장음표시 사용
151쪽
in eruntque e is f. quantitates talibus quatuor numeris proportionales. quoniam cubi sunt in tripla proportione radicum: erit, sicuta.ad . sice.adi. sede. adi sicut numerus ad numerum: Igitur sicut nulla erus adnumeru, sic a. a. b.&ideo per secunda partem ab inuicem commensurabiles. bi demumst h. sint inter se sicut bis quadrati numerici tunc quoniam a libus numeris intererunt tres numeri medi proportionales intererunt aps ih. tres media proportionales quantitates equae sint, P eruntque s nisi quantitates talibus quinque numeris proportionales: quoniam secuda quadrata sunt in quadrupla ratione radicum: erit iama.ad'. sicuti ad n .Sed . ad n . sicut numerus ad numerum: agitur icut numerus ad numerum , sic a. adi quare per si cundam partem 3 ab inuicem commensurabiles, sicut fuerat a principio demonstrandum.
Ex his manifestu est,quod omnium duartum quantitatum Inuicem incommesurabilium, neq; quadrata sunt adinvice, sicut quadrati numeri: ncque cubi, sicut cubi nuntieti, heque iucunda quadrata, sicut bis quadrati numeri.
Contra,c omnes due quantitates,quarum quadrata non sunt ad inuicem , sicut quadrati numeri vel quarum ubi non tint ad inuicem, sicut cubi numeri vel quarum secunda quadrata non sunt ad inuicem, sicut bis quadrati num rio sunt inter se comm nsurabiles . Nam haec duo corollaria constant ex duobus praecedentibus propositionidus, a distinctione contrariorum.
Praeterea manifestum est, quod quantitates inter se comensurabiles, stant omnino ,etiam tam quadrato, quam cubo, quamque secundo quadrat commensurabiles ; non autem 'conuerso. Nam quantitates, siue quadrato, siue cubo, siue secundo quadrato commensurabiles, non sunt omnino Inter se commensurabiles.
Vnde sequitur, ut quantitas rationalis sit etiam potentia cubo,&quadrato secundo,& sic in infinitum rationalis-d non e conuerso. Nam quantitas siue potentia, siue cubo, sumqtia irato secundo, rationalis non omnino est mari rudine rationalis.
152쪽
LIBRI SECUNDI II. 37 COROLLARIUM.
Contrea, quantitates inter se in commensurabiles non omnino sunt potenetia, aut cubo, aut quadrato secundo incommensurabiles. At quantitates potentia, vel cubo, vel quadrato secundo in commensurabiles omnino sunt magnitudine inter se commensurabiles.
Vnde sequitur,ut quantitas irrationalis 5 omnino sitae potentia,aut cubo, aut quadrato secundo irrationalis. Qirantitas vero potentia, vel cubo, vel quadrato secundo irrationalis omnino sit,in magnitudine irrationalis . Quae corollaria gradatim sequuntur alterum ex altero, ut etiam per exempla numeralium terminorum constat. P Ropos I Tio F '. Omne productum duarum qirantitatum potentia tantib-ationalium inuicem commensurabilium, es ritionale . Exempli gratia, at quantitates potentia tantum rationales inuicem commensurabiles multiplicata inuicem ficiant ipsam c.
Aio 'ubd c quantitas rationalis est. Sit enim ipsi .arqualis d.&a.ducta in . hoc est in se ipsim faciat e. qu e iam in Utionalis est, cum a sit potentia rationalis per hyp. Sed per gprimam sexti, sicut d ad b. sic e ad c commensurabilis est autem per hypo.ipsa d. ipsi' ergo, per 8 huius, ipsa e. commensurabilis erit ipsi c. Rationalis est autem e. rationalis ergo per distin. c quod suit demonstrandum. Aliter julchre sic Sit ipsus a quadratum ipsi s. ipsius . quadratum ipsa quantitas g. eritque per a praecedentem Lad .
sicut numerus quadra ad numerum quadratum Ducatur ergo f. in . proueniat h. eritque h. numerus quadratus:
quandoquidem g per vigesimam octaui, sunt plani similes. Sed per corollari uindecima huius h. est quadratum ipsius c. ergo ci rationalis , quandoquidem radix est ipsius h.
quae per numerum quadratum repraesentatur. Et radix quadrati numeri rationalis quantitas est, quia cognitus, scitus numerus, sicut proponitur ostendendum. PRO Post Tici ci 3'.
Omne productum duarum quantitatum rationalium motLtialiter tantisin inte se commensurabilium est potentia taηtum
rationale:quod tamen ab Euclide vocatur mediate . Sunto a b. quantitues ratiOziales, hoc est ambae potentia tantum ratiOnales
153쪽
n.ilis, vesina rationalis in magnitudine, altera vero t. nitim rotantia, inuice potentialiter ira c5mesurabiles,quq inter te multipli ata faciant ipsam c. Aio,im .est quaritas rotetiat in lationalis. Fiant eni in ea, cilice in praeced nil eritque per eadem, sicut d ad b. sese ad c cum Q per livp.ipsa d. ph b. sit potentialiter tantum comensurabilis erit per 8 huius, ipsa'.que: ra tionalis cst. potetia litar in comesurabilis ipsi c. I itur per distin.c. potentia in racionalis est, quod est propositum. In altera vero demonstrationi , erit per coroll. 13 praecedentis,s ad g. non sicut quadratus numerus ad quaci rarum numerum do idcirco g. percio oectaui non erunt ad inuicem plani numeri limites Quare, perii ima noni, ipse h. ipsorum fg. productu non erit quadratus numerus, pia inde c. ipsi' h. iadix potetia in rationalis Dicut Sponitur.
Illud autem notandum, quod praefatum productum quantitatilinrationaliu ab Euclide vocatur medialis'ita iras, siue Melialis area: quonia in gignitur ex ductu laterum, alcra, ita intelligendae sunt diffinitiones irrationalium magnitudinum, ut, de areis mentio liti Lineam vero in talem aream potentem, hoc est, cuius quadratum est talis area , mediatis dicitur. P Rosos I Tro 6
Membra binomissiue residui,sunt radices duorum numerorgi, quorum maior ad excessumsupra minorem sese habet sicut numerus quadratus ad mimerum quadratum, fiunt tres prima species. Si autem secus, fiunt tres reliquae species binomii mea sidui. Item si maior ex numeris dictissit quadratus, tunc fit priam vel quarta species. Si minor sit quadratus numerus, res cunda vel quinta si euter shqradratus numerusset tertia vel sexta species Exempli gratia, o. s. numeri sunt quadrati
membrorum primi inomii,siue Residui. Nuruericia. 9.secundi. Numeria. 4. tertii. Numeri 14. 2o.Quarti .Numeri r . 4. quinti. Numeri io dc 7. sexti. Vnde talium specieru radices sic se habent ut earu diffinitiones exposcuti Bin omium pβ-3 p . Vhde per absci sionei Binomium aμ-r. I p formantur tondet Binomium 3ρ-r p .6. species res omnia.
154쪽
Singularum inomi specierum radices sunt specia sit u ematronales quantitates per ordinem, scilicet Sinomium, Bi dmcdiale primum, bimediate secundum , Maior, Potens Glionale ac mediate. O potens duo mediatia Paucis propo- si tum demonstrabo. Esto in omitam , cuius membra assi. c. Sit ipsius ab quadratum de de ipsius 4 quadratum es quorum disserentia d. cuius disserentia quarta
pars siti et ipsius g. radix sit h. Mox lecta per aequalia
quantitate a b apud h. punctium , ponatur ipsi h aequalis hi Post haec, totius alii radix sit in Relicti autem tb radix sit n. Aio iam, quod totum m n radix est in nrt a b c Deinde ostem iam , quod si a b c sit binomium
primum, tunc mi erit binomium. Si ab c binomium secundum, tunc mi erit imi diale primum. Si ab c binomium tertium, tunc is erit bimediate secundum. Si a b c bicinium quartum, tunc mi erit maior. Si assi c. binomium quintum tunc mi Potens rationale ac me diale. Si demum a b c binomium sextum , tunc mi PO-tens duo medialia. Nam cum a b. secetur aequaliter apud
k. in qualiter apud l. iam per quintam secundi Et mentorum Rectangulum a l. lo. cum quadrato hi hoc est cum k aequalia sunt quadrato at hoc est, quadranti ipsius se. Sed quadratum ipsius k l. hoc est g. sui quadrans ipsius Digitur reliquum quadrans reliqui, hoc est, rectangulum l. b. erit quadrans ipsus e Quare per coroll. undecimae huius retiangulum in n. erit radix quartae partis ipsus f. hoc et dimidium ipsius i. ergo duplum ipsius rectanguli mes aequi ualet totum c. Cumquepc hyp al sit quadratum plius m. Hi quadratum ipsius, erunt quadratum m. qtradratum n cum duplo rectanguli mi simul aequalia toti a c. Sed per quartam se cunda eadem simul componunt quadratum totius m. Igitur totum iram radix est totius ac quod crat primum
ex demonstrandis Reliquum patet ex conditionibus ipsarum specierum binomi fit enim , t exeunte a b c. binomio primo, tunc a l. li sint rationales Exeunte autema c. binomio secundo, vel tertio fit, ut a l. Lb. sint potentia
tantum racionales. Quare exeunte a c. binomio primo, et uni
155쪽
mi potentia rationales Exeunte autem an binom Iosecundo,uel tertio, erunt mi medialec quandoquidem a l. Lb.quadrata ipsarum nam potcntia tantum rationalia. Et
hoc,quoniam per dissi binomi primi, secundi, aeriij, radix ipsus is Mideo radix ipsius g. hoc est h. hoc est El. commensurabilis est ipsi a b. ideo ipsi ah vel kb ipsisque a l. b. cumque per primam sexti m .ad n sitii-cut quadratum . ad rectangulum mi. hoc est scut a l. ad dimidium c. Ideo tunc per quadragesimam octauam
huius consa ipsas in n. cile potentia tantum commensurabiles Existente autem ac binomio quarto, quinto vel sexto fit via l. li sint inuicem in commensurabile. quoniam scilicet, perdisin talium binomiorum , radix ipsius 'd f. eu perinde radix ipsius g. hoc est ipsa h. ipsa hi incommensurabilis est ipsi a b. idcitco ipsi a ta ipsis a l. ii quare, per quadragesimam septimam huius, ple l. Lb.
inuicem in commensurabiles . Vnde constat ipsas m n. tunc esse potentia commensurabiles. Item cum restingulum mi sit dimidium ipsius bi atque exeunte a tali nomio primo, tertio, quarto, vel sexto ipsa b c sit potenti ranti rationalisci ideo tunc rectangulum mi erit mediate. Exeunte vero a ta binomio secundo, vel quinto b c. erit magnitudine rationalisci quare tunc rectangulum mi. erit rationale Praeterea cam quadrata nam conficiant mram a b atque exeuntem c. binomio primo vel quarto ab. sit magnitudine rationalis axeunte veris ac binomio secundo, tertio, quinto, A sexto, at sit potentia tantum rationalis. Idcirco exeunte ara binomio primo vel quarto, quadrata n. conficiunt rationale. Exeunte vero ac bia nomio secundo, tertio, quinto,Vel sexto, quadrata mi conficiunt mediate.Ex quibus quidem, con syderatis irrationalium quantitatum dii initionibus, costabit quod exeunte a c.
-Potens roale ac mediate. 6 --Potens duo medialia.
156쪽
Ninc ergo competiti poterunt singulae quantitates irr tic naues: ut si vesim, exempli gratia, cc reperire irrationalemcua litarem, quae Maior vocatur, scitiae ccdcntem, inu tit m quartum hinc mit. per praeu nicin , ipsius bin mi radicem , quae, ut ostensum est, Maior erit. Et similiter per cliquas binc miorum species reliquas irrationales in
PRO post Tio cis . Sex irrationalitim quentitatum,scilicet Sinomii, Timediatis pr. mich m dialissecundi,AMaioris, Totentis rationale ac medi
te, Totentis , no mcdialia, singularum per crdin m singula quadrata sunt singulassecies Sinomis. Haec est conuersa pretcedentis Persistam tamen in eadem descriptione, ac suppositis. Ponaturque mi binomium, Vel aliqua ex irrationalibus pradictis ita ut mi sint membra ipsus irrationalis iuxta eius destinitionem considerata: ut habeam ipsius m n. quadratum, ponam ipsus m. quadratum ad eu ipsus .minoris membri quadratum Lb.Item eius, quod fit ex m. in . duplum ipsami c. Eritque per quartam secundi Element rum, tota aci quadratum totius m. Dc monstrandum estipitur, quod si ponatur m n aliqua ex dictis sex quantitati-U irrationalib serit des e. aliqua ex speciebus binom ij de quota nam in ordine sex irrationalium , tota deis c.in ordine specierum binom ij. Namque ex conditionibus membrorum mi componentium ipsam irrationalem, sequitur conditio membroru ab b c. constituentium speciem bino-m ij. Sic existcnte in n. Binc mi', velit mediali primo, vel Bimcdiali secundo, iam perdirlin. l. ii quae sunt ipse rummis quadrata, sunt inuiciis ccmcnsurabiles. Vnde per 6 huius, sequitur, Ut sit tuis a l. b. dc toti a b commensurabilis. Cumque h. sit radicis ipsius T dimidium , erit talis radix comm cnsinabilis ipsi ab Igitur ab . potentior quam c.in insa da quadiato scilicet radicis sibi commensurabilis. Existente autem in n. Maiori, Potenti rationale ac mediale, potentive duo mcdialia; tunc per earum dissin. l. ib. sunt inuicem inccn mensurabilcsci unde per huius
sicquitur, ut hi sit ipsis a l. l toti a b.in commensurabilis: vique cl. hoc est h. ipsius radicista s. dimidium, perinde ii a radix sit ipsi a b inccn rcnsurabilis. Quo fit, ut a b potcntior sit, quam b c in iis atas cuius radix est ipsi
157쪽
ab. in comensurabilis. Item, qui exiliente in n. binomio, vel Maiori, b.est rationalis Uc.veris potentia tantum est rationalis Existente autem mi Bi mediali primo, vel poteruerationale, Mediale, a b.est potentia tantum rationalis, bc. vero rationalis Existente tandem in n. Bi mediali secundo, vel potente bina mediatia, tam a b. quam c.est potetia inmrationalis Pret terra, quoniam existe te mi binomio, Bime-diali primo, Maiori,vel potente rationaleri mediate ipsa ra b. c. altera est magnitudine, altera potentialiter tantum rationalis .atque ideo a b. c. sunt potentialiter tantum co- mensurabiles Existente autem m. inaedi alici cum per primam sexti, m. ad n .sit sicii quadrati m.ad rectangulunimi hoc est, sicut ad ad dimidiu ipsius b c atque in n. intincommensurabiles .ed ideo a L .dimidium ipsius bi sint incocti mensurabiles ber 8 huius: Cumq; quoniam ad .ll. inter se commensurabiles, ideoq; tota a b. ipsi a l. commensurabilis est, iam tota a b.d timidio ipsusi c. Et ideo toti tacipe huius, sit incommensurabilisci sintq; b. c. potentialiter commensurabiles: cra potetia rationalis ex dim. licti Bi mediatis ecundi. Existente tandem mi .potente duom dialia, clina ab. c. ex distin. ipsius sint in commensurabiles: ac potentialiter tantum commensurabiles, quia scilicet, potia rationales, ficut omnia ex disinitioniblis ipsarum irrationalium constat. Propterea, cons yderatis sex specierum binomi; conditionibus, existente CBinomio ac eri s i medialii' ac erit-
Omne aggregatum qzadratorum inaequalium excedit duplum producti radicum in quadrato dis erGitta ad nn . Secetur quantitas a b per inaequali. apud in a maiori portionea c. abscindatur ipsissi c. aequalis Q. Atq; itu ostendendu est, qu bd congeries quaci ratCrum a c. ci, supercra duplum ipsius rectanguli a c. b. in quadro is nus d a. quod a Campano in decimo Elementorum ostensium cst. Per quartam secundi, quadratum a c. quadratum ci cum duplo Iectanguli
158쪽
restinguli a c. b. simul qtralia sunt Quadrato a b.Quod per octauam secundi,aequale est quadrato , cum qua truplo rectanguli ac cb. Auferatur utrinque duplum rechingulia c. c supererunt quadratum a c. dc quadratum est, stamul aequalia quadrato d a. Sc duplo rectanguli a c.esb.
I id Hac autem es demon ratio.
Auseratur utrinqueta a c. cb. supererunt ,
Singularum residui specierum radices,sunt in singulae irratis
vales residuales quantitates per ordinem: videlicet Residuum, Residuum mediale primum, siduum mediate secundum: icianor, cum rationali mediale totum potens, cum G ediali mediale totum potens Repetam descriptionem, supposita e demonstrata 7 praecedentis. Hoc solum mutato, ut pro Pgregato membrorum ab bc sumatur eorundem differentia,qua valet maius membrum a b excedit minus bi.Nam si aggregatum supponitur binomium Liam perdissin .di i rentia erit Residuum eiusdem speciei. Item pro aggregatoportionum in n. quod aggregatum erat radix ipsius a b c. binomi; sumatur disterentia earundem mi qua scilicet m.ὶior portio m. superat minorem . Quae dist rentia erit irrationalis quantitas residualis illius quantitatis, quam O- .flabant portiones mi. per dicti nitionem Ostendam igitur, quod sicut ipsius aggregati ab c radix fuit ipsum aggregatum mi. ita inerentia ipsarum ab b c.radix erit ditiercia a tia ipsarum in n. Sic, cum ipsius m. quadratum sit a Latq; ipsius, qua latum sit Di, iam a b erit aggregatum duorum s si, quadratorum inaequalium , quorum radices in n. Sedi c. fuit duplum producti talium radicum igitur, per praec dentem , ipsa a b.excedit ipsam b c in quadrato differentiae carundem radicum, hoc est, dis rentia ipsi rum a b b c est quadratu disierentiae ipsarum mi Ei perinde haec differen-ria crit a. lix illius. Qnamobrem per demostrata in 7'.
159쪽
praecedentis, si illa dissetentia surrit residuum primae speciei haec differentia erit residuum. Si illa,Residuum, speciei, haec Residuu mediale primit. Si illa,Residuui speciei, haec Residuu mediate secudv. Si illa Residuum speciei: haec irrationalis,quae Minota Si illa, Residuum 1μ, haec cum rationali mediale potis. Si illa,residuum cst haec cum mediali mediale potens. Et hoc est,quod demonstrandum proponebatur. COROLLARIUM. Vnde manifestum est quis 'compertis per precedentem, sex irrationalibus quantitatibus praedictis, que singulae
ex binis membris constantinaequalibus: Iam eorundem me brorum disterentiae singulae erunt Residuales quantitates praedictarum bimembrium. Item si bimebribus uia singulis quadrata attribuantur quae bino inia sunt talium binomi rum Residua erunt singula singularum dictarum Restatualium quadrata. P Ropos ITI, in i .
Sex Prationalium quantitatam residualium, scilicet 'sidui, Resiti mediatis primi, Fesidui mediatis secundi, Minoris, cum rationali mediale potentis, Cum mediati mediale potentis, si gularum per ordinem, singula quadrata sunt Mula sexspecies Residui Sictu precedens sequitur ex demostratis 19 4 37 Ita praesens propositio similiter ex ijs, quet in 19 de 18 ostensa sunt, constabit.
Hinc manifestum est, quod Binom ij, Residui haben, sum aequalia nomina, radices inter se habent etiam aequalia nomina: Me contrario, Binomium Mesiduum, quoruradices habent aequalia nomina,sortiuntur etiam inter se nomina aequalia. Idemque de nominibus proportionalibus dicendu n. Nam aequalitas nominum in quadratis,facit aequalitatein nominum in radicibus : econtrario. Proportio
vero proportionem, sicut per processum demonstrationis 3 ' de 1 8 constire potest Nunc exponam hic se species binomiorum, totidem earum radices, quae sunt sex irrationales quantitatcs. Binomiae
160쪽
Ex quibus pellabicisionem minoris membri a uiniore fient tam in Binamum ijs. quam in emum radicibus. ων idem R. tidiis. hoe pacto. Residua siex Quoruin radiae totadem Relidualax illationces scilicet.
lii habes exempla practica metiam , quae demonstitia sunt.
PRO post Tio χχ' Omnis quantitas rationalis multiplicans ino um per ' siduum, producit etiam Binomium vel Residuum eiusdem sp cier, ac multiplicato commensurabile . Rationalis quantitas a. multiplicet Binomium α&producat qualitatem sciato, d. e. Binom tu est ipsi b cibinomio c5mesurabile,&eiusde speciei. Vt li,exepli gratia, c sit binomi uita inu: tuc de. ibi Domi ui'.Sint enim ipsiu&b c. binomi mebrassi c.&eca. mb. fiat d. ex a. in c. fiat e Sie enim, per primam secudi, erit se. totu,quod fit ex in c. Itaque cum b c lit binomnum primuin, erit per distin b.maius membrum rationale atque . reliquum potetialiter tantum rationale Cumq; a. rata Onalis in singulas b c quantitates faciat singulas d. ia per se huius, ipsa d.erit rationalis, ipsa e potentia tan uia rationalis:& totum d e. totissi c. commensurabile. Item sit iplius a. quadratum squod rationale erit: atque Iaruml, taqu diata sint ili Mox f. multiplicans pias h. producat ipsas Ll.eruntq; per coroll. undecima huius, K. l. quadrata ipsarud,.Cumq; per primam sexti lit sicut . ad h. sic k. ades erit eversim sicut Dad excessum, quo excedit ipsam h sic etiam kod excellum, luci excedit ipsam l.Verum .ad suum cxces.sum eli sicut numerus' dratus ad numeram quadratu, P, x huius: quonia per Assimi sine primi binom ij, b portio ex Udit c. portlonei potentialiter excelsu , cuius radix est commensurabilis ipsi'. Qui excelsus erit disserentia ipsa ruing h. perinde talis excelsis se habet ad g. sicut numer quadratus ad numerum qii ratum perri,Mgitur Ead sua gae cessu se habebit licui nusquadratus ad numerii quadrati