장음표시 사용
61쪽
1 o Curvi ac recti proportio promota.
GF. eris DC. complementum minoris arcus DB. o m. coamplementum maioris BE. Dico minorem esse rationem AG, ad AF. quam arcus DC. ad arcum. EC. Du- F taeantur duo us complementi DH. EI. Corol. 1.16. mram' erit Ono DH. ad EI. quam
arcus DC. ad arcum EC. vi autem
DH. ad EI. ita M. ad AF. hoc enim ὰ Clauio dem ratum es proposa a. desecantibus , se deducitur ex 37. huius igitur minor es proponio M. ad
AF. quam arcus DC. ad arcum EC.
THEOREM A XXXVI. PROPOS. XXXIX.
Sinus rectus maioris arcus, ad sinum rectum mu
noris, minorem habet rationem, quam chorda maioris , ad chordam minoris ι & chorda ad chordam minorem rationem, quam sinus versus maioris, ad sinum versum minoris.
IN circulo ABC. sit arcus ma- . ior quilibet AC. minor AB. quo- rum chordae CA. BA. sinus rcisti CH. BD. sinus versi HA. DA. Dico minorem esse rationem CIq. ad BD. quam CA. ad BA. & minorem CA. ad BA. quam HA. ad DA. Nam in triangulis rectagulis AHC. ADB. cum maior sit totus angulus BAD. sui parte CAIq. erit reliquus angulus ABD. minor 3 hyinu - angulo ACH. Constat igitur ex 23. huius, minorem esse rationem HC. ad CA. quam DB. ad BA. & permutando, . minorem rationem esse HC. ad DB. quam CA. ad BA. Rursus per eandem propositionem,cu maior sit angulus DAB. angulo
62쪽
angulo HAC. minor erit ratio DA. ad AB. quam HA. ad AC. &permutando,&conuertendo,maior ratio HA. ad DA. quam CA. ad BA. ideoq, minor CK. ad BA. quam HA. ad DA. Igitur sinus rectus maioris arcus &c. quod erat probandum.
HIne constat num rectum dimidii arcus maioris , ad num
rectum dimidi, minoris , minorem habere rationem, quam sinum versum arcus maioris , adsinum versum minoris. Nam sinus rectus dimidi, arcus AC. es medietas chorda AC. o sinis rectus dimidij arcus AB. eis medietas chordae AB. vi conssitat ex desinitione sinus recti: cum igitur ut tota chorda AC. ad rota OAB. ita illius medietas, ad medietatem huius sitq; proportio chordae AC. ad chordam AB. minor quam sinus vers HA. adsinum . mersum D q. etiam sinus rectus dimidj arcus AC. ad num roctum dimidi, M. minor eris ratio, quam m. ad DA.
THEOREM A XXXVII. PROPOS. XL. SI trianguli rectanguli rectit in angulum perpendicularis in basim demissa secet, & ex punctis,
ubi latera basi iunguntur, lateribus ipsis aequales partes ex basi abscindantur ; recta ex trianguli angulo recto ad puncta sectionis ductae diuidunt anguialos a perpendiculari cum lateribus factos,bifariam.
SIT triangulum GAD. rectangulum ad A. &expuncto A. demissa AE. perpendicularis in basim DG. secet angulum rectum in angulos DAE. GAE. & ex puncto G. ex basi abscindatur GI. aequalis lateri AI. & ex A. ducatur AI. Dico rectam AI. diu idere angulum DAE. bifariam Diuidatur angulus AGD. bifariam ducta GL. quae secet. AE. in N. d - G a AI. in
63쪽
s s Curvi ac recti proportio promota
AI. in M. Quoniam aequalia sunt latera GA. GI. in triangulo GAI. ex descriptione , aequales erunt anguli GAI. GIA.D. 1. sed& ex descriptione, aequales sunt AGM. IGM. aequales φ Pron, igitur sunt & reliqui. AMG. IMG. atq; ideo recti .
Rursus cum in triangulis GEN. ANM. Anguli ad verti cem N. aequales sint, & GEN. AMN. reeti , aequales erunt& reliqui EGN. NAM. id est EAI. cum autem aequales etiali x sint EGA. EAD. ablatis aequalibus EAI. EGN. rem nent aequales NGA. AIAD. Igitur cum at gulus EAI. sit aequalis angulo EGN. 6 Angulus I AD. aequalis angulo NGA. sint a autem ex hypothesi, . anguli EGN. NGA. aequales, erunt & anguli EAI. IAD- aequales. Atq; idem etiam ostenditur, si ipsi DA. aequalis si matur DH. eodem .n. prorsus modo probabitur, a recta AH- angulum EAG. bifariam diuidi. Igitur si trianguli rectanguli angulum rectum &c. Quod cratdcmonstrandum.
THEOREM A XXXVIII. PROPOS. XLI. .
Isserentia secantis maioris arcus cum sinu i to, ad differentiam sccantis minoris, malorem habet rationem, quam tangens maioris
arcus ad tangentem minoris. IN circulo AGF. cuius centrum. I diameter IA. sumai tur duo arcus inaequales maior AF. minor AG. quorum tam gentes. AH. A D. secantes IH. ID. & differentiae secantium cum sinu toto HF. DG. Dico maiorem esse ratiovem . AF. ad DG. quam AIq. ad AD. diuisa AI. bifariam in E. centro. E. describatur circulus ABCI. secans secantes hia
64쪽
niam in triangulis IAH. IAD. rectus est angulus ad A. maiorq; angulus ADI. cXternus, interno DAI. minor erit ratio AD. ad DI. quam AIq. ad ΗΙ. & conuertendo maior ratio ID. ad DA. quam IIJ. ad HA. sed vi ID. ad DA. ita DA. s. s. ad DB. &vt I H. ad I A. ita HA. adHC. nam cum rectan- 36, 3gulum IDB. sit aequale quadrato DA. &rectangulum II C. Quadrato. ΗΑ. crit ut ID. ad DA. ita DA. ad DB. & ut IH ad ΗΑ. ita HA. ad HC. Igitur maior est ratio AD. ad DB. quam AH. ad I C. & permutando, & conuertendo, minor ratio AH. ad AD. quam HC. ad DB. Rursus cum in triangulo rectangulo IAD. demissa sit ad basim ID. perpendicularis AB. & lateri IA. sit sumpta in basi aequalis IG. diuidet, ex praecedenti, recta AG. angulum DAB. bifariamia, ιν. huius: atq; eodem modo in triangulo rectangulo IAD. recta AF. dia uidet angulum HAC. bifariam. Quare cum in triangulis rectangulis ABD. ACH. angulus CAH.sit maior angulo BAD. 3 huiui maior erit ratio BA. ad AD. quam CA. ad AH. sed ut BA. ad AD. ita BG. ad GD. &ut CA . ad AH. ita CF. ad FH. nam angulos BAD. CAIJ. rectar AG. AF.bifariam diuidunt igitur maior ratio BG. ad GD. quam CF. ad F. H. & com ponendo, & permutando maior ratio BD. ad CH. quam DG. ad FH. & conuer- AII tendo, minor ratio HS. ad DB. quam FH. ad DG. Cum igitur minor sit ratio AH. ad AD. quam HC. ad DB. Vt paulo ante ostensum est, item mi' inor ratio H C. ad DB. quam FH. ad DG. erit etiam ex aequalitate, minor ratio
AH. ad AD. quam FH. ad DG. Quod erat demonstrandum.
65쪽
3 Curui ac recti proportio promota.
Ex dictis colligitur , etiam di erenti re antis maioris se si emicirculo, ad die erantia ecantis minoris , maiorem esse rationam, quam tangentis , arcus maioris , ad tangentem -- noris, sensum enim smaiorem se rationem GH. ad BD. μα- . ad DA.
THEOREM A XXXIX. PROPOS. XLII. DIfferentia secantis maioris arcus, cum sinu to
to , ad disserentiam secantis minoris, maiorem habet rationem, quam sinus versus maioris arcus, ad sinum versum minoris.
IN superiori figura, sint rursus secantes AE. AD. illa maioris arcus BF. ista minoris BG. earum differentiae EF. DG. &ductis sinibus rectis GH.FI.quorum iste secet AD. in L. sint eorundem arcuum sinus versi IB.HB. Dico in iorem esse rationem FE. ad GD.qua IB. ad HB. Ducatur enim ΚF. par tella ipsi DA. Erit angulus FKE. a qualis angulo ADE. angulus autem ADE. est obtusus cum enim in triangulo rectangulo angulus ABD. sit rectus, erit ADB. acuturi ac proinde citis complementum ADE. Obtusus igitur etianti. angulus FKE. obtusus est; maius igitur est latus EF. latere ΓΚ. in triangulo FKE. Rursus cum parallelae sint lateri BD. re I L. HG. in triangulo ABD. erit ut HI. ad HA. ita GL. ad GA. & vi I A. ad HB. ita GA. ad GD. ergo ex aequali ut HI. ad HB. ita GL. ad GD. & componendo vi IB. ad BH. ita .LD. id est FK. illi a oualis csi enim KDLF. parallelogram inum ex descriptione, ad GD. Sed maior ostensa est FZquam
66쪽
FK. igitur maior ratio est FE. ad DG. quam FK. id est,LD. ad ' DG. & IB. ad HB. Quod demonstrandum erat.
cessu superantium, chordae inter se, sinus item redii, sunt in continua proportione minori;
secantes vero in continua proportione maiori. IN circulo ABCD. cuius
centrum Η. & diameter HA. sint tres arcus aequaliter differentes,ac continui AB.AC. AD.quorum chordς AB. AC. AD.&secantes ΗΕ. ΗF.ΗG. Dico primo minorem esse rationem chordae AD. ad cho dam AC. quam chordae AC. ad chordam AB. In triangulis enim BAC. CAD. aequales sunt anguli BAC. CAD. aequali- α'. 3.bus arcubus BC. CD. insistentes: Angulus vero CDA. maiori arcui CA. insistens erit maior angulo BCA. minori arcui BA. insistente. minor igitur est angulus DCA. angulo CEA. y Τ' ' 'Ergo minor est ratio BA. ad AC. quam CA. ad AD. ut con- α s. huius. stat ex a 3.huius. Rursus quoniam sinus recti dimidi j sunt chordarum, sint autem chordae in continua proportione minori , erunt etiam. ' sinus recti in continua proportione minori. Denique dico maiorem esse rationem secantis ΗΑ.ad secantem HE. quam secantis ΗΕ. ad secantem HF. nam cum in triangulisA HE. EHF. aequales fiat anguli AHE. EHF. maior autem sit angulus AEH.externus iatemo ΗFE. maior erit ra- coroll. x s. tio AH. ad HE. quam HE. ad UF. Atq; eodem modo osten- hyψμβ detur maiorem esse rationem HE. ad I . quam Ι . adHG.
67쪽
3 6 Curui ac recti proportio promota .
THEOREM A XLI. PROPOS. LXIV. .
T h gς xivm disserentiae quibus aequales arcu
continui respondent, sunt in continua proportione maiori. IN figura superioris propositionis, sint tres, aut plures ar'cus AB. BC. CD. aequales, ac continui ; & tangentium diis rentiae illis respondentes AE. EF. FG. Dico maiorem esse rationem AE. ad EF. quam EF. ad FG. Nam quoniam angulus AH F. diuisus est bifariam tecta HE. ob arcus AB. BC. aequales, erit ut AH. ad ΗF. ita A E. ad EF. Atq; eodem modo cum diuisus sit angulus EHG. bifariam recta ΗF. ob aequales a cus qui assumpti sunt BC. CD. erit ut EH. ad HG. ita EF. ad FG. Rursus quia in triangulis AHF. EHG. quorum anguli AHF. EI G. sunt aequales, cx hypothesi,& angulus HI A. minor angulo HGE. maior erit ratio AH. ad HF. quam ΕΗ.ad HG. sed ut AH. ad ΗF. ita ostensum est AE. ad EF. & ut ΕΗ. ad ΗG. ita EF. ad FG. Igitur maior est ratio AE. ad EF. quam EF. ad FG. Quod erat demonstrandum.
THEOREM A XLII. PROPOS. XLV. . i
SInuum versorum, ac rectorum disserentiae aequalibus arcubus continuis subtensae, sunt in contunua proportione minori. IIN circulo ABC. cuius centrum E. duae diametri sese perpendiculariter secent in E. quae sint AO. TR. & sumantur quotlibet arcus aequales ac continui AB. BC. CD. sintque a cuum AB. AC. AD. sinus recti BI. CΚ. DL. & sinus complementorum BF. CG. DH. producti in peripheriar puncta O. P. S. qui secent sinus in M N.& connectantur OB.PC.QD. erunt EF.FG.GH. sinitum versorum differentiae. Dico mino-
68쪽
rem esse rationem EF. ad FG. quam FG. ad GH. Quoniam', in triangulis rectangulis ad OIB. PMC. QND. aequales sunt etiam an uti IOB. MPC. NQD. aequalibus arcubus AB. BC. CD. insistentes aequiangula sunt triangula dicta inter se, erit ergo ut OB. ad BI. ita PC. ad CM.& . ad DN. & permutando, Vt OB. ad PC. ita IB. ad MC. id est EF. ad FG. &ut PC. ad QD. ita MC. ad ND.' id est FG. ad GH. 'Quoniam vero arcus BRO. CR P. DR sese aequali excessit superant, aequales enim sumpti sunt arcus AB. BC. CD. tum inter se, tum arcubus OP. Pin QS. minor erit ratio chordae OB. ad 'S My 'chordam PC. quam chorda: PC. ad chordam QD. Igitur &rectae EF. FG. GH. quae candem rationem cum dictis chordis obtinent, ita se habebunt , ut minor sit ratio EF.ad FG.quam FG. ad GH. Quod fuit probandum.
ΡROBLEMA IIII. PROPOS. XXXXVI.
Vadrantem ita secare, ut sinus versus maioris arcus, ad sinum versum minotis, maiorem habeat rationem, quam tangens maioris, ad - tangentem minoris. SIT Quadrans ABC. cuius centrum L. latera perpendi- .culalia I A. LD. quorum unum LA. ita secetur, ut pars LE. , sit aut aequalis, aut maior quam EA. & ducatur EC. perpendiculatis ad LA. & arcus CA. quem EC. abscindit ex quadrante, diuidatur bifariam in B. ducaturque arcus BA. sinus rectus BR. & connectatur chorda AC. secans B R. in I. Iici semidiameter L. B. secans CE. iii K. & CA. in S. denique per I. ipsi Ala agatur parallela I M. secans CE. in H. & LR in M.
69쪽
1 8 Curui ac recti proportio promota.
&DL. in N. Constat EA. esse sinum versum arcus CA. R A. sinum versum arcus BA. Item CE. esse tangentem anguli CLE. idest arcus CA. &ΚE. tangentem anguli ΚLE. sevarcus BA. Posito nimirum sinu toto LE. Dico maiorem esse rationem EA. ad A R. quam CE. ad ET Nam aequalium a cuum CB. BA. aequales sunt sinus versi BS. AR. Igitur triau-gula BSI. ARI. rectangula ad pun- Acta S. & R. & habentia angulos adverticem. I. aequales, aequiangula sunt, & quia praeterea latera AR. BS. aequalia sunt , aequalia etiam erunt SI. I R. at ipsi I R. aequalis est NL.Igitur,cu rursus in duobus tria-gulis rectangulis ad S. N. etiam anguli ad verticem M. sint aequales, &aequalia latera NL. SI. eodem modo, quo paulo ante Os endemus in dictis triangulis latus SM. lateri MN. I basim I M. basi ML. esse aequalem, maior autem ML. quam MN. Igitur maior est I M. quam MN. ac proinde NM. minor quam dimidia ipsius NI. at LE. aut dimidia est, aut maior quam dimidia ipsius I A. quae multo maior est quam NI. Igitur maior est LE. id est HN. quam MN. cadet igitur punctum M. inter puncta IJ. N.ac LM. producta secabit CE. in K. inter puncta C. H. , maior igitur est ΕΚ. quam ΕΗ. Rursum cum in tria gulo CEA. recta II . sit parallella lateri AE. & IR. ipsi HE.ex descriptione erit ut CE. ad EH. id est CA. ad IA . ita EA. sinus versus arcus CA. ad I A. sinum versum arcus BA.sed CE. tangens anguli CLE. ad KE. tangentem anguli ΚLE. min rem habet rationem quam C E. ad EH. Igitur CE. tangens anguli CLE. seu arcus CA. ad KE. tangentem anguli ΚLE. seu arcus M. minorem habet rationem, quam EA. sinus versus arcus CA. ad Q. sinum versum arcus M. Quod
70쪽
PROBLEMA V. PROPOS XXXXVII. DAxo arcu in Quadrante, alium inuenire, ita
ut tangens maioris ad tangentem min ris , maiorem habeat rationem, quam sinus . versus maioris, ad stinum versum minoris. SIN V M DB. arcus AB. utcunque acceptum secet chorda quadrantis A O. in P. ex quo puncto P. ipsi AL. parallela PK. ducta secet semidiametrum-LB.in puncto Κ; & ad AL. ducatur perpendicularis EKC. Dico
maiorem esse rationem tangentis arcus AC. ad tangentem a cus AB. quam sinus versi eiusdem arcus AC. ad sinum versum arcus AB. Ducatur AC. secans
DB. in I &ex I. ipsi PK. seu AE. parallela agatur IIJ. secans EC. in H. quod quidem punctum I. cadet inter P.& B. cum punctum C. cadat supra O. ideoque recta AC. supra AO, & punctum Η. cadet inter puncta K. & C. erit E A. sinus versus arcus AC. & DA. sinus versus arcus AB. &CE. tangens anguli ELC. id est arcus AC. & ΕΚ. tangens anguli ELΚ. id est, arcus AB. Cum igitur parallelae sint IH. AE. Item etiam DI. & ΕΗ. crit ut CE. ad EH. id est CA. ad AI.
ita EA. ad AD. sed CE. ad EH. minorem habet rationcm quam CE. ad ΕΚ. Igitur EA. sinus versus arcus AC. ad DA. sinum versum arcus AB. minorem habet rationem, quam CE. tangens anguli ELC. seu arcus AC. ad ΕΚ. tangentem anguli ELΚ.seu arcus AB. Quod fuit probandum. A