장음표시 사용
161쪽
Quare peris 3 ipsa d. potentior erit quam e. excella, cui radix est commenturabilis ipsi L Cu ipsaru Le potumiae sint
kl. Itaque per dissinitionem totum e. binomium primum etapsita cicomen Iurabile, quod erat demonstrandu Si militer pro binomio secundo, pro tertio pro demus. Et pro quarto quinto uexto ostendemus, quis imaior po tio potentior est minori in quadrato radicis sibi incomensurabili, syllogizates per fioxii, per portione versam. Sed
per 32 443'adducemus duo corollaria sequetia, quae agut de incomensurabilibus quandoquide, in ' u de ' binom ijs, maior portio potentior est. minori in quadrato radicis siby incomeninrabilis.Ite pro tertio sexto binomijs,in quibus potiiones sunt potentia in rationales, ad ostendenda portion in ipsarum inc5mensurabilitatem, citabimus 8 huius. Similiter, si a. rationalis multiplicet Residuum cuius membra sunt E ac producat illa ostendemus strae ethresiduum ipsi bd commensurabile eiusdem speciei. Quod enim demonstratur de membris binom ij, demonstratur de membris correllai tui residui quandoquidem in distinitionibus sortiunt easdem conditiones. Recte igitur idem de utroque proponit ut demonstrandum ...
Omnis quantitas Rationalis multipli an quamlibet irratis-nalium quantitatum, siue bimembrem,siue eius corellathia residualem,prodiecit eiusdem generis irrationalem ac multiplicatae commensurabilem . Haec est generalior praemissa ibi enim de Bino mi, ac residuo chic vero de qualibet duodecim irrationalium agitur. Itaque sit exempli gratia, rationalis a quae multiplicet b.bii crediat secundum, producat C. Aio,q, c. est Bi mediate secundum apsim commensurabile.Sit enim ipsius .quadrato d.quod rationale erit, atque ipsius b. quadratum sit e. quod, per quinquagesimamoctauam huius, erit B inomium tertii Deinde diam ultiplicans e faciat ipsam feritq; per praecedente, binoini tertiu Sed per corollari v. I huius f. quadratum est ipsius et ergo per s7 huius ta ra-
.dix ipsus f. binom ij tertij,erit bimediate secundum, qdfuit
propositum Eadem penitus argumentatione uteris pro re liquis irrationalium generibus, tam bimembribus, quam residualibus. Sed in rei dualibus, pro quinquagesima octava, s citabis sexagesimam primam , sexagesimam, quide siduis loquuntur itaque constat veritas propositionis.
162쪽
Omnis quantitas commensurabilis cupiam ex irrationalium ordine, en eiusdem generis irrationalis. Et habet eidem propor tionalia oecommensurabilia nomina. Esto a quantitas , quaepiam, vel potentia tantum rationalis, vel mediatis, vel bimelaris, Due residualisci ipsiq; a commensurabilis esto b. Aio, quod b. est eiusdem generis irrationalis, cuius a. Diuidatur enim b.in ipsam a. proueniati eritque per FI huius c. rationalis.Cum Nero quoties in diuisorem producat diuisum, iam c. multiplicans a. facit ipsam: .Rationalis autem c:Uitur per o huius, si a sit uni membris quantitas, si bimembris,vel residualis, per praecedentem,erit b.eiusdem generis, cuius a. eidem commensurabilis quod est propositum Qubd autem b.habeat nomina proportionalia io mensurabilia nominibus ipsius .constabit, si qua secatur a. eadem rone in ebra secetur i. qd erat propositionis reliqum
Omnis quantitas irrationalis diuisa per quamuis rationalem, exbibet in quotiente quantitatem sibi cognominem commenserabilem .Exempli gratia,b.quantitas irrationalis, siue uni- membris, sue bimembris, siue residualis, diuidatur per c. rationalem, de proueniata. Dico,qubd a. est eiusdem gen Iis, cuius b. ipsi commensurabilis Pilam cum diuis br in quotietem producar diuisum: iam c.in a.ducta, faciet ipsam b. Ducatur ipitur c in ipsam d. sibi aequalem I producat ipsam .eritque e rationalis: me primam sexti, sicut d ad
a. sic .ad b.Erpermutatini, sicut d .ad .lica.ad b. Commemsurabilis autem est d. ipsi e quoniam traque rationalis. Igitur Per 8 huius, elia commensui abilis ipsim quare , Per precedentem,eriet 4.eiusdem ueneris, cuius ipsa b. supponebatur quod erat demonstrandurm P Rosos I Teto r, , . Omnes duae quantitates inuicem commensurabiles coniunctae
conficiunt eiusdem generis quantitatem sibi Eommensurabile. Sunt a b quantitates inuicem commensurabiles inici, quod totum a b erit quantitas eiusdem generis, , Vtrique ipsarum ab commensurabilis. Quod enim a b. totum ipsis a b sinsulis est commensurabile, constat, per quadrages-mam sextam huius. Quod autem eiusdem generis cum ipsis. constat per premissam sexagesimam quartam: constat ergo totum propolitum.
163쪽
Vnde manifestum est, quia aggregatum ex quotcunque quantitatibus inuicem conamensurabilibus, in singillis a tibus comminisurabile eiusdem generis cum iidem. PRO Post Tio 43 . Omssis quantitas potentialiter commensarabilis alicui ex la
ration.rtibus, es eiusdem geηπisqnantitas. Sit exempli gratia, quantitas a.bmu'diale se dum: sitq; ipstan.potentialiter co- mensurabilis ipsa b. Alinquo b. est etiam bimediate secun- luna.Sunto enim quadrata ipsius a. ipse .atque ipsius'. ip- sed .Eritquc per 3 auius,c.-omium tertiam: commensurabilis autem est per hyp ipsi c. ipse d. Iritur per j huius d.binc mium tertium est.Sed ipsos d.radix ipsa b.est. Ergo, po in b.himediale fecitndum erit. quod fuit demonstrandum. Similiter in caeteris irrationalibus, tam bimembrib quamcresidualibus constabit propositum.
PRO Post Tio 8 . Omnis quararitas potentia rationatis vlitosscans siquam exriationalibus roducit crusdem generis quantitatem. Exempli gratia,a. quantitas potentia rationalis multiplicet b. bi- mediate secundum,&producat Aio,quod bimodiale secundum. Nam,perdiff.mnitiplicationis, sicut est a. mul. tiplicans ad positam ratio dem, si c.productum ad b.multiplicatam. Sed a potentialiter commensurabilis est positae rationali per hyp. igitur per huius i. si' potentialit: commensurabilis est. mq, b. tithimediate secundum, erit, per piae cedrntem,c scibimediate secundum quod fuit Ostendendum. Non aliter in singulis caeteris utriusque ordinis irrationalibus constat propositum. P Rosos I TI cs'
Om s quantitas irrationalis diuisa in quantitatem potentia
rationale ea tau et in quotie.rte quantitatem sibi cognominem. Exempli gratia,qliantitas, .potetiatio rationalis, diuidath. himediale primum, o pro neniar c. aio AE c. est binaediale Primum.Nam per distin . diuisionisaicut est diuisor ad positam rationalem, sic est diuisa, ad c quotientem . Scila potentialiter commensu; abilis est positae rationali pernuo testimo ergo i . cientialiter commensurabilis
164쪽
est ipsi c. per 3 huius. Sed b.bi mediale primum. Igitur ut e bimediale primum per 66 praemissam quod fuit ostendendum. Et eodem syllogismo per singula irrationalium
Duae quantitates bimembres eiusdem generis inuicem eom mensuraDiles, per ordinem sex irrationalium sumptae, inter se multipli atae, producisnt singulas binomis species. Quod 33 propositio de quadrato,haec de producto irrationalium concludit. Sunto, exempli gratia, a b singulae quantitates bime-dialia secunda , inuicem commenturabilia. Quarum punctium sit c. aio, qubd c est binomium tertium. Sit enim ipsi aequalis quantitas d. ix a in d.fiat e. Eritq;'.quadratum ipsius a. perinde binomium tertiu per Is 'huius. Et quoniam, per primam sexti, sicuti ad d.sc c. ale. ipsa b ipsid per nyp.commensurabilis est idcirco, per S huius, i.
ipui. commensurabilis erit Sede. binomium tertium: ergo, per 6 βωc binomium tertium est quod fuit demonstrandum. Quod si a b. ponantur binomia commensurabilia, erite binomi uirimu . Si autem ab bimedialia prima commensurabilia: hince.binomium secundum. Si maiores, binomiuquartum. Si potentes rationale ac mediate, binom tu quintum rapotentes duo mediatia, binomium sextum essed monstrabitur sicut propositio concludit.
Dua quantitates residuales eiusdem generis inuIcem commen'rabiles, e ordinem Raegenerum sumptae inter se multiplisat producuntsingulas residui peries. Quod i propositio de quadrato, Lecp sens de producto residualium concludit. Itaque sicut praecedens ostensa est per 38 8' lae ita praesens propositio per i* 834 6e eodem proces αἰ
Duae quant tales bimembres eiusdem generis potentialiter inuicem commissurabiles, inter se multiplicatae,producunt binomia. Exempli gratia sunto a. h. bimedialia secunda potentialiter inter se commensurabilia, Meca in b. fiat c. aio, quod c. binomium est Ponatur enim d. ipsi aequalis Meva.
165쪽
in id fiat e quod per 18 erit binomium.Verum per primania sexti, sicut b.ad d. sic c.ad . l. commensurabilis potensialiter ipsi ci igitur, per 3 is c. commensurabilis potentialia te ipsi e Sese.binomium Nergo, per 2 huius c. bino-mium erit: quod scit ostendendusti. Similitet siue ab sint binomia, siue bim dialia prima , siue ex tribus generibus resiquis esse supponantur, semper c binomium demonstrabitur. P Ropos ITI 73'. me quantitates rsiduales eiusdem generis inuicem potentiachmmen urabiles, inter se multiplicatae residuam producundi. Exempli gratia, a. i. residua medialia secunda inuicem solentialiter commensurabilia in eva in b. fiat c. Aio, pe residuum est. Ostenditur hec omnino sicut praecedens: hoc
Omne binomium in 'siduum eorundem nominum multiplia
tum, producit quantitatem rationalem. Esto binomium, cuius maius membrum a b.minus vero b c. Mox ipsc b.aequa lis esto b d eritque ad residuum eorundem nominum , hoc est excessus eorundem membrorum. Itaque ostendendum est, quod si ca. binomium multiplicetur in a d .producetur quantitas rationalis. Cum enim a c. sit aggregatum quantitatum duarum a b b c atque actit disterentia eorundem,
constatque per quintam secundi Elementorum 'ubd ex ductu aggregati radicum in disterentiam eorum producatur disserentia quadratorum clam illud, quod sui lex a c.in tysam a d .erit excelsus, quota ipsius a b. excedit quadratum ipsius bc Verum, per distin binomij huiusmodi quadrata rationalia sunt; igitur talis excelsus rationalis est. Quare rationale est, quod fit ex a c. in a d. quod sui demoth,
Omne binomium in Residuum proportionaliam ct commemsurabilium nominum multi . licatum,iroducit quantitatem rationalem. Sunto duo binomia, residuum a. o. quorumn cInina maius maiori, & minus minori propoitionalia si it
166쪽
sines comen sutabilia, Me ductu a. in b. fiat c. Aio, quὁd c. rationali est. Ponatur ipsi binomio aequalia nomina habens Z residuum Meca in L fiat e qudd per praecedentem erit rationale. Cum autem V sicut residua proportionalium ci commensurabilium nominum, erunt b d inter se commensure biliaci sed per primam sexti, sicut b.ad d. sic c. ad e. Igitur per quadragesimam octauam huius c. commensurabilia ipsi e Cumque e sit rationalis, erit x rationalis. Si cui demonstrandum suit.
PRO Pos ITI p. si Σ:nomium multiplicans aliquam quantitatem,pro urerist quantitatem rationalem multiplieata quantitas siduum Ii, oius nomina proportionalia, ct commensurabilia sunt binomi
nominibus . ainomium a multipliceti quantitatem , de producat c. rationalem. Aio,quia b.Residuum, est cuius nomina proportionalia sunt commensurabilia ipsius a binomi nominibus. Ponantur enim d. Residuum eorundem nominum , siue commensurabilium , de proportionalium cum nominibus a binom ij. ex a. in d fiat e eritque per praecedentem, Velante pra aissam ipsae.Rationalis. Sed per primam sexti, sicut c. ad e. sic c.ad . . commensurabilis: est autem c. ipsi e quia sunt rationales. Ergo per quadragetamam octauam huius, b. commer urabilis ipsi d. Fuit autem d. residuum rigitur peris.' El.residuum commensur bilium nominum ipsi d. Sed nomina Mus d. commensur
bilia nominibus p us a binomij, proportionalia itaq; ipsius b.residui erunt eisdem commensurabilia troportionalia quod suit demonstrandum.
PROPO IT Io πη- Si Residuum miltiplicans aliquam quantitatem fecer2σuam litatem rationalem, multipΓcata quantitas binomium est, cuius nomina proportionalia sunt, ct commensurabilia residui nominibus. Haec in eadem omnino descriptione, eodc pr cessu demonstratur Hoc excepto, quod ubi ponebatur bi-ROmium, Ponatur residuum, i contrario.
167쪽
Omiuis rationalis quantitas ditissa in biminium Habet in quo fiente residuum, cuius nomina commensurabiliasum, proportionalia ipsius binomirnominibus Exempli gratia, rationalis
quantitas c. diuidatur per a binomium . proueniati. Rio, quod b residuum est, cuius nomina commensurabilia sunt de proportionalia ipsus a binomi nominibus. Nam cum diuisor a in quotientem . producat diuisam c. sitque binomium 4 c. rationalis Liam, per o praec dentem, b residuum erit nominum ccmmensurabilium , proportionalium ipsius a. binomi nominibus quod estri opositum ἀPROPO Io 79 .
Omnis rationalis quantitas di is in residuum, exhibet in uitiente bincmium, cuius nomina incommensurabilia sunt est proportionalia ipsius residui nominibus . Sicut praecedens per 76 praemissam,ita praesens per77 demonstratur.
Tinomia quarum radieer habentinuicemproportIonam eommensurabilia nomina, sortiuntur quoque proportionalia in- d terse commensurabilia mina Sint, exempli gratia, ab α
---- Le f.binomia tertia, quorum maiora membra a b. Le.m in ra vero b c es deinde sumantur horum binomiorum radices.sitq ipsi' ab . radix gharac ipsus d e radii mi. per 37- huius eruntque per eandem hk Lm n. bimedialia secunda Sint ergo talium bimedialium membra,mai ra quidem ili lis minora verba E m n. Et supponatur vigh. ipsi lira Atque hi ipsi mi comparatum, propo tionalia sint& commensurabilia. Dico hinc, quod lino-miorum ab c def. ipsum membrum ab . ipsi de atque ipsum c. ipsi es comparatum , proportionalia sunt commensurabilia quod sic ostenditur. Quoniam quant, raseth. n. habent membra commensurabilia, proportionalia, maius maiori, minus minori,erunt coniunctim&totum toti proportionalia, per quadragesimam Oct uam huius commensurabilia. I tur, per quinquagesimam secundam huius, ipsorum g h. quadrata, scilicet, a c. dserunt sicut numerus quadratus ad numerum quadratum inter se aiideo commensurabilia in idcirco per sex gesmam
168쪽
gesimam quartam huius, habebunt membra inuicem proportionali commensurabilia, scilicet a b ipsi d e atquebi ipsi e f. quod est propositum. Similiter in c teris binonomiis,in eorum radicibus constabit id, quod demonstrandum proponitur. PRO Pos ITI si
'sidua,quorum radices babent iniucem proportionalia 'o- Mensurabitur nomina,sortiunturitiam proportionalia intersere commensurabilia nomina. Quod in praecedenti de binom ijs
eorumque radicibus, quae sunt bimembres quantitates, ostensum fuit hic similiter penitus demonstrabitur dei siduis, eorumque radicibus, quae sunt Residuales quantitates. Quandoquidem eadem sunt Residua litim, quae Bi- membrium nomina; quae coniuncta,bimembres ablata v ro minus a maiori residuales quantitates faciunt. PRO Pos ITIO ' 84 .
Omnis irrationalis bimembris quantitas multiplicans residualem quantitatem eorundem siue proportionalium ct commensuratilium nominum, producit quantitatem potentia rati nalem, sequandoque rationalem. sunto,gratia exempli, a. bi- mediate secundum in b. residuum mediate secundum e Tundem, siue proportionalium &commensurabilium inuicem membrorum: multiplicet autem ipsa a. ipsum'. producat c. Aio, quod c eli potentialiter rationalis , siue quandoque simpliciter rationalis. Quod sic patet. Si dapsius a. quadratum d. xiptas'.quadratum e. Eritque per 38 huius,d binomium tertium. Atque e residuum tertium persii fiat: ergo ex .in e quantitas f. Et quoniam a b. habent per hyp proportionalia & commensurabilia inuicem nominaci iam eorum quadrata se per precedentem Mant praemissam habebunt inter se proportionalia commensurabilia nomina. Quamobrem, pero s huius, d. binomium multiplicans e binomium, producit quantitatem rationalem. Igitur f. rationalis est, Mideo c.quae per corollarium I . huius, est radix ipsiuio potentialiter rationalis est. Et si s erit quadratus numerus, tunc xc magnitudine
rationalis erit quod sui demonstrandum. Similiter idip-
169쪽
sum de quavis bimembri quantitate, suaque residuali ostendetur sicut propoponitur. Ropos Ior 83 . Si binomium secetur per Residuum proportionalium ct com
sIresiduum secetur per binomium proportionalium cons. mensurabilium nominam, prouenis exaruisione residuum priamum . Haec praesens ottenditur similiter per eadem, sicut pr milia sed ubi initam illa ponitur residuum, lile ponatur binomium, e contrario: pro rescitetur qua
loquitur de residualibus. Quibus exceptis descriptio ea
litatem proportionalium O commensurabilim nominum, mox niat ex diuisione tali Tinomiam, Exempli gratia,sit a.Residuuinediale secundum atque b.bi mediate secundum proportionalium inuicem,&commensurabilium membrorum.Deinde secetur b. in ipsum a. proueniat Gaio, qudic.binomia erit . Sunto enim ipsorum b. quadrata d,. eritque perini d .residuu tertium,&per g e binomium tertiu: perci, ω8i' irem illas proportionalium & commensurabilium nominum.Itaque secetur αὶ Lin proueniat f. eritque per
170쪽
in tepremisiam flin omium primum. Sed per corollar. Ii huius, ipinac radix est c igitur per s7 huius c. binomium
est, quod est propositum smiliter, si a. quaecunque residualis,& b. eius bimembris quantitas proportionalium & commensurabilium membrorum supponatur, semper c bino mium erit. Sicut demonstrandum proponitur.
PRosos I Tio I 6'. si qualibet residualis quantitas secetur per bimembrem quantia ratem proportionalium ct commensurabilium nominum proinveniet ex diuisione tali residuum Ostendetur haec non aliter, quam precedens. Sed ubi in praemissa proponitur residualis quantitas, hic ponatur bimembris,&e contrario:& pro si α 7 citandae sint 33'd 6o', descriptio maneat eadem. PRO Fosi TI 87'.
Impossibile est,bmomium at ibi, quum in suo puncto diuidissem
nata membrorum di=mtione 4 Esto binomium constans ex membris a b maiori, b c minori, ut dissinitio exigit Aio,vim possibile est ipsum a c.binomium alibi, quam in functob. secari, utpote in puncto d. ita via d. d c membra sint rationalia& potentialiter tantum commensurabilia. Quod
sic const.it. Sit binomium cc.primum, secundum,quartum,
vel quintum Lin quo una portionum a b. c. rationalis est: tunc, si punctum d. fuerit in portione rationali, erit iam portio ad rationalisci sed illa. bimembris, nam constabit ex db rationali, ic potentialiter tantum rationali non igitur erit d c potentia rationalis, ut postulat binomis lissi. Si ver punctum d fuerit in portione bi potentia tantum rationali cogetur ac uersarius tacere ipsam a d. rationalem Vnde bra rationalis erit, cum a b sit per hyp. rationalis. Sed b c. potentia tantum retionalis Dergo di residuum, nequaquam potentia rationalis. Hoc autem pro binomiis primo acquarto, in quibus portio maior ab. rationalis supponitur. Pro secundo aut ac in quibus' c. portio minor rationalis supponitur transseres syllogis mum. Pro tertio autem Uexto binomijs,in quibu utraque portio potentialiter tantum rationalis est, sic procedam