis, ergo altera extremarum A X maxima erit, altera minima, sed F A non est minima, qui , et ostensa est maior quam ergo maxima erit. Unde L P minor quam A F. Eadem ratione, quoniam est ut AG ad AC ita Z ad Z N ex constructione,&ita K Tad Y erit Z ad Zm ficu KT ad
Ta, de existentem inter Z,etit per conuersionem rationis existente vero Z inter L N, erit conuerteicio dccomponendo ac rursus con
86쪽
duplam, ita, ad YΚ, sed νη ostensa est maior quam Ler-αo MLR quam Κ maiorςxix Et quoniam utrunque rectangulorum P Y ΑΚ aequale est Quadratoab, vel quadrato AI ut saepius demonstrauimus, erunt ea rectangula inter se aequalia, S ideo proportionales P A A PR, seda componia ex extremis maior est quamam composita ex mediis,sic demonstrauimus,ergo altera extremarum P P maxima verit, altera minima, sed LP non est minima, quia maior est uuam PR, sunt enim aequales L Na, ergo maxima erit, atque adeo maior quam ΑΚ. Cum igitur L maior sit quam AN, S: minor quam AF, ut demonstrauimus, poterita puncto A ad ci cumferentiam; duci recta ipsi P aggregato rectarum LN baequalis, quod erat ostendendum.
DEnique sit AI minor maiore rectarum A RA K,m
ior autem minore. Ostendendum est igitur rectam ipsi LP sue disserentiae, siue aggregato rectarum LN N aequalem,posse a puncto A ad circumferentiam KF duci, dummodo data neutra rectarum Ira sit maior Id autem sic fiet.
puncto A ad circumferentiam KF ducatur AN aequalis Ir. is secans circumferentiam BC etiam producta in O. Erit igitur M. a. O minima omnium, quaererin ducuntur,4 inter circumfere
87쪽
tias K ABC interliciuntur. Iungantur autem GK D, quibus parallela agantur CY YX secantes AK in continentas inpunis ctis YX, S duplicetur L in . Et primum fiat LP disserentiareelarum LN b, ea minor erit quam Lb hoc est quam A M. Re-δ.Tert .
liquum est igitur ut ipsa L 'ostendatur non minor minore rectarum ADAN. Id autem lac demonstrabimus. Sit primum Aa minor quam X. Quoniam igitur ut Gadaas..is A ita est L ad Z ex consti iactione 3cita Fina CX erit EC ad C X ut L ad Zm S: existentem inter Let, erit per con- Uersionem rationis, existente vero Z inter L N erit conuertendo S componendo ac rursias conuertendo, via ad Vita Z ad L N, Mita quoque ad LR, dupla videlicet ad duplam, sed FC ma- ror est quam TR, vel ei aequalis ponitur enim Lit neutra rectarum
NT C maior ergo S: X quam L maior crit, vel ipsi Raequali S.
Et quoniam rectangulum FAX aequale est quadrato AI, Pro . e. s cportionales erunt A A PAX sed in minor est quam ΑΙ ponis tur enim A maior minore rectarum A A K, hoc est maior quam KF ergo de A I minor erit quam A X, unde in multo minor. Et quoniam LN N , sitiat aequales ex constructione. Nam LR
facta est dupla ipsius LN S aequales quoqtie ex constructionem QN P, erunt per additionem aequalium aequalibus S L R aequales,
5 ideo rectangulum I Q. aequale rectangulo LPR. sed S quadrato b aequale est, recta enim Ll, tangit circulum bins', quo V νniam rectus est angulus Lb N in semicirculo ergo S rectanguluna L ZR aequale erit quadrato Lb hoc est quadrato AI, sed eidem quadrato A ' aequatur S rectangulum FAX, ergo aequalia erunt Le. s. et crectangula FAX LPR, ac proinde proportionales A LP PRAX, ισ.Sιxii. sed F composita ex extremis ostensa est vel maior quam L coposita ex medijs, vel ei aequalis ergo si sit macior erit altera extremarum FA AX'minima, sed ostensa est Fin minor quam A X, Ergo ipsa AF m. a. minima erit,undeLΡouam AF maior, hoc est maior minore recta ruri F ΑΚ. Si vero XL aequalis R, minor extremarum, nempόAF, minori mediarum hoc est ipsi aequalis erit L m. o.
88쪽
Sed sit A maior quam AN, & in semicirculis in quibus punctura existit in basesemicirculi DF, transponatur AK in colurarias partes,Vt factum est in praecedentibus . Quoniam igitur ut A G ad AC ita est L Z ad LN excoli structione et ita 'Κ T ad TY erit K ad a, uti ad Zm, S conuertendo ad K T , ita Z ad Z S existente L inter L erit diuidendo existente vero L inter N erit componendo vi K ad K ita ad Z, dcit L ad L, dupla videlicet ad duplam, ScruriuSconuertendo ut T ad K ita erit Zisa ad L I , sed K T vel est maior quam ZIV, vel ei aequalis ponitur enim Z neutra rectarum a FC maior, ergo S vel erit maiorqnam LM, vel ipsi L Maeo ualis.
r..,..is Et quoniam rectangulum in aequale est quadrato AI erit ut A cad AI, ita Au ad Aa, sed Ata minor est quam xl , ponitur enim A maior minore rectarum AJ AK, hoc est maior quam AK, ergo Scin minor erit quam Aa, dc per conssequens K multo minor. Et quoniam rectangulum P aequale est quadrato b vide- Inonstrauimus, hoc est quadrato At cui quidem quadrato aequalete. 1. 3ε est S rectangulum in Κ, aequalia erunt rcc angula in L PI , di ideo proportionales Y LP AK, sed A coposita ex extremis YA A K vel est maior quam in composita ex med ijs, vel ei aequalis . sic demonstrauimus, ergo si sit maior, erit altera extrema-L.m s. rum Y AK minima, altera maxima, L. Aia non est maxima, est enim minor quam Acut femonstrauimus ergo minima erit S per conlequens LP maior quam AK, id est maior minore rectarunt AI AN Si vero YM coni polita ex extremis sit aequalis L R Omposita ex mediis,minor extremarum, hoc est A K, minori mediarum quae est 'aequalis erit. Cum igitur Lindist erentia rectatum LNN ostensa suminor quam Adis,m maior vel aequalis mori rectarum
89쪽
ctarum Α ΑΚ, poterita puncto A ad circumserentiam Fduci recta linea ipsi L P aequalis, poterit quidcni duci ad eam circumferentia: portionem,quae minore rectarum ΑF ΛΚ, di ipsa AMintercipit ur. Deinde fiat LΡ aggreSatum rectarum L NNb, erit igitur L P, ma
ior quam in hoc est quam A M. superest igitur Hipsa LPosten
e liquam vel ei aequalis, ponitur enim Zn neutra rectam, T
i , in ri in ' mpQ si tremi maior est, vel saltem aequa lis V compositae ex mediis,ut demonstrauimus, ergo si sit maior erit altera extremarum, Ainx maxima,altera minuta sed Finis . non est minima, ostensa est enim maior quam A X ergo maxima is erit
90쪽
erit,dc consequenter L P minor' tuam AF, hoc est minor maiorer ctarum Ari si vero X sit aeqiralis L R, maior extremaru in m. nempe AF maiori mediarum idempsi LP ' aequalis erit.
Sed sit A minor quam AK S transseratur in semicirculis in quibus punctum A existit in basi DF recta A K ad Girtrarias partes, ut prius Mago latam igitur est ut AG ad A C ita L ad NL- .s.c. ex constructione S ita quoque K ad Y erit K ad aut L ad LN S existentem inter L erit per conuersionem rationis, existente vero Z inter L N erit conuertendoi componetido ac ruritis conuertendo, vi K ad K ita L ad N vel ita ad LR, dupla videlicet ad duplam, sed K , vel est maior quam rasu, vel ei aequalis ponitur enim ' non maior quam ΚT, ergo Scam vel maior erit quam LM, vel ipsi L R aequalis. Lq.ν. Et quoniam rectangulum aequales est quadrato A I. proportionales erunt AN AD Y, sed Avi maior est quam Aa, ponutu renina A minor maiore rectarum A AK, hoc est minor quam AN, ergo M AI maior erit quam Aa, de coniequenter Am
Et quoniam ostensum est rectangulum P aeci uale quadrato t., ιρα Lb hoc est quadrat AI, cui quoque aequatur m rectangulum AK, aequalia erunt rectangula TAM L PR, S ideo proportiona-Ies Y A LI ZR AN sed cia composita ex extremis o Ammaior est quam L composita ex mediis L P TR, vel ei aequalis,ut
F demonstrauimus, ergo si sit maior, altera extremarum Y AK naaxima erit, altera minima, sed AK non est minima, quia maior est quam AY, ut demonstrauimus, ergo maxima erit,ac consequenter
P minor quam AK, idest minor maiore rectarum AD K. Si vero Y incomposita ex extremis sit aequalis L R compositae ex med ijs,Dm. tr. maior extremarum, nempis AK, maiori media tu, id est ipsi VP aequalis erit. Cum itaque rostensa sit maior quam A , minor autena vel aequalis maiori rectar una in poterit a puncto A ad circumferentiam, F duci recta ipsi P aggregato rectarum tam baequalis, Poterit quidem duci ad cam circumsocentiae ripa taena,qua.