장음표시 사용
181쪽
erit Rcsiduum quintum in ea. Res tuum primum, sici Quoniam a b dupla est ad b c ideo quadratum ipsius a b. qua di plum erit ad quadratum ipsius b c Sed per penuutimam primi Elcmentorum, quadratum ipsius, . aequale est quadratis a b b c. sinu sumptis igitur quadratum Psius ac & ideo ipsius c d quincuplum erit ad quadratum ipsius c. Cumque bc per hyp sit rationalisci erunt di. potentia tantam rationalis c. longitudine rationalis: qitare, per distin harum, excellus Ud Residuum quintum erit' quandoquidem dc potentior quam b. in quadratolini e sibi inccra mensui ab ilici Igitur ii ipsi bi aequalis d. Residuum quintum erit. Atque ideo, per sexagerimam primam huius, quadratum ipsius bi erit residuum primum. st autem quadratum ipsius b4.aequale rectangulo a. s. icitur quod fit ex Na in ipsam me residuum primum est. Sed quod fit exi a in a e. diuisum ina a rationalem, exhibet ipsam ae. Ergo, per sexagesimam quintam huius, a,.quotiens diuisionis, est commensurabilisi cognominis ipsi diauilae, hoc est, quod si exi a in ae. quod est residuuin priamum Itaque ae Residuum primum est quod restabat
demonstrandum. Quae .lcmonstrario , ad omnem quant intcni transfertur sicut inferti rosolitio. PRo post Tio ro '
Si maior portio quans uti sciun im extremam mediami, Lanionem diui aestim trationalis remor erit sit iduum Kntum. Si quantitas fg ut proponitur, diuisa in partes h. hyponaturque I maior portio rationalis. Dico, quod cliqua ili erit Residuum quintum Ponatur enim rationalis mi antitas ab sic diuisa in partes Ne ea. Eritque per praecindentem, maior pars ,e residuum quintum,&reliqua ea. residuum primum. Cumque, propter proportioncm similem, it sicuti a. ad ipsa mi e sic sit ad ipsam h g. te mutatim, sicuti a. ad ipsam sit sic Me ad ipsam h g. atqueb a. sh sint inter se coria mensurabiles, quia rationalcs; erunt per quadragesimam octauam huius, ipsae b e. h ninter se commensurabiles Sedi e residuum quintum. Igitur per sexagesinam quartam huius, hi residuum quintum erit. Cucd suit demonstrandum.
182쪽
PRO postri Io 1'. Si minor orti qu rutilas ste dilis extremim me mirationem diuisae, uerit ratibnalis, nor erit binomium ιvitam. Sit quantitas Q ut proponitur,diuisito partes sti h g. ponaturque minor portio gli rationalis. Dico tunc, quod sit maior ortio erit binomium quintum P mitur enim quantitas kl. similiter diuila, in im nil cuius maior portici Em strati sic eritque, per pr aecedentem, i m. Iiqua portio residii una quintum. Sed propter si milem proportio-n m. sicut lim ad ipsam in h. sic gh ad ipsem lis Ergo pecdecimam quintam sexti, quod fit ex Pin. h s. aequale est eiuquod fit ex in h. ili rationale autem quis i. ex min. gh. quandoquidem ipsae rationales. Igitur quod cx Lm .h fratili. Ole est. Sic ergo i m. Residuum quintum multiplicans ipsam h f producit quantitatem rationalem. Quare , per septuagesimam septimam ipsam, si s multiplicata quantitas, erit binomium quintam: quod ostendendu proponebatur.
COROLLARIUM.1 inc inani semim est, quod si tota linea sic diuisa , siue
utra libet portionum ponatur potentia tantum rationalis, adhuc portiones erunt, quae dicae sunt, irrationales, scilicet Residua, hi nomium . Nam si duet meae, una rationaris, ct altera potentialiter tantum rationalis sic diuisei fuerint, propter proportionem eandena portiones huius portioni tmς illum ore qu id ragesimam octauam commensurabiles
potentialiter erunt: Sc idcirco per sexagesimam septimam eiusdem geheris curii illis. Similiter si portio maior illius
rationalis,ac portio maior huius potentia tantur rationalis ponatur, tunc relique portiones erunt residua. Si vero minor portio illius rationalis, ac minor huius potentia taα- tum rationalis sit, tunc maiores binomia erunt sicut inseri corollarium. P Ropos ITI IO , Di Srci, culus, cuius uiameter rationalis circumscribat tria Miam, quadratum, rhexagonum aequilaterum: solum latus baragoni rationala est: latus ero tam triaurusii, qιὰπ irati
183쪽
Potentialiter tantum rationale dongitudine incommen ἰsurabile ipsius circuli diametro Patet: nam latus hexamni aequale est semidiametro circuli circumscribentis , ut in quarto Elementorum ostensum est Latus autem triano tilipotentialiter triplum 'atus vero quadrati potentialiter duplum est ad semidiametrum:qua rationes cum nequaquam linuicut numeri quadrati ad numerum 'quadratum , iam per secundum Corollarium quinquagesima tertia huius,l ter talia incommensurabilia sunt semidiametro, & perinde diametro sicut proponitur. Talis autem laterum ratio iiii decimotertio Elementorum commonstraturi.
Ut manifestum est simul, quὁd latus triaguli ad latus qua
Uratra eodem circulo descriptorum potentialiter est seoqiualteium,ela perinde in commensurabile b circulus,cum diameter rationalis circumscribat decasso mιm,pentagonis octog-um,atque Mecago inqui iterum: tunc latus decagoni erit 'siduum. quintum, latus penta -m nor alussctogoni minor, latus deca De lateribus decagoni ' pentagoni ostensum est in decumolertio Elementorum de lateribus autem octogoni dodecagoni ostensum est in speculationibus nostri. sed ex . ni demonstrationibus hae regulae deducuntur. .
E G. V L AE. O Vando triangulum, quadratum, hexagonum deca finum, seningonum,octogonum, lodecagonum in cir-
gulae inueniendi huiusmodi figurarum latera uia.
inradratum lateris quadrati, hoc est, ipsum quadratum descriptum, suptum est ad quadratum semidiametri. Latus texagoni aequale est ipsi semidiametro. Latur I
184쪽
Latus decagoni est residuum quintum cuius maior po tio potentialiter sesquiquarta est ad semidiametrum Minoe vero portio est dimidium semidiametri. Quid ratum lateris pentagoni est residuum quartum,cuius maior portio est dupla sesquialtera ad quadratum semidiametri minor vero portio potentialiter equisquarta ad quadratum semidiametri. Vnde latus ipsum linea irratio innalis erit, quς, MI NOR. Quadratum lateri octogoni est etiam Residuum qua tum , cuius maior portio dupla est ad quadratum semidiametri minor ver portio potentialiter dupla ad quadratum semidiametri. Vnde latuscipium octogoni, sicut pentagoni, irrationalis erit, quae, MI NOR. Latus do lecagoni est residuum sextum, cuius maior po tio potentialiter selquialtera est ad semidiametrum minor vero potentialiter sub dupla eiusdem semidiametri.
Srs'bara,cuius diameter rationalis , circumscribat arunque solida regularia stans pyramidis, quam octahedri iubi latus
potentia tantum rationale est. ipsis diametro longitudine incommmsurabile latus autem icosabe , Orestatus veri dodec hedri, Residuum sextum . Patet: nam latus pyramidis ad se midiametrum potentia est, scuta. ad 3. latus octahedri duplum, latus cubi sesquitertium, latera duorum reliquorum irrationalia, sicut in tertiodecimo Elementorum ostensumi est. Unde regulae sequentes. .
dodecihedrum in sphaera, cuius diameter rationalis, describuntur; hae sunt regulei inueniendi huiusmodi solidorum latera singula. Quadratum lateris pyramidis duplum supei partiens duas tertia est ad quaaratum semidiametri. Quadratumi
185쪽
Quadratum lateris octahedri, duplum est ad quadratum semidiametri. Quadratum lateris cubi,sesquitertium est ad quadratum
Vnde manifestum es quod latus Pyramidis ad latus octa, hedri potentia sesquirentum ad latus ubi duplum, delatus octahedri ad latus clibi sesquialteri . Quadratum lateris icosahedri est residuum quartum,c ius maior portio dupla est ad quadratum semidiametri: minor vero portio potentialiter subsesquiquarta ad quadratum semidiametri. Vnde latus ipsum erit retarionalis,quae
Latus dodecthedri est Residuum sextum , cuius maior portio est potentialiter superpartiens duas tertias ad semidiametrum , minor veris portio subtripla eiusdem semidiametri. Ex quo calculo sequitur, Ingeniosissime Lector , ut sicut quadratum lateris hexagoni liue semidiametri cum quadrato lateris decaeoni coniunctum conflat quadratum lateris pentagoni uc in solidis in eadem priueri descriptis, quadratum lateris pyramidis, cur quadrato cubici lateris simul acceptum, constituit quadratum paericae di metri. Item sicli in circulo, semidiametro liue latere hexagoni secundum extremam , mediamque rationem diuisa, maior portio est decagoni latus cita in sphau , latere cubi similiter diuiso, maior portio erit dodecahedri latus. Quae omnia quamquam demonstrata sunt in Elementis Geometricii, tamen ex ipso calculo apertissime notescunt.
186쪽
LIBRI SECUNDI, PAR II. 7 ILATERA FIGURARUM
mi intum Minorvcro. 3. m. r. c. pri mum Ilcm si linear. t Iimiliter diuidatur, maior eius portio erit r. 6. E. r. Irresiduum sextum Minor, o. r. I L. m. n. O. PRO post TI IOp .
Si circuli pentagonu aequilateru circuscribentis diameter fusrit linea irrationalis Amor comensurabιlis minori propriri tunc latus pentagoni erit 'siduum quartum. Si aut latus Pentagoni Ionatur Rationale tunc diameter erit irrationalis, quae . s dor, Si demum latus pcntagoni ponatur maior prae si
187쪽
commensurabilis tunc diameter erit binomium . Sit a. linea circuli diameter rationalis b. autem linea latus pentagoni in eo circulo descripti. Eritque per Io7 pr cedentem, b. minor. Rursum ponatur c linea minor ipsit commensurabilis diametro alterius circuli, de latus pentagoni in circulo c. descripti sit linea d. aio, qudd linea d. est residuum quartum. Cum.enim diametri circulorum snt lateribus si milium figurarum circumscriptarum proportionales, erit, scuta. adb sic ad . . Quare, quod fit ex a. ind. a quum
erit ei, quod exi in c. Sed id, quod ex b. in est Residuum
quartum perieptuageumam primam huius, quoniam tac. sunt minores inuicem commensurabilesci igitur, quod fit
ex a in d erit Resduom quartum.Cumq; idipsum diuisum in a. rationalem exhibeat in quotiente piam d. erit d. perseragesimam quintam huius, Residuum quartum dc haec est prima pars propositi. Deinde ponatur d. latus pentagoni rationales tunc dico, quod . diameter circuli circumscribentis ipsum erit maior. Nam propter dictam propo rionem diametrorum od laterum,etit quod si texad.ectuum ei, quod exi c. Rationale et autem , quod flexa d. quoniam a d. rationales ponuntur. Igitur.rationale est, quod
fit exi sed hoc diuisum per . Minorem reddit ipsam c.
ergo per centesimam secundam huius, . Maior est ipsius b. Minoris correlativa. . hoc est, quod secundo loco proponebatur Demum ponatur il latus pentagoni Maior, phus b. cori elativa, hoc est, commensurabilium & proportionalium nominum tunc aio,quod cidiameter circuli circumscribentis ipsum, erit binomium. Namque, ut prius , erit quod fit ex a d aequum ei, quod ex b c Sed quod ex . ra tionali in . Maiorem fit, per sexagesmam tertiam huius:
Maior est ipsi d. Maiori commensurabilis. Igitur, quod sub c. Maior est proportionalium de commensurabilium nominum ipsius' nominibus commesurabilium. Verum hoc diuisum peri Minorem, per octuagesimam quintam, hibet binomium, exhibet autem ipsam c. Ergo c. Binomium:
188쪽
Qua Psi pro latere pentagoni: sumatur latus octogoni rve mire aiametro circuli, sumatur diameter sphaerest de pro latere pentagoni latus i salitari eadem omnia, quae proposita de demonstrata sunt, sequentur. Nam per ior praecedentem , posita diametro rationali, tam latus octogoni in circulo talis diametri, quam latus ico hedri in tali diametri sphaera descripti, Minor est, peti reimussiam,
PRO Pos I Tro 'dii' S circuli decagonum aequilaterum circumscribentis diam te fuerit Residuum commensurabile Residuo proprio tunc latus decagoni erit Residuum primum. Si autem latus decu m ponatur rationaler tunc diameter erit Tinomium: commens rabilium nominum Residui propri nominibus. Si demum latus de goni ponatur binomium commensurabilium nominum Residui propris nomnibus retunc diameter erit binomisma primum. Sita linea Circuli diameter rationalis b. autem linea latus decagoni in eo descriptici eritque , per praemillam Io7 b. residuum quintum. Rursum ponatur c linea Residuum ipsi . commensurabile, diameter alteriu circuli. Et latus decagoni in circulo c. descripti sit linea d. Dico tunc quδdra erit Residuum primum. Nam propter propor tionem harum quatuor linearum , erit, quod fit ex ad. aequum ei, quod ex bc. Sed quod ecbtant, per septuagesimam primam huius, est Residuum primum quoniam
c. sunt residua inuicem commensurabilia . Igitur quod fit ex avi. Residuum primum est. Quod diuisum in a. r tionalem, cum exhibeat in quoriente ipsam d. Erit d. per sexagesimatri quintam huius, Residuum primum. Et haec est prima pars propositi. Deinde ponatur d. latus dec
soni rationale: timc aio, quod c diameter circuli circui scribentis ipsum erit Binomium habens nomina commensurabita ipsius b. Residui nominibus. Nam propter ductam proportionem diametrorum de laterum erit quod fit ex ad. aequale ei quod fit ex b c Rationale est autem, quod fi ex ad . quoniam a d. Rationales ponuntur lo-
189쪽
tu Ratioriale est, quod exi c. Sed hoc cum diuisum eth. Residuum exhibeat in quotiente ipsi c. erit per eptuagesimam nonam huius,c.binomium commesurabilium
nominum ipsius b.diuiseris nominibus quod secundo' co propoliebatur Demum ponatur . latius De goni bis nomium commensurabilium nominum ipsius b.residui nominibus: Dico tunc, quq. c. diameter circuli circumscri- . bentis ipsum, erit Dinomium primum. Nam licut antea, erit, quod fit ex ad equum et,quod exi c. Sed quod ex a. Rationali in d binomium fit,est, per sexagesimam tertiam huius binomium ipsi d. binomio commensurabile igitur quod sub b c binomium est nominum commensurabilium ipsius b. Residui nominibus4 Cumque hoc diuisum per b. residuum exhibeat in quotiente ipsam c. iampridem per octuagesimam tertiam huius,erit c. binomium primum αhoc est tertium, quod restabat demonstrandum.
ubd si pro latere decagoni, sumatur latus Doderagoni: vel si pro diametro circuli, sumatur diameter sphere, iro latere Decagoni latus Dodecahedri eadem omnia que proposita hic kostensa sunt, similiter sequentur. Nam,perior posita diametro rationali,latus do decagoni Residuum sextum. At per Io 8,latus dodecahedri adhuc idem resi
duum est. Denique tam super lateribus isopleurarum figurarum, tam planarum, quam solidarum , quam super earum perpendicularibus,quam ctiam superlinee: media extremaque iatione diuisς portionibus pollent sermari vari ac penerinfinitet qui stiones nunc videlicer circuli diametrum, nunc latera, nuc segmeta supponedo irrationalia, nunc cuiusuis species aut ordinis irrationalia sic igitur in immensa, atque inextricabilem irrationalium sylvam, videlicet trinomia, ruadrinomia, mediates secundas, tertias, ceteras,quq innitae sunt. Qui tamen ex ipso calculo curiosis notescere polliunt. Noris satis sit hactenus procellit se praxi inquet decinis
190쪽
decimi Elementorum c monstrasse, a multa ab Euclide omissa conclusisse. Cetera relinquo curiosoribus . Sed obscura, minusque necessaria minus curanda sunt. Quod Cicero in ossiciis precipere videtur. Libri secundia meticorum eo aurMyci finis hora decimaoctaua, diei Sabbati, qui fuit Iuli,1 ' cum Icessana cum multo pontis O arcus apparatu expectaretur Io. Cerda, . I etb3nensium Dux,