장음표시 사용
171쪽
Ponantur membrorum a b.bc.quadrata simul sumpta conficere quantitatem e f. duplum autem eius, quod fit a b in c. sit quantitas g. Vnde per quartam secundialementorum, totum g erit quadratum ipsius a c.vnde, cuma c. sit binomium,erit, peris huius,eg. binomium primu.
Itaque si a b c binomium suscipit in alio, quam . puncto, ut inta diuisionem : tunc aggregatum quadratorum a d. di sit et eritque reliquum iij duplum eius,quod ex a d. indc. Cumque ex demonstratione 38'huius, eli he sint membra ipsis e g. binomix sequetur, ut ipsum e g. in m uim primum secetur in alio, quam fiuncto quod dudum impossibile ostensum fuit. Quae demonstratio non solum pro tertio,in sexto, sed etiam pro steris interest binom ijs. PRO Post TI 88a Impossibile est, quamlibet caeterarum quinque bitaembrium uantitatem alibi quam in suo termino distingui, seruata dignitioκα .Quod de binomio praemilla concludit, hoc praesens de bimediali primo, secundo, caeterisque tribus irrationalibus proponit. Sit in exemplum a b c. bimediate Iecundum eg cuius maius membrum a b. minus autem b c Aio, quod impossibile est ipsum a c. bimediate secundum , alibi quam in puncto b. ut pote iniuncto . ita secari, ut a d. d c. po tiones sint eiusdem distinitionis, cuius erant ipse a b b c. Quod sic constat. Ponatur ipsius a b c bimediatis secundi quadratum e fg ita, ut e f. sit cumulus ex quadratis a b. c. fg duplu producti ex a b.in cieritque ex demonstratione 18 huius,eg.binomium tertium, cuius membra es fg. Quod si a b c bimediate secundum alibi quam in b.puncto, ut in d patitur diuisionem Iunc per 3 7 ponetur aggregatum ex quadratis a d. di ipsum l. residuum fg d plum eius, quod ex a b in c. ita ut ipsum e g. binomium terrium alibi,quam in f puncto in membra sua dissinitionis
dimnguatur, quod, per Praecedentem, est impossit bile. Et perinde impossibile erit ipsum ab c. bimediate secundum alibi quam in b. puncto distingui quod fuit propositum. Quod de reliquis residualibus similiter constabit.
172쪽
Imposibile est residuum esse excessum aliorum, puὶm suorum
membrorumseruata eius donitione . Sunto residui ebra, maius quidem a b. minus verba c. ita ut eorum excessus cra sit ipsum residuum Aio igitur,quM a c. non potest esse excessus aliorum membrorum quam a b N ita ut meminbra talia fuit rationalia, iotentialiter commensurabilia. Simenim si possibile est, talia membra ad dα ut eo rum incessus sit dictum ac residuum. Et tunc si maius membrum a d sit rationale, sciri in primo, vel quarto residuo , cum assi ut supponitur, rationale sit erit eorum ditare alia vi rationalis: verum b c potentia tantum rationalis per dissinitione binomij primi vel quarti. Igitur dc binomium est, non autem potentia rationalis, quod est supposito contrarium Astruitur ergo propolitum.Quddsi minus membrum csit Tationalis, ut in secundo, quinto residuo , tunc, 1rsus bd rationalisci sed ab poten etia tantum rationale, per distin secundi, vel quinti bino.'mij: ergo a d binomium, non potentialiter rationalis esti Quod supposito contradicit. Constat igitur proposita impossibilitas r hoc, quando ad. ponitur maior, quam a tamando ero minor, 1cilicet cum punctum d ponitur in- . ter puncta b c tunc arguetur militer, vel a d. vel Eesse residuum e quod similiter supposito aduertario refragatur. Sic quo ad prismi , lemmium, quartum , quintum residuum , constat propolitum. Quo ad tertium, T sotiamur resumum, sic procedam.Ρonam es aggregatum ex quadratis ipsarum a b b c. Item Q. duplum eius. quod fit ex a b in c. Eritque per quinquagesimam,
nam huius, eg quadratum ipsius a c. siue, quod idem est. a C radix ipsius es. Cumque a c. sit tertium, et sextum re residuum,crat, per sexagesima Primam e g. residuum priamum. Itaque, si a c. residuum sit per alia, quam a tab αmembra, V ore per ad xl c. tunc aggregatum ex quadratis ipsorum a d. de si teli duplum vero eius, quod ex ad indi sit laycumque ex demonstratione sexagesm rimae, tunc ipsius e g. csidui primi membra sint eli. lin sequitur, ut ipsum e g. residuum primum constet per excessum aliorum
173쪽
aliorum, quam es.sg. membrorum quod dudum impos.sibile suit ostensum. ne demonstratio non *lum tertio de sexto,sed etiam cie is residuis usu venit. Sic constat peni- tu , quod Proponitur.
Impossibile est quamlibet caeterari qui 3; residualium quavtitatum se excessum aliorum quam suorum Membrorum,seruata dis istore P. Quod praemissa de Residuo conclusit, haec
praesens de res duo mediali primo secim lo, caeterisque trihus residualibus quantitatibus proponit. Vt si sit, exempti gratia, Resduum mediatefecitndum , citius nomen maius a b. minus viro b c. ita tres tuum ipsum mediate secundum lit ac Aioli rur, qudd a c. non potest esse excessu
aliorum,quam a b bc membrorum,ut puta illibrum ad
Jc.ita ut ad . d c. brant coditiones dissinitionis ipsus mediatis quas habent a b Uc. Si enim hoc possibile est: tunc aggregarum ex qua liatis ipsorum a b b c si e f. tu plum vero eius, quod fit ex ab.in c. sit fg. Eritque per V huius ac radix ipsius e g. Cumque ac lit residuum media lesecundum , erit, per sexagesimamprimam e Residuum tertium: Itaque si aci residuum mediate secundum csse potest excelsus aliorum,quam a b. b c. utpote ipsorum a d. stamembrorumla tunc aegregatum ex quadratis ipsorum a d.
di duplum vero eius,quod ex a d. in rc. stili. Eruntque ex demonstratione sexagesimae primae tunc ipsius e g. residuitertismembra et hi Quare sequetur, ut ipsum es Residuum tertium fiat per excessum aliorum,quam es. Q.membrorum quod per praecedentem impossibile est. Et perinis de impossibile erit ipsum a c. Residuum mediate lecti n-
dum esse aliorum quam ab Uc. propriorum membrorum excessum,seruatas diffinitionis conditionibus. quod fuit demonstrandum quae demonstratio similiter ad reliquas res inales quantitates transservir. Sic constat peniti Pr
PRO 'o si Tro i omnis mediatis quantitas mustiplicans adquam irrat otia- ωn de timero sex aeneomsue bimembrem siue residuale producit
174쪽
Hucit omnino aliquam de numero earundem. Exempli gratia a. quantitas mediati; multiplicet ipsam b. maiorem, faciatc.Aio, qubd C. est una sex generum, quibus adnumeratur Maior, videlicet aut binomium, aut bimediale primum aut secundum,&caetera. natu Tenim ipsius a.quadratu .quod erit potentia rationale, perdiffinitionem Medialis.Sit etiam ipsius'. quadratum e quod per quinquagesimara clavam, huius erit binomium quartum. Itaque ipsa d. multiplicet ipsam e & proueniat f. eritque per 68'harum binomium.
Sed per corollarium undecim et huius fest quadratum ipsius c. Igitur per quinquagesimam septimam hui Eradix ipsius
f. bino miserit una ex irrationalibus bimembribus sex generum, quod fuit demonstrandum. Similiter si b. ponatur bino nitum, aut bimediate utramlibet, aut altera ex duabus reliquis semper f. ostendetur esse binomium:&perinde c. una sex generum bimembrium. Non aliter pro relidualibus
argumentaberisci sed pro δ' citabis sexagesima prima vi pro quinquagesima septima citabis sexage limam, quae dei siduis agunt.Quam ob rem si posuillusi. Minorem,aut qua libet caeterarum quinque residuali uim ostendities f. esse residuum:&perinde c. unum ex residualium generum numero. quemadmodum demonstrandum ProPonituria
Omnis mediatis quantita dirudens assiluamex irrationasilus. siue bimembrimus, siue residi ilibus, praestat in quotiente aliqua
de numero eorundem. Haec similiter omnino demonstratur λcut praemilla: verum, loco sexagesimae octauae citauis sexagesimam nonam,qua loquitur de diuisione. Et pro corollario undecimae adduces corollari uni duodecimae, pro multiplicatione utere diuisione, sicut proponituri.
Omnis quantitas secundo quadrato commensurabilis alicui irrationali siue de n mero bimembrium siue residualium, est etica una denumero earundem. Exempli gratia, sit a. Bi mediale primum: quantitas'. ipsi a. commensurabilis in quadrato secundo. Aio, quod . est etiam una sex generum , ex quibus bimediale primum. Sit em ipsius .quadratum c.&iplius b.
175쪽
quadratum d Eruntque cd potentialiter commensurabiles, quandoquidem earum quadratae sunt secunda quadrara ipsarum a b.pe hvp.commensurabilia Sed c binomium secundum est, per quinquagesimamoctauam harum Nergo per sexagetimam septimam binomium erit. Quare irsus d. radix ipsa. b. per quinquagesimam septinnam,erit aliqua sex bimembrium quod erat demonstrandam.Similiterti a ponatu binomium vel bimediale fecitndum,vel aliqua ex tribus reliquis semper d. binomi umesi arguetur, &perinde b. una lex generum, in quibus binomium numeratur. Eodem syllogismo teris pro residualibus, dum coquinquagesimae octauae citetur sexagesima prima,&loco quinquagesima septimae vocetur sexagesima,quae de residui loquitur, si ut in antepraemisia
rus irrationalis quinitas siue δε numerosit bimembrium siue residualium,non solum ma litudine ac potentia irrationalis est,hoc est, quoad primum quadratum; sed etiam quo ad secum V clo ad tertium , quoad sequeηtia ini nitu quadrata.
Nam, quo ad binomium primum lccundum, quartum,inerm ritum,in quibus una portionum rationalis, reli cirr rionali sessi, paret propositum tacum enim partes intinter se incommensurabiles, erit per qiradragesimam septimam
. huius, eam congcries, quam excessus in commensurebilis toti, caepeirride totum irrationate: quoniam excessus in-eommensurabili partibus, erit&excellus etiam irrationalis. Quo fit, ut tam binomium, quam residuuum primum, secundum , qua tura, Qquintum irrationale sit. Sed prohinomro tertio de sexto, suoque residuo, ac prie caediteris biis membrium, aut relictiviIium generibus sic procedam. Sit a. hi mediale primum, aio, quocia irrationale est magnitudine. Exponatur enim eius quadratum b. quod perratamquagesim octauam huius, erit binomium secundum sed binomium ecundam dudum irrationale fuit. Igitur .potentia irrationalis est equare dc magnitudine per postrenturn corollarium in uagesima terti huius. Et similiter faciam de caeteris generibus tam bimemembribus, quam
sidualibus i loco tamen quinquagesima octauae adducta . . Qu2d autem omnis tam bimembris quam residualis.
176쪽
quantitas sit potentialiter in infinitum irrationalis, constahit sic. Sit talis quantitas a. eius quadratum b.eiusdem quadratum secundum c. cius quadratum tertium d di deinceps in infinitum. Quando igitur quantitas a bimembris eli, tunc per quinquagesimam octauam b. erit binomium, atque . V. teraque in infinitum quadrata semper bino mia prima. Que cum irrationalia sint, constat propositum. Quando vero quantitas a residualis supponitur, tunc per sexagesima prima b. erit residuum. Inde autem c.& d. v quentia semper quadrata residua prima, perinde irrati malia, quemadmodum demonstrandum proponitur.
Tinomium iesiduum non solum inter se magnitudine, sed
etiam primo secundo, ct omni deinceps in insinuum quadrato m- commensurabilia sunt, Sit a. quod uis binomium b. autem quodlibet residuum Aio,qudii a b.& simpliciter, io tentialiter in infinitum in commensurabilia sunt. Nam si b. ipsi
a.commensurabilis emet, cum a sit binomium, esset b. binomium per sexagesimam quartam huiusci quod est contra hyp. Non sunt igitur a b.commensurabiles, ted in commensurabiles. Deinde sunto ipsorum b. prima quidem quadrata Q. secunda T. 4 dcinceps sequentia. Erunq; per quinquage limam octivam ct sexagesimam primam huius,c.bia
nomium, d. autem Teii irm primi ordinis. Et similiter,
binomium, .s residuum eiusdem ordinis quae sunt intricem, hoc est, tam c d quam e f. dc deinceps, incommensurabiles quoniam scilicet binomium Residuo an commensurabile ductum ostensum est. Igitur potentiae ipsorum a b. Prime secunda:&sequentes in commensurabiles ad inub
zimcnitas quansitas is residualis non Diam inter se magnitudine,sed etiam potentialiter in infinitum incommensurabiles
sunt. Sit a. qu cunque bimembris, b vero quaelibet Residualis Aio, quod a b.in commensurabiles ad inuicem unita sicias enim per sexagesimam quartam nutus,essent eius aemgenerisci quod est contra hypothesim. Deinde sint ipsarum b.quadrata prima c. . secunda T. Milo inceps Deruntque Per quinquagesimam octauam, sexagesimam primam c. G binomium,
177쪽
binomium, M. residuum Litem e binomium primum, def. residuum primum igitur, perptaecedentem, ta ipsa H. inter se , quam e f. inter se, 6 deinceps sequentia inter se, in commensurabilia sunt. Quare ipsorum a b tam primae, quam secundae quam sequentes in infinitum potentia sunt in commensurabiles, sicut demonstrandum proponitur.
Manifestum est igitur 'tiod sciit omnis bimembris denumero sex generum quantitatis, primum quadratum est binomium jecundum vero, tertium & omne sequens in infinitum , semper est binomium primum ita omnis residualis ex alio senario quantitatis primum quadratum residuum di secundum vero, tertium de quotcunque deinceps,
semper est residuum primum. Quod non est parua admia
P Ropos 1 Ties 97 . Quadrata portionum irrationalis lineae bimembris,quae maior appellatur,funt binomium iesiduum quartae θeciei, Constat hoc aperte in descriptioneri theoria quinquagesime: octa-uς huius quando ab c est binomium quartum mi est
maior fuit autem ibi at potentior quam Et in eo, quod fit exta l. Lb. hoc est, in quarta parte ipsius e f. hoc est,in quadrato, quod ex dimidio ipsius bi quod dimida um incommensurabile est ipsi at quoniam eorum dupla,scilicet a b., membra binomi sunt incommensurabiliaci quo fit, ut at rationalis potentior si,quam Et potentialiter tantum rationalis in quadrato radicis sibi in commensurabi s Atque ideo, per ditiinitionem , ala sit binomium quartum ex membris ain k .constans totque ii eorundem membrorum excelsus sit residuum quartum. Erat vero a l. qua- aratum ipsius m. atque Lb. quadratum ipsius, quei sunt membra maioris predicte, hoc est, in embrum maius r n. membrum minus. Igitur quadrata talium membrorum , sunt binomium quartum δε residuum quaatum quod fuit demonstrandum.
178쪽
C OR. OLLAR. IV M. Vnde manifestum est , quod tales portiones, que constituunt Maiorem sunt etiam ipse: irrationales Maior, minor. Hoc est, magna portio est irrationalis, quae Maior appellatura parua vero portio, irrationalis , qu Minor dicitur. Nam cum quadratum magnς portionis sit binomium quartum , iam per quinquagesimam septimam ipsa magna portio erit irrationalis, qu Maior Cumque quadratum paruet portionis sit residuum quartum: iam per sexagesima, ipsa parua portio erit irrationalis, que minor Atque hec est cause,quod tales irrationales, Maior, Minor vocantur: quoniam earum membra singula cadunt sub diis nitionem compositi undevi membra singula rursus in portiones homogeneas,in sic deinceps in infinitum quod mirabile est
Quadrata portionum Potentis Tationale, ac mediate sunt Sino um ac residuum aliquando quint aliqua sextae speciei. Nam in descriptione quinquagesime septimet huius, quando a b c est binomium quintum, tunc mi Est poten rationale ac mediate. Quadratum autem portionis . est a l. quadratum autem portionis n. est Lb. contigit autem a l. esse binomium quintum vel sextum atque issi esse rei duum quintum, vel sextum quod sit patet. Cum a b c sthinomium quintum, iam a b est rationalis potentia tantum, Midcirco al. eius dimidium rationalis potentia tantum. Itaque si hi sit rationalis, quod tunc contingit, cumciri est numerus quadratus M perinde g. ipsi iis de quarta pars numerus quadratusci tunc a l. est binomium quintum. Sit autem Ut sit potentia tantum rationalis, qliando videlicet d s. perinde ipsius quadransi non est numerus quadratus Tunc Ul est binomium sextum. Et eodem moduvariatur ib. de residuo quinto in sextum, cum sit excelsas membrorum dicti binomi .Constat ergo pro Olicum.
179쪽
siuadrata potentis duo virdialia portiorum, funt etiam binamium, etiam Residuum,quin7Pequintae ct quinque sextae speciei. Haec constat eodem penitu modo, quo praemissa in eadem quinquagesima sole: descriptione.
Vnde manifestum est , quod tam potentis rationale ac mediale, quam potentis duo medialia portiones sunt qnque potens rationale ac mediate: Atque coem rationali mediale potens 4 quinque sunt Potens duo media liaci Atq; cum mediali mediale potens. Quod corollarium constat ex quinquagesima eptima, 4o'. ex duabus praemissis.
Omnis quantita potentia rationalis diuisa in binomium, erihibet in quotiente siduum. Quantitas .potentialiter rationalis diuidatur per binomium b. proueniat c. Aio, ' residuum est. Sit enim quadratum ipsius a quantitas disque: rationalis erit. Item,quadratum ipsius'. sit e. quod per quinquagesimam octauam huius, erit binomium primum. Deinde diuidatur d.per e dc proueniat fquae per septuagemam octauam huius,erit residuum nominum commensurabilium nominibus ipsius es. proportionalium, perinde Residuum primum. Sed per corollarium duodecimae huius f. est quadratum ipsius c. hoc est c.radix est ipsius f. Residui primi igitur, per sexagesimam huius c. residuum est.Quoa
Omis quantitas potentia rationalis diuisa in residuum, exbubet inquotiente binomium . Haec propositio constat eo modo. quo princedens Ita ut loco binom ij, Residuum; iro Residuo, binomium ponatur; pro septuagesima octauacitetur septuagesima nona: quandoquidem a rationalis distridenda est per e Residuum primum & pro quinquagemma octaua sumatur sexigesima prima,quae loquutur de quadratis residualium
180쪽
Omiuis quantitas potentialiter rationalis, diuisa in binomin te, reddit in quotiente residualem correlatu am:Diu a vero in rem dualem, reddit in quotiente binominalem correlativam 'demi dicendum de quantitate simpliciter rationali Txempli gratia, Quantitas a. rationalis simplicitor, siue tantum potentiat, ter,dividatur per b. hi mediate secundum in proueniat c. aio, ubi c. erit residuum mechale secundum. Sit enim ipsius a.quadratum . quae rationalis erit: item ipsius'.qu dratum e quod per sex elimam primam huius , erit bino-mium tertium Deinde tacetur d.per c. proueniat s. Etituet per septuagesinam octauam huius L. Residuum tertium. Sed per corollar. duodecima huius, c. radix est ipsus figitur per sexagesimam huius,c erit Residuum mediate secudum: quod est propositum. Similiter pro carietas binominalibus procedemus. Quod si ponatur quantitas a rationalis diuidi, exempli caula perti residuum mediate secundum,a que ex diuisione prouenire .c eodem modo ostendetur coesse bimedialesecundum: sed tunc,pro sexagesin prima citabitur quinquagesima octaua, pro septuagesima octaua citabitur septuagesima nona , de pro sexagesima citabitaci quinquageum septima , Ut suppositis congruit.
Omiuis quantitatis secundum extremam, mediami rationem diu oraque portio Sesduum est Maiorscilicet quintum, munor autem primum . Agam per lineas, a quibus argum ei tum transferri potcst ad quodvis quantitatis genus. Ponatur linea rationalis ab quae perpendiculatis sit ad ipsam e b d sit quei ci dimidium ipsius a b coniunctaque a c. ponatu ipsi a c. aequalis c d 4 abscindatur de ipsa a b. ipsi bd. aequalis Me. Quod fieri potest: nam a b. bc simul maius sint, quam a c. hoc est quam c d Sit ergo per undecimam secundi Elementorum, linea a b. secetur in puncto e. Ita ut rectangulum a. acia quale sit quadrato e. perinde a b. be ea.sint continuὸ proportionales: hoc est, ut tota a b ad maiorem portionem tae talem habeat rationem, qualem ipsa bi ad minorem portionem c a. Ostendendum itaque est, quod existente a b rationalite. Cris