장음표시 사용
121쪽
ρή - A P. n. 1 . Ulterius si ab unitate incipiendo,ponamus numeros quaternario crescentes & subsistamus in aliquo ceu ult,
mo, atque colligamus summam omnium terminorum, re.
praesentabit illa ipsa numerum Hexagonium, seu sexangula. rem ι quia, ut apparet in apposita figura, D. posito primo puncto, ceu unitate & deinde numero F. ab unitate per quater. narium distante, videmus in f, gura apposita quod numerus se ac
' cedens unitati, sormet primum &minimum hexagonum , si porro
accedant 9 puncta a quinque pumctis rursus quaternario disterentia, quoad eorund.numerum, haec 9.puncta, cum trib. aliis prioris hexagoni formant in aequali distantia secundum liexago num, ulterius si accedant Ii. puncta, a novem punctis rurit per quaternarium, atque sic in progressione arithmetica di&ferentia, haec tredecim puncta, cum aliis quinque in secum,do hexagono formant in aequali distantia tertium hexag num, non minus si porro accedant, II. puncta, eodem modo disserentia a prioribus Is. sormabitur cum 7. aliis in temtio hexagono in aequali punctorum distantia quartum & in hac figura maximum hexagonum , Omnia vero puncta in tota figura D. vel in alia quacunque majori in unam summam collecta, efficere dicuntur numerum hexagonum, cujus radix hexagonia est, latus hexagoni maximi, secundum puncta, quae comprehendit, denominatum, ultimus vero terminus juxta disserentiam 4. repraesentat tria maximi pentagoni latera. g. 13. Dato jam quovis numero, ceu ultimo in progreΩ
sione arithmetici ab unitate, cujus differentia est . summa
122쪽
omnium terminorum seu numerus hexagonius absque ta- - ,hulis brevius vix inveniri potest. nisi, ut quarta pars ultimi WV 'I
ternum ternario aucti multiplicar1 debeat cum dimidia- ὸὸλ is,
parte ejusdem quidem ultimi termini, sed unitate solum au- u. iabulis.cii , Sic ex.gr. ultimus terminus sit II. & ternario auctus ZO.liujusque quarta pars F. multiplicata cum dimidia parte ul- πιε lumtimi termini, unitate aucti nempe p. producit sumi nam O-onstam omnium terminorum, vel numerum hexagonum M. Similiter , ultimus terminus sit IrI S. & ternario auctus Ir G. Exemplum hujusque quarta pars 3o37. multiplicata cum dimidia parte in major ultimi termini, unitate aucti, nempe 6i73. producit mam omnium terminorum, Vel numerum hexagonium. ryoIOCII.
I9. Adhue brevius illud ipsum invenitur per tabulas. In quibus solummodo quaerendum est quadratum utrimi Misis is intermini, illius ipsius enim ternario tamen aucti quarta par per tabus addatur sui ipsius radici, ceu citimo termino, erit sum-ἀερώ iatim anae dimidium quaesita summa omnium terminorum seu nu- UI merus Hexagonius I Sic ex. gr. ultimi termini et . quadra- 'tum ternario auctum est 192. cujus quarta pars n. addita ra- dici U. facit sumnam 9α cujus dimidium, ον. est, ut antea umma omnium terminorum , seu numerus Hexagonius et Similiter ultimi termini Ir34s. quadratum ternario auctum Exemplametst IF2.39 23. cujus quarta pars uo99 17. addita radici u3 1. - μερο αε- facit summam uinior. cujus dimidium Iso16osi. est, ut ania te1lamma omnium terminorum, seu numerus Hexag nius. s. ro. Data vicissim summa omnium terminorum, seu ianumero Hexagonio, si quaeratur ultimus terminus in illa A. ι M progressione ab unitate arithmetica,eontinuae disserentiae 4. auomi shrevissima inventionis via erit, si ex summae teru--- - --- '
123쪽
-- νο- seu numeri Hexagonii octuplo unitate aiicto extrahatur ra-
ε,-.2. γ'qu/drata, illa ipsa enim binario diminuta erit quaesitus
progressionia; ultimus terminus: Sic ex.gr.ex summae rem norum leu numeri Hexagonii 4s. octuplo unitate atusto 36r 'num.=i. . extracta per tabulas radix quadrata est I9. quae ipsa binario m. ρω- diminuta, II. est qVaesitus progressionis ultimus; Similiter in majoνihia ex summae terminorum seu numeri Hexagonii I9 6 I. numeris. ctuplo unitate aucto IR. 484o9. extracta per tabulas radix quadrata est us 7.quae ipsa binario diminuta Iu 3. est quae B, .is situs progressionis ultimus. z u ωδὸ. g. M. Si vero per datum numerum terminorum, ceur Aeaeuom. dicem numeri hexagonii velimus quaerere, in eadem pro--ta μι- gressione continuae differentiae 4. summam omnium term miaturris norum seu numerum hexagonium, id absque tabulis effici . mus, sit duplum radicis hexagoniae unitate diminutum murui ' L. 'tiplicaveris, cum ill ipsa radice, sic ex. gr. duplum Radicis .a-ώ he agoniae S. duplum unitate diminutum, 9. multiplicans
numeras. candena radicem F. producit 4F. quaesitum numerum hex 'Exemplum mnium: Similiter Radicis hexagoniae 3o87. duplum unita- n majori με te diminutum 6I73. multiplicans eandem radicem 'o 37 -- m producit 19o16χr. quaesitum numerum hexagonium. Suamst Φ g Non minus etiam hic tabulae quadratorum pra Laia Aria, rogatiVam ratione compendii habent, in quibus radiciae μυὸωέ. - ' hexagoniae, qVadrati duplnm, ipsa radice sua diminutum, findam nu- est numerus, qViqVaeritur hexagonius: Sic ex.gr. radicis he--π- he- ragoniat F. quadratum est M. & hujus duplum so. & radieo πυρη hexagonia diminatum 4s. quod ipsuna est numerus hexag Exemp/- nius; Similiter, radicis hexagoniae 3O87. quadratum est
124쪽
I. u. Datbvieissim numero hexagoniti si quaeratur ea a Mois jcidem radix, id efficiemus, si ex numeri hexagonii octuplo, unitata aucto, extrahatur radix quadrata, cujus ipsius radi- - UM' tis unitate auctae quarta pars est quaesita radix hexagoni :ῖ isis
Ptex. gr. numeri hexagonii ΑΤ. o plum unitate auctum hexagonia. 'est, 361. cujus radix quadrata unitate aucta est 2 . hujusque G. iam qua ita pars s. radi hexagonia quaesita: Similiter numeri in parvis hexagonii i9osdosi. O plum unitate auctum est Is24484 9. cujus radix quadrata, unitate aucta est IasAg. hujusquequarta pars 3o37. radix hexagonia quaesita. ini. - ' 24. Quemadm. jam satis constat, quod per certa data M. stim progressionis terminus & suma Omnivrerminorum&2 ..., is
Adix in praecedentibus progressionibus ad numeros Trigob.,
nisi Tetragonium, Pentagonium & Hexagonium spectantes in genere commossissime per tabulas quadratorum numerorum inve-μυθω. niantur, ita etiam in quavis alia progressione ad alios etiam
humeros polygonios in infinitum dabiles, heptagonium ,
octogonium , magonium , Decagonium &c. tabularum istarum usus, vulgari absque tabulis operationi, quam imposterum etiam brevitatis gratia, non amplius determinabimus, usui tabularum soliim nos applicantes, longe praeferendus est ἱ & quoniam hoc semper certum est, quod quivis numerus Polygonius per certum numerum denominatus, habeat suam progressionem secundum istanti differentiam, quae binario minor est quam ipsius denominatio, ex. gr. heptagonius habet differentiam s. Decagonius
differentiam r.&c. facile propterea dari potest solutio universalis, juxta Fam illa, quae in praecedentibus in singularibus casibus proposita sunt, universaliter in quibusvis polygoniis expediri possunt.
125쪽
maro cujuι- rs. Datb itaque cujusvis numeri polygonii ultimo est γ' termino progressionis ipsi competentis, ipse polygonius ninast R merus universaliter invenitur tequenti modo : ultimi te is risia, mini quadrato unitate diminuto, atque sic diviso per ipsami eniνει- disseremiam, debet addi ultimus terminus progressionis Esum nume- unitate auctus lummae hujus dimidium erit numerus poly- Vmst tuq gonius quaesitus. Ex. gr. numerus Decagonius, fit ex Pro gressione secundum differentiam s. datus jam est in ista progressione aliquis terminus ceu ultimus, nempe, 9993. &' - - , quaeritur summa omnium terminorum,seu ipse numerus de-cagomus, qVapropter, quadrato ipsius ultimi, IS99. oo 9. unitate diminuto & tunc diviso per disserentiam pro gressionis 3. quotienti I999ι-o6. debet addi ultimuς terminusi unitate auctus 39994. & erit summa I9997OooO. atque dimἱdium hujus 9998sooo. quaesitus numerus d agonius. avomodo s. 26. Econtra dato aliquo numero polygonio quovi Auto rodvis disserentiam progressionis parem habente, si quaeratur uitia ρ πεπι- mus suae progrestionis terminus, per solutionem umVersa-
, I lem lioc fit, si duplum illius numeri polygonii unitate dia
Σωρνο . minutum multiplicetur cum differentia sua atque productor sonis unitate aucto addatur quadratum ejusdem differentiae, dimidiae hujus summae radix , ejusdem adhuc ditarem λη us tiae dimidio diminuta, erit quaesitus ultimus terminuS pro
f ' gressionis Ex. gr. numeri Decagonii 9993Fooo. duplum mnitate diminutum 199969999. multiplicatum cum dissere ' ita sua in progressione competente s. producit IS997F999bcui producto si addatur 36. quadratum ditarentiae dimidiae, summae radix 3999 . eadem ditarentia dimidia 4. dimin ta est 39993. est quaesitus ultimus in progressione terminus. M uammis f. 27. Si vero dictus progressionis terminus habeat dis- ορο αρνim serentiam progressionis imparem, tunc adhuc quidem duplum
126쪽
- - --.- - ε . ri cplum numeri polygonii unitate diminutum multiplicetur cum differentia suae progressionali sed jam producti hujus, iunitate aucti, quadruplo debet addi quadratum differentia: progressionalis, hujusque summae Radix eadem disserentia ri-. υ progressionali diminuta & sic deinceps dimidiata erit quae- modo prec situs ultimus progressionis terminus. Ex. gr, numeri Ne , vi εδε χρὴ .gonii seu Nonangularis uῖsgosui. duplum, unitate diminu, 'tum 167ogi I. si multiplicetur cum differentia sua progressionali 7. producit 3269167oo7. cujus unitati aucti quadruplo is878r68on. addatur quadratum disserentiae pro gressionalis 49. erit per g. Io. c. . hujus summae radix Iz ov. ejusdenaque disserentia progressionali diminutae dimidium
6Ioor. ultimus quaesitus progressionis terminus, - g. 28. Dato vero numero terminorum in progressione cuilibet mimero polygonio competenti,sive quod idem, da- distά θυίνista radice alicujus numeri polygonii, ipse numeruε polygo- radice ρεθ-nius universali modo invenitur, si quadratum radicis poly- ramim goniae, sua ipsius radice diminutum, multiplicetur cum din inquerentia progressionis, quaesito polygonio numero compe' luon . tentis, & producti dimidio addatur eadem radix polygonia, sic ex. gr.Radicis polygoniae 3oo . quadratum INOOoo . Mempiam sua radice diminutum 2499Nooo.si multiplicetur cum disserentia progressionali 3. producit i 96 oo. cur dimidium 999 goo oo. additum eidem radici so oo, summa erit 99 soco. quaesitus numerus decagonius,f. 29. Econtra si e quovis polygonio numero radix ejus- Gomois Iem sit extrahenda, quae est latus figurae maximae in polygo ' τε no, numerum datum polygonium comprehendente, & si-nnil etiam est numerus terminorum in progressione illi nυ- 2Σia k- m. mero polygonio competanxi, efficietur hoc , si numeruata dix ejus. datum polysonium multiples cum octuplo differentiae pro-
127쪽
- cap. PII. . gressionalis&producto addas quadratum disserentiae, quae
est inter disserentiam progressionalem & binarium nume- . rum, hujus summae radix quadrata atque aucta dicta illa di ferentia, quae est inter disserentiam progressionalem & n merum binarium, L diminuta vero, si binarius numerus sit major disserentia progressionali, quod quidem in solo numero trigonio accidit, si dividatur per duplum disserentiae progressionalis, quotiens erit radix polygonia quaesita, seex. gr. numerus decagonius 9993ymo. multiplicatus cum, Ai-pia . disserentiae progrrisionalis 3. octuplo G . producit 6399.ow o. Cui si addas quadratum disserentiae, 6. quae est inter progressionalem diskrentiam 2. S binarium a. nimbrum 36. summaeTadix quadrata 7999 .aucta dicta differem tia 6. nempe goooo. si dividatur per duplum disserentiae progressionalis Ib. quotiens erit 3ooo. radix decagonia si
' De Tabularum Iasii in aliis numeris proportionalibus &progressionalibus Arithmeticis, Gein
'-L-: rasitum & sol irum est,ulterius ad alios casus in arithme progressi is rica proportione in genere cujus definitionem videin g. 1. ingenero. cap. 3. ejugdemque progressione extendi potest, nimirum, vorasori si in aliqua progressione arithmetica detur minimus & maia inuemacur diimus terminus nec non disserentia progressionis, & qvar AD'- tur summa omnium terminorum, essicietur hoc, si disserem
128쪽
per disserentiam progressionalem & huic quotienti adda- ω
tur summa istorum terminorum datorum, ut fiat summa , ' ρ ρ σcujus di vium eli liumma omnium terminorum quae lita ibic ex. gr. inter quadratum 6r33 9. minimi termini 793. & Θν.n iaquadratum 34s3,2o7696. maximi termini s8764. differentiata, progresso- est per subtraetionem 3 R1788 7. quae divisa per disseren-- -. etiam progressionalem a9. fit Π OR443. cui si addatur Exemplum. summa extremorum terminoru DisT. fit summa II9irsi αcujus dimidium 1HU O. est summa omnium terminorum
quaesiis. S. 2. Si dentur, minimus terminus, differentia progressionalis atque numerus terminorum & 'Vatratur summa o--ων-mnium terminorum , in progressione arithmetica Stunc minό, . tim quadratum numeri terminorum dati, eodem nummo ter-renriapro
minorum diminutum, multifica cum data differentia, Seps φησι .adde producto duplum dati minoris termini , multiplica σ 'μ
rum cum numero terminorum, summa haec diminia erat ,iam quaesita summa omnium terminorum. EX. gr. SVadratum
antecedenti producto addendum pro summa 33sss l83 cujus dimidium IMPTI9Is est summa omnium termino-πEm quaesita. . . 's. 3. Si poreb dentur maximus terminus, differentia , D Progrossionis atque numerus termisorum, & quaeratur summa omnium terminorum i A duplo maximi termini , disserentia data aucto & multiplicato cum numero termi-μω- morem, subtrahendum est quadratum numeri terminorum msata. --N 3 dati,
129쪽
mero termi- dati, eum disserentia data multiplicatum, residui dimidium Q - erit quaesita sumina omn una ter linorum. EX. gr. 1 maxi- -- - mi termini 27169I. duplo F 3382. differentia data u. ancto -s 43 M. & multiplicato, cum numero terminorum Ir3 s.fi mirum 67o8srugo. subtrahatur, quadratum numeri termi . . norum dati IJ2.399o2F. multiplicatum cum differentia data
22. nimirum 3 3 3 2 7 7 8 1 F o. residui 3 3 F y F 4 3 8 3 o. dimidium
G.Modo Ι6777 I9IF. est summa omnium terminorum qua sita. inveniatu g. 4. Si dentur alicujus progressionis arithmeticae sum- maxim ima omnium terminorum, nec non progressionis differet Drs bH ἱ tia & minimus terminus, &quaeratur maximus terminus/-ώὸὰιὸν tunc illa data differentia aut est par aut impar, si par sit, minis. ,- multiplicetur duplum summae datae, minimo termino dimito Disso nutum, cum discrentia progressionis & producto addatur, δε--ao- qVadratum dati minimi termini, nec non quadratum dimi-mmum tem diae differentiae ue hujus summae radix dimidia data differentiam ηρ a diminuta erit quaesitus maximus progressionis terminus. Ex.gr. summae datae 63 Sooo. duplum Ir696ooo. minimo ter-nreatiis. mino JJ4. diminutum I269J6 6. multiplicetur cum disserentia progressionis Ir. & producto IF2ῖ477I2. addatur Ias3lo. βρ AElf q adratuna minimi termini 1 . necnon I6.quadratum ω γὼ ρ j. dimidiae differentia: o. hujuε summae Is267slo . radix quadras .is,uis ta ui S dimidia disserentia 6. diminuta iis r. est qua si-r ' tus maximus progressionis terminus, Si iusserem f. s. Si vero in praecedenti casu disserentia progressoria fit nu- nis sit impar, tunc adhuc quidem multiplicctur duplum me summae datae minimo termino diminutum, cum differentia progressionis &producto addatur quadratum dati minimitermini, sed jam hujus summae quadruplo addi debet quadratum differentiae progressionalis, ut siat summa, habens radicem qVadratam, cujus disserpntia progressionali diminutu Diuitiaco by Gorale
130쪽
nutae dimidium est quaesitus maximus progressionis termi
disserentia progressionis et9. & producto 34s428 m. addatur br88 9. quadratum dicti minimi termini 793. hujirs summae 3 s 9ii8Ia. qmdruplo Iul96 7 o8. addatur quadratum differentia progressionalis S I. ut fiat summa I;ῖi96qgag 9. habens radicem, juxta g. Io. capitis q. inveniendam, IIIJS cujus differentia progressionali 29. diminutae, dimidium 376 . est quaesitus maximus progressionis terminus. g. 6. Si detur alicujus progressionis arithmeticae sum o) nai
ma omnium terminorum, nec non differentia progression Hiumma& numerus terminorum, atque quaeratur maximus termi- mnium feranus , tunc duplo summae addendum est quadratum numeri sterminorum, eodem numero terminorum diminutum, & sic multiplicatum cum disserentia data, additornm horum vi , Nisu summa divisi per duplum numeri terminorum, est quaesi- mero ieritus maximus terminus, Ex.gr. duplo summae I6777TI9IS. m- minorum. mirum δῖysJJ38 o. addatur quadratum IJ2.399ms. dati nume- Θom ri terminorum Ir s. diminutum hoc ipis numero termino-do inveni rum, nempe Isr3866m. atque sic multiplicatum cum data . - 'i differentia 22. nimirum 33srso695o. horum additorum silm-ma 6 c8oso79. divisa per duplum numeri terminorum nu νιιhme a 69o. nimirum 27I69i. est qVaesitus maximus termitans. tisae. f. 7. Similiter si detur alicujus progressionis arithme- ticae summa omnium tertriinorum, nec non progressionisώmnis rer- differentia, numeri paris atque maximus terminus, & quae- minorum ratur minimus terminus, tunc I quaestato maximi dati te iser' iamini, dimidio disserentiae datae aucti, subtrahendum est productum multiplicati dupli summae datae, cum data disset Em in aia,residuum habebit radicem,quae dimidio disserentiae datae G Νη-