장음표시 사용
131쪽
Eimplum. aucta, est minimus progressionis terminus quaesitus. Ex.gria quadrato I 2.q7,I 4. maximi dati termini Ias a. datae differentiae dimidio 6. aucti, subtrahatur productum IIa Frooo factum ex multiplicatione dupli summae datae cum data diΩferentia, residui hujus IzIIoq. radix quadrata 348. dimidiἀdifferentiae aucta, 14. erit minimus Paesitus progressionis
Si ἀ ' η' g s. Si vero praecedenti casu progressionis dissere νε-si numerus imuar tunc addenda est haec differentia d
- - PIO maximi termJna data, atqVe ab hujus summae quadrato, subtrahendum est octuplum ejusdem differentiae progressionalis, multiplicatum cum data summa omnium terna L- . norum, residui radix, aucta disserentia progressionali , geste dimidiata est quaesitus minimus terminus. Ex. gr. disserentia 29. addita duplo 167Sag. dati maximi termini 13764. facit summam, Ii73J7. a cujus quadrato, inveniendo per I. I. cap. 4. I38Ι9648249. subtrahendum est octu plum differentiae , Q. multiplicatum cum data summa omnium terminorum, syss7ooo. nempe Productum I 8i722 . ut subtractione fact1 remaneat 2 24249. cujus radix est, IJi7. Se aucta disterent la' progressionali Is86. cujus dimidium, pys. est quaesitus minimus terminus progressionis.
f in Datis f. 9. Si porro dentur alicujus progressionis arithmeticae
summa o summa omnium terminorum, differentia progressionalis,mnium t atquc numerusi terminorum , & quaeratur minimus pro-m stressionis terminus: tunc quadratum numeri dati termia δενὸntia re norum, dumnutum eodem numero terminorum atque sic numero tem multiplicatum cum data differentia, subtrahendum est minorum. duplo datae summae , atque hoc residuum divisum per d exemplum. plum numeri terminorum,erit quaesitus minimus terminus. Ex.gr. numeri terminorum dati IZI squadratum i 2.39 11'. eouem
132쪽
e A P. Vnchdem numero terminorum diminutum IsrJ866 o. atqv sic cum data disterentia 22. multiplicatum , m2sO696O. subtrahendum est a datae summae I 67777Ι9Is. duplo 33jΠ 383O. residuum JOJ68 . divisum per duplum nume- κri terminorum 2q69O. nimirum I23. est quaestus minimus
terni inus. g. io. Porro, si dentur summa Aranium terminorum, Gomodo nec non minimus & maximus terminus progressionis arith. inveniatών
meticae & quaeratur disserentia progressionalis, fit hoc se-ρ rures o-quenti modo : A quadrato maximi termini subtrahatur M.fς . quadratum minimi termini &residuum dividatur per disses 'rentiam, quae est inter duplum summae datae, A summanti
quadrato, 3 13.2o7696. subtrahat tir quadratum 628849. mi in minorum, nimi dati termini 793. atque residuum 3 say78847. dividatur olfi minimo per disserentiam ii9cs 4 3 quae est inter duplum, summare datae I93s7ooo, & summam maximi &minimi termini s9117. i 'quotiens ry. est quaesita digerentia progressionalis.
l. ii. Si dentur summa omnium terminorum, minimus , , - . terminus, nec non terminorum numerus & quaeratur di tre-jia rentia progressionalis i tunc a summa terminorum dat mnium tori subtrahi debet minor terminus datu I cum numero termi- nra serum norum dato multiplicatus, hujus residui duplum si divida- minimo te tur per quadratum dati numeri terminorum, eodem nume- Η '. ro terminorum diminutum, quotiens erit quaesita progres' tio, istiionalis differentia . EX. gr. a summa terminorum ain a . ID T I9IS . subtrahatur minor terminus datus I23. multi- 'plicatus tamen cum numero terminorum dato IZI s. nimirum IJἹ8. 3s. hujus residui I 67623 34SO. duplianti iis p696Q. divisum per quadratum dati numeri termi, o gorum '
133쪽
- CAP. VILnorum diminutum W238668o. quotiens M. est tuaesita progressionalis differentia.
χέ Datu g. IL. Sidentur summa omnium terminorum , maxi- summa o mus terminus & numerus terminorum & quaeratur di&8πημ' rentia progressionalis, tunc summa terminorum data su malimo ρὸν. trah/tur a maximo termino,multiplicato cum numero 'te mliso π nti. minorum dato, residi duplum divisum per quadratum nu- .mero termi- meri terminorum dari eodem numero terminorum dim, nom . nutum, erit qua ita differentia progressionalis. Ex. gr. sim- Exemplum Ddita terminorum omnium I677 7I9ls. subtrahatur a ma- Fr Upq ximo termino dato 1716or. multiplicato cum numero ter xemplo sδ. minorum d4to I: ψy. nimirum SAO2, 9S. malait i676213 So. cujus duplum 3ssaso696o. divisum per Isa; 866So. quod est quadratum numeri terminorum eodem numero terminorum diminutum, quotiens χχ. est qua ita differentia . progressionalis. 9. Is. Si dentur summa omnium terminorum, maximus terminus & differentia in prognelὶione aliqua arithmet Icata,& quaeratur numerlis terminorum; tunc differentiae datae octapluna, multiplicatum cum data summa omnium term norum subtrahi debe si quadrato, quod fit ex duplo maxi- maximo tor- nii termini data differentia aucto , residui radix quadrata , m 'ἀς- subtracta a diisto duplo maximi termini data differentia au-θης' - ρ ς' at me sic divisa per duplum differentiae datae, quotiens ''' se erit quaesitus terminorum numerus, i nodo indivisione ni-
: ἡὰλ rem an serit, si divisio absque fractione peragi potu-
, γ' Ἀμ, δε erit, sive divisor dividendi pars exacte exti terit. Ex.gr. ma- cunis Gel. ximi termini dati J876 . duplum Ir71z8. data differenti 1 ay.Hf. s. m. atustum IIT s 3 7. habet quadratum Is8I96ψ8249. secundum Exempl. cor. g. l . cap. q. inveniendum, 1alvo si subtrahatur, disterentiae 'ristonians datae octuplum, e32. Imultiplicatum cum data summa omni-
134쪽
g. i . Si vero in praecedenti casu duplum differentiae da-s, Hosse tae non exacte dividat inventam juxta praecedentia radicemaevirindi subtractam a duplo maximi termini disserentia aucto, sive ssi fuerit par- in divisione emergat fractio adhaerens, quod quidem rarissime contingit , tunc eadem radix inventa dicto duplo , .hbis Ludiiserentia aucto addi debet, atque sic per duplum differen- . III. tiae dividi, ut quotiens sit quaesitus numerus terminorumo. Ex. gr. maximi termini dati q997. duplum 9994. data dis Exemplum serentia s. auctum cum habet quadratum, 99.98OOOI. aqvo sit subtrahatur disserentiae datae octuplum AO. multiplicatum cum data summa. omnium terminorum 2 99) . nempe, 9998 Oo. relinquitur I. cujus radix quadrata raddita dicto duplo maximi termini, disserentia progressio 1oli aucto, facit summam Moco. quae divisa per Io. duplum
differentiae est: iooo. numerus terminorum qVaelitus. f. Is. Si dentur summa omnium terminorum, minimus m Dis, terminus atque differentia progressionis alicujus arithmeti-summa o-cae & quaeratur numerus terminorum i tunc differentiae datae mnium ter-octu plum multiplicatum cum data summa omnium termi- minorumsnorum, addi debet quadrato disserentiae, quae ell inter duplum minimi terinini dati & differentiam progreSsioudlem θλὸis j I prodatam, summa ex hac additione facta sabebit radicem qua-ere onali. dratam, aqua si subtrahatur dicta di serentia, quae est inter Si duplum duplum minoris termini & disserentiam progressionalem , min m ' & residuum dividathr,per duplum differentiae progressiona- Vlis quotiens crit, isse quaesitus numerus terminorum, mo' oam
135쪽
n=I CAP. VILdo duplum minimi termini dati majus suerit, disserentia exempl.co - progressionali data. Ex. gr. differentiae datae n. octu pluri L. σθρη multiplicatum cum data summa omnium terminorum 63 8o . producit 6O94OSOOO. quod addi debet quadrariis cap u. tO ASA I6. nimirum differentia: 696. quae est inter minimi termini dati, 3sq. duplum P . & dictam disserentiam progressionalem, summae hujus 6O9. 89M I6. radix quadracla est 14696. a qua si subtrahatur dicta differentia inter duplum minoris es progressionalem & ressiduuin L OCO..dividatur per 24. id est duplum differentiae datae, quotiens
est Io . quaesitus numerus terminorum.
Ad plum g. I6. Si vero in praecedenti casu duplum minimi terminimi ter- mini dati sit minus, quam differentia progressionalis data, mini fuerit tunc eidem radici, differentia, quae est inter duplum mino- f, ris termini & differentiam progressionalem addi debet, hu-: bis, a/λ, lus additionis postmodum summa facta, si dividatur adhuc t=e natis. etiam per duplum differentiae progressionalis, quotiens erit Exempl. eor. quaesitus numerus terminorum. Ex. gr. differentiae datae s. συ=ondens octu plum, 4O. multiplicatum, cum data summa omni tanti um Exe --termitiorum 2499JOO. producit 999SO O. quod addidebet quadrato I. nimirum differentiae, I. quae est inter minimi termini dati a. duplum, A. & dictam differentiam progressionalem s. summae huji. 9998o ooI. radix quadrata est 999'. huic radici dicta differentia I. quae est inter duplum minimi & differentiam progressionalem addi debet, & sium-ma io ooo. dividi per duplum differentiae progressionalis Io.
quotiens lo oo. est quaesitus numerus terminorum. Pγποηθηδε- f. i7. Omnes jam progressionis arithmeticae casus, qui νώω m pro- dari possunt circa inventionem terminorum extremorum,. ἔrmo ne μ' differentiae progressionalis, numeri terminoriam & summae
WV m omnium terminorum, & propositi & soluti sunt, praeter il
136쪽
c A P. VII. Ieslas qui praeter multiplicationem & divisionem tabulariam re νε nostram de coetero de compendiis tetragonometriae tabu- ς ψμμm lariae nil amplius participant, quoniam vero paucis etiam illi casis expediri possunt, ut haec progressionis arithmeticae materia, quae & tabulis & nostris, &cubicis, & logarithmicis & aliis quibuslibet sua largitur fundamenta , plenius pertractetur , nec quicquam a curiosis hic desiderari possit, prς primis si alia exempla sibi ipsis exercitii gratia proponere desiderent, casus illos brevissime S proponam &solvam, ab exemplorum per 2 facillima applicatione abstinendo. g. IS. Si itaque dentur minimus terminus, differentia & 'Venust
numerus terminorum, maximus invenitur terminus, si nu-
metus terminorum unitate diminutus multiplicetur cuia differentia dc producto addatur mi imus terminus. f. I9. Si dentur maximus terminus, differentia & .
meru S terminorum, nummus invenltur ic inus, si nume- - i
gus terminorum multiplicetur cum disterentia & productum subtrahatur a maximo termino, differentia aucto. S. 2O. Si dentur maximus & minimus terminus, necnon Isentistris
terminorum numerus, differentia invenitur , si minimustri, iaeterminus subtrahatur a maximo, & residuum dividatur per numerum terminorum, unitate diminutum. g. ri. Si dentur maximus & minimus terminus, nec non
differentia, invenitur numerus terminorum, si minimus ter' norum minus subtrahatur, a maximo differentia progressionali aucto,& residuum dividatur per eandem disserentiam progressionalem f. 22. Si dentur madiimus & minimus terminus nec non divent o
terminorum numerus, invenitur silmma omnium termino-Dimm e
etum, si dimidia summa minimi & maximi moltiplicetur in numero terminorum, modo ista suinina sit numerus 'ρ μ'
137쪽
Inventio termini maximi alia Lusentio mi
par, nam si impar sit, tota illa summa multiplicari debet cum
dimidio terminorum numero. g. 23. Si dentur minimus terminus, terminorum numerus & summa omnium terminorum, maximus invenitur terminus, si numerus terminorum multiplicetur cum minimo termino & productum subtrahatur a duplo summae omnium terminorum, atque residuum dividatur per eundem
numerum terminorum. f. 24. Si dentur maximus terminus, numerus termino-
mmr termin rum summa omnium terminorum, minimus invenitur terminus, si maximus terminus multiplicetur cum numera terminorum, & productum subtrahatur a dupIo summae omnium terminorum , atque residuum dividatur, per eundem terminorum numerum ..DνeMio nu- f. 2J. Tandem si dentur, maximus & minimus termi- meri termi- nus, nec non summa omnium terminorum , numerus terenorum συσ- minorum invenitur, si duplum summae omnium termino rum, dividatur per summam maximi & minimi termini. f. 26- In proportione Vel progressione geometrica quid. possit nostraTetragonometriae tabularia jam parumperqui Tendunt est Iup=Qνιμ g. 2I Missas aliis in progressione arithmetica quam plu- sone Geo- rimis, pauca quaedam circa progressionem geometricam metrica t ' proponam, ubi statim Tabulae quadratorum vel ob hunc si '.' tum usum proportionalium geometricorum, maximi sunt inomenti, nihil enim fere in tota Mathesi crehrius occurrit, λυ/ssium.- qVdm inVentio medii proportionalis, quod ipsum calculo pγορον- aliter determinari non potest, nisi ut data eYtrema secum tionalsi Geo- multiplicentur, &ex producto radix quadrata extrahaturi In rara quain facilis autem sit extractio radicis per tabulas superi βcapite quarto abunde demonstratum est. Ex.gr. inter in & 9 medius
138쪽
CAP. VII. muedius proportionalis est 6. quia qVater noVem fiunt 36. cu- a. Exempti jus radix quadrata 6. est qVaesitus medius proportionalis ; Si 'ρμηπυ σmiliter inter duos numeros 96oI. & 29929. medius proportionalis est 344 . ita, ut sinhabeat l96oi. ad 34 1 . sicut se, habet 34 27. ad 29929. Vel vice versa, . 299 29. se habet ad 3 r7. sicut se habet 3 4 27. ad s96ΟΙ. quia extremi dati numeri secum multiplicata, producunt HSi.2I8 29. cujus radix . quadrata est ut lii pra 3 427. in tabulis. I. 18. Porro etiam tertii proporrionalis inventio per 'Inventio Rabulas quadratorum facillima est, quia secundi termini rer-- quadratum divisum per primum terminum est quaesitus ter 'm P vstr tius terminus. Ex. gr. secundi termini dati, 6. quadratum R g ρ'.ςst 36. quini per terminunt primum . divisum emest q- 'tientem P. quaesitum tertium terminum, similiter feetitidi φ's
f. 29. Sic facile continua progressio geometrica fieri Trium pra- potest in infinitum, si tertio propottionali invento porro Pstr Mησώ- invenia r quartus, perlecundum & tertium , & sic quarto in Venro deinceps quintus inveniatur, per tertium & dbae
sic deinceps, semper quaerendo duobus prorime an-.quoiqoetecedentibus tertium proportionalem quousque libuerit, Iibuent. summam vero omnium eterminorum compendioseHnvenire Θυοmori licet, si dividas siecundum terminum per primum, ut ha. In Penia urbeas sic denomina rorem proportionis, hoc est, secundum , o quam rationem.ex. gr. duplam, triplam &c. vel aliam ova ' 'lemcunque, progressio facta sit , denominatore sic invento, 'zἡ
porro dividenda est differentia inter maximum & minimum geomet uae. progressionis terminum, per dictum denominato reta uni- date diminutum, quotiens maximo termino auctus est quae sita
139쪽
Πx ea P. VILsita summa omnium terminorum, quod quidem hic traditur, non, demonstrandi alicujus singularis compendii gratia, quod tabulis quadratornm praeter divisionem tabulariam accrescat, sed invidiae declinandae causa, & ne geometrica progresso conqueri possit, ipsi denegatum esse, quod arithmeticae concessum suisset. γλ.bismisit, g Q. LX vero summa geo myrice progressiona inim νο miraculo numerorum colligit Clavius singularem eorundem affectanti ad citonena, regula VII. proportionalitatis Geometricae, in Eu- magis a/- clidis sui Libr. V. def. q. pag. mihi Ai6. quam incredibilem, mira consideratione dignam, imo miraculi quodammodo ess . 'Pq' ibidem depraedicat, circa quain affectionem plura miraculosiora deducere ingratiam tabularum nostrarum hic pla
Dinisa . I--detur itaqVe denominatio progressionis seu promisium ιem portio si .e.qVam multiplex sit terminus consequens, sui an- minorum, tecedentis Vel quota sit ejusdem pars vel quot constituat Oextremor m jusdem partes, de quibus Vide definitiones 3. 4. &F. VII. multipoc ' Euclidisu nec non terminorum numerus,& quaerantur in .s. ximus& minimus terminus, qui secum invicem nultiplica--bis' is s. ti efficiant, simul summam omnium terminorum , ad hoc Iu essepsis Zproblema solvendum Clavius d. l. praescribit iter longissimum, nos vero seqVens via multo brevior, tum ad digniora Arithmeti consideratione, tum ad egregias Cossidarum quanti ratumio vi ρ proprietates deducet, adeo ut nullus dubitem, quam pluriticis ma ex hoc sonte hauriri posse, eroum, de quibus integrum
me,lio. opus conscripsit Ismael Bullialdus sub titillo operis novi Λ-rithmeticae infinitorum, Libris scx comprehensi, cujus Authoris faciunt mentionem Acta eruditorum sub Anno i 683. Pag. 2o3. quanquam ipsum Authorem inspicere hactenus mihi non licuit , bolutionis vero meae fundanacri
140쪽
c A P. VII. Viis rum pono, niam erum Trigonium seu triangularem, per g. Solutionis . cap. VI. inveniendum quemadmodum etiam dict. Bullialdus citato loco Triangularium numerorum usum per Σ' petuum depraedicat J & quantitates cossicas continuatiplicatione crescentes. t irates
g. 31. Duplum enim illius numeri triangularis, seu trigonii cuj' radix trigonia est data proportio,unitate auctum, Solutio isti erit qua itus maximuS terminus trium proportionalium. 0 Si rei quorum summa est aeqvalis producto ex multiplication mῶν'. maximi termini cum minimo, qui semper fle universaliter ratione plurium terminorum, erit inventus maximus per quadratum datae proportionis divisus : Idem erit pro maximo termino inveniendo, si Cubus unitate diminutus dividatur per proportionem unitate diminutam. f. 33. Duplum vero ejusmodi numeri trigonii, cujus ra-99 Si vis. di x trigonia est data proportio, auctLm tinitate & insu ortermivi per Cubo datae proportionis, vel, quod idem, quadrato 3 cmM'. cum ipsis proportione multiplicato, erit quaesitus ma- si rviat
ximus terminus quatuor proportionalium, quorum minimus fit rursus dividendo maximum per quadratum proportionis data, & quorum summa secundum conditionem reisqvisitam est aeqvalis producto multiplicatorum secum existremorum terminorum , Idem maximus terminus invenietur etiam si dictum duplum trigonii numeri unitate auctum, multiplicetur cum data proportione & producto addatur unitas ; Adhuc etiam idem maximus terminus invenietur, si data: proportionis quadrati quadratum D id est, 'nsi 'κβιZensi Zensus,Junitate diminutuna,dividatur per proportio-q- enem datam & unitate diminutam. , φέ. Idem adii hic duplum numeri trigonii, auctum v 's V η'
nitate, insuper Cubo proportionis datae, nec non qVadrati Ihiis,. P quadrato