장음표시 사용
381쪽
diculares ad alterum latus Quadrantis, & ad alterum paralleli ducuntur: quae omnia ex demon- strationibus apparebunt.
SEd audio P pam Alexandrinum Collect. lib. q. p. 2 .
huiusnodι lineas repraehendentem , quod Aer ignotam adhuc,atque irreperiam circuli, o rectaeproportionem describantur. Recte id quidem ,si ea proportio etiam των α δ των numero contineretur , neque κατα τί ' φυισιν ρ' rhils es et . . At vero res ea haud insons , tum in Ph scis, tum in Mithematicis , ut ex iis quae non sunt, esse tamen possunt, quid futurum sit, gerive possi 0pothetice demonseretur. Lares
adhuc ratio inueniendarum, inter duas datas , duarum m diarum proportionalium, quod tamen inueniri queans, indicant vana Mesolabia a s Uantis'mis Geometris , apud Tu Ioci , excogitata. Hinc non absiur de licet argumentari: Si inter duas datas duae mediae proportionales reperiantur erit cubus primae ad cubum sicundae, ut prima ad quartam Iat vero impossbilis non e t illa inuentio, igitur potes esse ratio cubi ad rubum quae da curum linearum. Enares ostenderimus posse lineam rectam, ac circulam in easdem rationes se- eari, non inepte Helicumbo. ad Incum desicriptionem insitutam esse probabiwH. Si enim feri polit haec Homo ,
esiam puncta tam in linea recta, quam in circulo mota, m
do sev d. cIo, partes proportionales auferre possunt 3 ideoque lineam Spiralem, diuadratricem , Drusuam , delineare . Ac proinde,quae inde cycientur demonstrationes,non quIdem ex datis procedent , sed ἰά των πορισ ων ex quIbus non minus certo quantiIatis asiniones,quam εα δε ε is comprobabuntur . . . od vero posibilis sit proportionalis haec H-ni sequentibus duobus Lemmatis sendemus. a. Postulatum. - '
382쪽
3 r. Curui ac recti proportio promora. LEMMA I. . t i
I linea curua extendatur, ut extendi amnon possit; erit linea recta
Linea recta A. extendatur , ita ut ampIius extendi non possit, sitque hoc modo exten-LB. Dico B. esse lineam rectam o Si enim ululatum n non sit linea recta , erit curua, at linea curua extendi potest y Igitur B. extendi potest; at supponebatur non amplius posse e tendi. Quod est absurdum. Igitur B. est lunca recta. Quod erat demonstrandum .
otest data linea recta dati circuli perim tro similiter secario
Sit data recta HK. & datus circulus AB. Dico rectana ΗΚ. posse secari e
proportione, qua sincantur peripheria circuli AB. Sumatur in circulo AB. parSAB. cui in aequali circulo sumatur parS a qualis CD. ac cXicu datur perimeter circuli CD. quantum Imrm.1.hu potcst, migrabit in lineam rectam, quae sit EG. in qua remaneant eadem di visi nis puncta,quae erant
383쪽
in circulo: videlicet E. F. puncta sint eadem punctis C. D. Hinc data HK. re EG. similiter secetur in I. Quo niam est ut ΚH. ad HI. ita GE. ad EF. & ut GE. ad EF .ita peripheria tota circuli CD. ad partem CD. est enim proportio aequalitatis, cum tota EG. sit peripheria ipsa totius circuli extensa,& EF. pars rectae EG. sit eadem parti CG. 2 & ut peripheria tota circuli CD. ad partem CD. ita peripheria totius circuli AB. ad partem AB. ergo vi K H. ad HI. ita peripheria circuli AB. ad partem ABainea igitur data ΗΚ. dati circuli AB.perimetro similiter secari potest. Quod erat demonstrandum. 'ia
Aior est ratio sinus totius ad suum versum arcus Quadrante minoris, quar peripheriae Quadrantis ad dictum ar-
In circulo cuius centrum B. st peripheria Quadrantis DF. arcus minor Quadrante EF. ductis sinibus rectis DB. EC. erunt IJ F. Cp. sinus versi , & BF. etiam sinus totus , qui cum sit maior quam EC. accipiatur in aequali BD. rccta BG. aequalis ipsi EC. item cum fit maior quam CF. accipiatur ΒΚ. aequalis CF. &connectantur DF. EF. GF. GK. ac centro G. distantia GΚ. describatur circulus ΗΚ I. secans DB. productam in H. &GF. in I. Dico maiorem esse rationem BF. ad FC. quam DF. arcus ad arcum FE. Nam quia in triangulis GBK. ECF.rectangui is ad B. C. aequalia sunt latera GB. BK. lateribus EC. CF. ex hypo- Dthesi, erunt anguli BGΚ. CEP. aequales. Iam Vero ma-- ior
384쪽
3 Curui ac recti proportio promota.
s . ior est ratio sectoris GHK. ad sectorem GKI. quam eiusdem sectoris G ΗΚ. ad triangulum GKF. & sectoris GHΚ. ad triangulum GKF.maior est ratio,quam trianguli GBΚ. ad idem triangulum GKF, ergo a primo ad ultimum, ma-33. o. ior est ratio sectoris GH Κ. id est arcus ΗΚ. adsectorem GK I. id est ad arcum ΚΙ. quam trianguli GBK. id est rectis , ὸ ΒΚ, ad triangulum GKF. id est ad rectam ΚF. & compo
nendo & per conuersionem rationis minor ratio IIJ. ad 33. ΗΚ. id est anguli FGH. ad angulum ΚGH. quam rectari s. r. FB. ad rectam ΒΚ. sed angulus BDF. internus minor esta L externo FGΗ. Igitur minor est ratio anguli BDF. ad angulum BGΚ. id est ad angulum CEF. qui modo ostensus est ei aequalis, quam anguli FGH. ad angulum ΚGB. id est , CEF. Cum ergo minor sit ratio anguli BDF. ad angulum BGK. id est CEF. quam anguli BGF. ad angulum BGK. id est CEF. & minor ratio anguli BGF.ad BGΚ.angulum , id est ad CEF. quam FB.ad ΒΚ.erit a primo ad ultimum , minor ratio BDF. ad C EF. quam FB. ad ΒΚ. id est , quam FB. ad FC. sunt enim positae aequales ΒΚ.FC. sed ut angulus BDF. ad angulum CEF. ita arcus DF. ad arcum EF. sentenim dicti anguli dictorum arcu unia, aut potius angulorum arcubus subtensorum dimidij maior igitur est ratio BF. sinus versi arcus DF, id est, sinus
totius ad CF. sinum versum arcus EF.quam arcus maioris DF. nimirum Quadrantis ad arcum EF, Quadrante minorem. Quod erat &c.
siue non ; modo sit maior quam sinus CE. ut manife- se apparet ex figura. Hoc autem aliter demonarammus l. b. primo theoremate 3 O. Sed praesiensem Zmon alionem quia elegantior visi es, addere vota mus.
385쪽
Si peripheria Quadrantis, eiusque latus er clum, a puncto in quo coeunt similiter di
vidantur: perpendicularis a termino arcus proportionalis in latus demissa aufert ex latere, Versus eius extremum , partem minorem Pari proportionali lateris. ij
Peripheria Quadrantis BC. cuius centrum A.& latus erectum AB.ex puncto B. ubi coeunt similiter dividantur, γid est, sit BC. ad BE. ut B A. ad BF. & a termino E. arcuS proportionalis BE. demissa in latus AB. perpendicularis ED. auferat partem DB. Dico DB. esse minorem quam FB. Nam cum DB. sit sinus versus arcus BE. maior Iemm erit ratio sinus totius AB. ad sinunta hv M. versum DB. quam peripheriae Quadrantis BC. ad arcum BE. sed ut pNripheria Quadrantis BC. ad arcum BE. ita ex hypothesi est AB. ad BF. maior igitur est ratio AB. ad BD. quam AB. ad BF. minor igitur est DB. quam FB. Quod erat demonstrandum .
RAdij Spiralis Quadrantis sint in ratio
ne, in qua sunt arcus Quadrantis inter eosdem radios ad peripheriam productos, &basim eiuslem Quadrantis compraehensi.
Sit Quadrans ABC. cuius Spiralis AFGB. radij Spiralis AF. Aa qui producti secent peripheriam Quadrantis in punctis E. D. Basis Quadrantis AC. latus eiusdem ere
386쪽
3 c Curui ac recti proportio promota.
ctum, seu diameter Spiralis AB. Arcus inter basim AQ& puncta E. D. compraehensi sint EC. DC. Dico esse ut A F. ad AG. ita arcum CE. ad arcum CD. Est enim , eX descriptione, seu definitione Spiralis , ut A F. ad AC. ita arcus CE. ad arcum CB. & ut AG. ad AC. ita CD. ad CB. &conuertendo Vt AC. ad AG. ita CB. arcus , ad arcum ad arcum CD. ergo eX a qualitate ut A F. ad AG. ita arcus CE ad arcum CD. Quod demonstrare oportebat.
SI diametro Spiralis in Quadrante parallela
eandem Spiralem contingat: secan s per punctum contactus ducta ad sitium arcum minimam inter omnes secantes proportionem ha
Sit Quadrans ABC. cuius Spiralis AFB.ac Spiralis diameter AB. cui parallela sit rect LI. quae Spiralem tangat in F.
puncto, per quod eX centro A. Quadrantis ducatur AF N. secans arcus CP.occurrens tangenti CN.eiusdem arcus , & parallelae ipsi AB. in puncto N. Dico secantemAN. ad suu in arcum CP. minorem habere proportionem , quam habeat qua libet alia secans ad suum . Ductantur quaelibet aliae s cantes ultra citraque A O. A M. quarum illa secet Quadrantem in Q sta in R. ista rectam LI. quantumlibcdpr ductaln
387쪽
ductam in I. ista in L. secabunt autem, cum ei parallis in με
lam Co. secent in M. & O. 3 illa spiralem in G. ista in L. Archim. p. Quoniam recta LI. spiralem tangit in P. in illo tantum puncto tanget: Cadent igitur puncta L L. ideoque partes ' - ΤGI. HL. extra spiralem. Cumque in ii iangulo OAN.parallelae sint O N. IF. erit ut OA. ad IA. ita NA. ad FA. &permutando, OA. ad NA. vi I A. ad FA. maior autem est ratio I R. ad FA.quam GA.ad FA: Igitur maior est ratio A. ad NA. quam GA. ad F A. vi vero GA. ad FA. ita amcus QC. ad arcum PC. Igitur OA .ad NA .maior est ratio, quam arcus QC. ad arcum PC. & permutando secantis OA. ad suum arcum QC. maior est ratio, quam secantis NA. ad suum arcum PC. Eodemque modo ostendetur, 'maiorem esse rationem secantis M A. ad suum arcum MC. quam secantis AN. ad suum PC. Idemque sequetur in qualibet alia secante tergo secans NA . ad suum arcum PC. minimam inter omnes secantes proportionem habct. Quod erat ostendendum . Vocentur autem puncta F. P. minimae proportionis in Spirali,& in quadrante: & secans AN. minimae proportionis.
SEcans minimam ex caeteris secantibus ad suatim arcum proportionem habens spiralem QEadrantis diuidit in puncto , peC quod parallela diametro spiralis , seu tangenti Quadrantis ducta dictam spiralem contingit.
Sit Quadrans ABC. in quo secans AN. occurrens tangenti Quadrantis C O. in puncto N. secans Quadrantem in P. Spiralem Quadrantis in F. habeat ad suum arci PC. minimam ex caeteris secantibus rationem: ac per punctum F. ducatur FGI. parallela tangcnti Cta Dico quod Bbb rccta
388쪽
3 8 Curui ac recti proportio Promota.
recta FGI. spiralem tangit m F. Si enitia non c ntingit, s
C AF. hedytAG. ad AF. ita arcus. QC. ad arcum PC .crgo ut OA. ad NA. ita arcus QC. ad arcum P C. & permutando, aequaliberit proportio OA. ,ld suum arcum Rc . proportioni NA. ad suum arcum PC. Quod est absurdum , cum propCitio NA. ad arcum PC. ponatur minima qualibet plOportione alterius secantis ad suum arcum. Igitur secans minimam . eΣ caeteris &c. . Quod erat pyobandum
iusdem secans minimam habet rationem, est aequalis arcui o
II i, drantis ADB. in puncto D. sitque
arcus CM. complementum arcus M B. cuius tangens BL. Dico tan-Α gentem B L. esse aequalcm arcui MC. Centro A. per punctum D. describatur Quadrans ΚDH. per idem punctum D. ducatur ini. M finita
389쪽
finita DF. parallela tangenti CN. atquee, puncto A, ad , , DA. ducatur perpendicularis M. quae occurret ipsi DF. in A.edhEd F. Denique ducam DEo herpense cxxlagis ad DA. ideoque Q. Diraltangens arcus DH. Constat rectam AF. esse aequalem ar- ,, i cui DK. Rhirsus quoni tmqn Quadr i atero A EDI'. angu- so. a. li EDA. DAF. sunt remparallelae sunt DE. I A. sed 'parallelae sunt DF. EA .utra a taeen ponitur parallela ipsi N. Igitur parallelogramnatim est AEDF.&opposita la-- finit. tera AF. DE. aequalia. Quare cum A F. sit aequalis arcui sulibi. ita. DK. erit DE. etiam aequalis arctii DK. viatilem arcus X D. ad Quadrantem ΚH. ita arcus CM. ad Quadrantem B. & permutando, ut arcus KD. ad arcum CM. ita Qua- i id rans ΚH ad Qtadrantem CB. & ut Quadrans ΚH. ad , , Quadrantem CB. ita semidiameter A D. aditanidianam p. PT trum A M. & ut A D. ad A M. ita DE. ad B L. nam cum H, .ulum. xquiangula sint trian Ia EDA. LBA. ob communem an ' stilum ad A. & rectos ad D. B. erit ut A D. ad DE. ita RB. ad BD. & permutando erit a primo ad ultimum,utarctis ΚD. ad arcum c M. ita DE. ad B L. & permutando, ut a cus KD. ad rectam DE. ita arcus Clin. ad rectam B L. est autem probatus arcus KD. aequalis rectae DE. igitur arcus C M. aequat is est tangunti complementi BL. Quod
An et mas complementi arcus, ad quem e-
ididen i locatis minimam habet rationem
390쪽
3 to Curvi ac pr'portio promota. est aequalis Quadranti circuli a principio lineae spiralis, per punctum Vbi secans minimae pro- portionis spiralem secat, descripti.
Sint omnia quae superiori propositione. Dico tangentem B L. esse aequalem Quadranti ΚΗ. Quoniam triangula ADE. ABL. communem habent angulum ad A. . e rectos ADE. ABL. sunt aequiangula. Igitur ut A D. ad AM. ita DE. ad B L. Sed ut A D. ad A M. id est, ad AB. . huius- ita arcus C M. ad Quadrantem CB. id est arcus KD. ad scholis ο--ΚH.Igitur ut recta DE. ad BI .ita arcus KD. id est, recta DE. illi aequalis, ad quadrantem ΚH. aequales igitur sunt BL. recta tangens arcus BM.& Quadrans ΚH-
ΗInc deducitur arcum m. esse aequale Gad unii Vmes enim arcus CM. aequalis tangenti M. qua modo frobata est aequatis Euadranti FH.
Equitur praeterea ex dictis , iam Euadrantem YH. quam arcum CM. 6se medio loco proportionalem inter arcum DK. or Euadrantem ABC. nam vi KD. ad ΓΗ. ita omnsim esse DA. ad AM. se ut DA. ad AM. ita mari saeu.adele nent. in drantem BC. ergo ut arcus KD. ad quadrantem AH. pia uadrans K H. id est arcus m. ad suadrantem M.