장음표시 사용
21쪽
dratum A B ad quadratum E F. Et demonstrandum erit, quὀd linea EF aequalis est lineae CD. Nam si possibile est, sit maior linea EF, quam linea CD; Et circa diametrum E F sphaera E L Fintelligatur concentriea sphaerae C Κ D , & intra sphaera EL F solidum EN F tornatile ex conicis superficiebus sphaeram C ΚDminime tam gentibus: Et huic simile solidum A M Bintra sphaeram AI B;
Eritq; per praeceden rem, sicut quadratum AB, ad quadratum EF, sic superficies M.
fidi A M B, ad superficiem solidi E N REt ideo, sicut sphaerica superficies AI B.
ficies solidi R M B, ad sphaericam superficiem AI B, sie supersicies solidi EN F, ad superficiem splaaericam C K D; Sed per quorumpastatarum, maior est superficies sphaerica AI B, quam superficies solidi AMB: Ergo,& superficies sphaerica C ΚD maior, quam superficies solidi E N F ; Quod est impossibile per dictam'a Dium. Non est ergo ii aior linea E F, quam linea CD. Si auteni sit minor, tunc conuersim erit sicut sphaetica lupet fietes C Κ D ad sphaericam superficiem AIB, sie quadratum E F ad quadratum A B; sit ergo per septimam huius, sicut quadratum E F ad quadratum A B, sc quadratum CD ad quadratu G H; Eritq;sicut quadratum CD ad quadratum G H, sic lain superficies sphaerica CΚD, ad supcificiem sphaerieam At B: Et quoni.
C D maior, quam E F, iam per delamam quartam erit, & GH maior, quam A B: Vnde sequitur idem impossibile, quod pi ius. ut scilicet sphaericae superficieipriamae ad sphaericam supersietem seeundam ratio sit,sicut quadratum primae diametri ad quadratum lineae maioris secunda diametro . Non est ergo minor linea EF, quatilia 'nςa CD: Sed nec maior fuit i aequalis ergo erit. Quod fuit demonstrandum.
similium Sphaericarum Portionum Superficies sunt Quadratis
Di ametrorum proportionales. EAdem hule . quae praecedenti, demonstratio inseruiet; hoc excepto, quod ero
totalibus sphaerarum superficiebus, capiantur portionum superficies:& pro imtegiorum solidorum tornatilium superficiebus capiantur partiales ipsorum superfi-eies, quae similibus sphaerarum portionibus inscriptae similes sunt: unde concludetur propositum. quod scilicet talium portionum superficies erunt quadratis ex sphaerarum diametris, atq; etiam ex diametris circulorum, super quos portiones consistunt. proportionales. Q iandoquidem Iasium circulorum diametri sunt sphaerarum diametris, propter portionum similitudinem, proportionales. PRO
22쪽
Ilibet datae superseiei alicuius sphariae sepertatem esse Hugenti
Esto quantis data si iacies A, destribatur super quamvis lineam BD sphaerita
BED. cuius si petiales aut aequalis est superficiei Α, aut non; Si aequata, in sat propositum: setas autem, ni per υι-- -s,sicut est spiareicii iuperficies BEDad et em A. sic lata esto quadratum BDad quadratum CF, per βρι -- ό -s: Eritq; ριν ἀοι-
sicut quadratu B D ad PMdratum CF. sic utiqt spm xlea superficies B E D ad sphaerica superficie CGReadem igitur rationem h
Et umiliter eonstabit euiuslibet datae sphaerae seperficiem alicui
Rectilineo esse aequalem. astilicet mmata haera.&ni rectilineodes Hoc tibi
PROPOSIΤI o i XXI. . si i Datisduabus ciuibuscunq; Superficiebus aliquam Supersicum esse miro alteri aequalesti. ' I s
est ignis gen Imrodecimamaria, de vigesima riuus, quanto uior, q0im circes inis, aut sphaeriea..Sit igitur, erim i mi. tia perficie et A. Et portio quaepiam cireuii BEDs aer chordam BD. istadam aliquam circuli portionem esse superscies A aequalem,& portioni BiED sinulta Sit erumpe emimam Misis, sicut BED portio ad A superficie, sic B D chordae quadratum adqua' atm CF lineae: Etγμ si ισιν Iubiae emam super CF lineam comstituatur circuli portio CGF, similis ipsi B E D portioni: Et quoniam etardaemialium portionum sant diametris circulorum proportionales: & petitae quadrata P dratis proportionalia rAtq; 'underim τι--. similes portiones circulorum untduadratis diametrmum proportionales a Idcirco erit ficut quadratum B D ad qua. ratumCF sic portioBE Dadportionem C G F. Itaque eam eandem rationem ii beatportio BED ad portionemCGF.suam de ad superficimn A aequalis erit. 'ν----s Melai Apollio C GF. sed & similis stat portioniBE D. constat ergo Propositum. Similitet dataqualibet rilate,&sia quarus superiatali Mura, utpote cyli rrica'niea. dentonstrabimus aliquam sitherficiem esse figurae propo fimilem, desus ficiei moescia, pro va-- tanun duodecimam, aes a r. aut 3. --- n , item
23쪽
Item data superficie, ac tornatili solido, non aliter Wr detin--ptima, ostendemus, esse auodpiam totiatile cuiussumsistet data sit aequalis, ac tornatilis propositi iuperficiei similis, &c.
Cuilibet dat te Superficiei esse aliquam Supeiseiem cylin tricam aequω
ι, ... i 'lam circa datum axem.
SIt data superficies A, datus axis B C perpendicularis Ono inquo iacet linea DE
indefinitar Iam, quoniam circum axem BC constitui possunt infinitae coluamae laceratae, quarum superficies laterales singulae minores sine superficie A; tales autem superfities mMores sun ruperliciebus cylindricis circaeua in axem sibi inscriptis, ter tertiam h ius: Idcirco,&infinitae superficies cylind reae circum axem BC fieri possitnt singulae minorei data supessicie A. item, quoniam circum axe BC construi possunt infinitae coluim nae lateratae, quarum superficies laterales singulet m aioressim suis pei ficiei A: tales autem superficies minores sunt superficiebus cyli u , quibus inscribuntur. sperstramam huius εἰ Idco dc infinitae luperficies cylindricae circum axem B C locari queunt singulae maiores data superficie A: Erit itaque in linea iam Saula tex taminus. intra quem cylindricae superficies sint minores singulae superfiete A. & extrT quem sint maiores: Esto talis te murus punetiim D, eri r e m m. o teri . ναο ictis superficiebus cylindricis quaecunque intra terminum D consistit, minor superficie cylindrica, cuius semidiameter basis C ni quaecunque . rutem extra terminum Dniaior eademi mitrii superficies data A, &luperficies Glindri ea. eulus basis st-midiameter C in axi R C collatae ad omnem aliam stiperficiem, intra extraq; pumetum D sint ea simul maiores, aut simul minores: Iam per visimum disti tum aequales erunt. Cinstat ergo Propositum. i
Cuilibet data: Superficiei esse aliquam Superficiem Conicam aequalam circa datum axem
SIt data superficies A i lani'; . xis BC perpendi laria ad planum, in quorma DE indefinitar lam.quoniam circumaκem BC poni potant infinitae pyramides latcrata . quar m superficies laterales singulae minores sint superiete At tam aurem superficies maiores sunt superficiebus conicis circa eundem Hem sibi ininimis, ριν has ut Propterea & infinitae superficie conicae eitcunt axem BC po Histeriagi singulae minores data superficie A: item. quoniam cum axem BC ct e MinGaitae pyramides, quarum laterales Iuperficies singulae maiores sint superficie A i talex
24쪽
autem si perseies minores sum superficiebus conicis , quibus inscribuntur, pres cavi δε- bvius: ob id de infinitae superficies conicae circis axem BC stabuntiores data superficie A: Erit it que in linea DE aliquis terminus, intra quem conicae superibetes sint minores singulae superficie A, &extra quem sint mai res; Esto talis terminus puncta D, eritq; persecundam,sta a ram, ex dictis conicis superficiebus, quaecunq; intra punctum D minor superficie conisa,cuius semidiameter basis CD, quaecunque autem extra punctum D maior eadem: Cumitaq; s perficies data A, & superficies conica, euius basis semidiameterCD, axis i B Ce latae ad omnem aliam superficiem intra, extraue punctum D sumptam, sint simul ru lores , aut simul minores: Iam per visimam to ω- aequales esse conuincuntur. Constat ergo Propositum. i i .
Duabus Sphaericis portionibus super unum planum existentibus, maior
VT si portiones sphericae A B C, D ER
quarum exterior A BC, stent super fplanum, in quo recta A D F C, maior erit viperficie, A B C Stent enim ex altera parate eiusdem plani portiones sphaericae A GC.DHPsimvlae suis conterminis aequales, α similes . Otq; per ρο--- ροεμιι - , t talis superficies A B C G maior totali sum ficie DEFH includens videlicet inclusatae Ergo,&dimidium dimidio maius; Supeis. cies scilicet ABC superficie D E F. Quod scit demonstrandum.
Cuilibet datae superficiei esse aequalem alicuius sphaericae portionis s per datum Centrum, & a dato plano abscissael superficiem.
SIt data superficies A . datum centrum B, datum pIanum, in quo iacet recta CD ita ut BC sit perpendicularis ipsi plano indefinito. Iam rima a. ct a P ruit, infinitae cylindricae, siue conicae superficies habentes axem in rectum ipsi BCe sistentium initiores. tum maiores singulae data superficie Arcumque per quartum
iam . si ita, siue conica Iumficies maior quidem sit sp, ae portionis sibi
25쪽
laisipissum e.imor vero sphaericae portionis, ciuinscribitur, se elai mpatura, &ininitae sphaericaniauiortionum circa centrii R&apinio C R ab animsuperficies erum tum minores, tum maiores superficie A r Erit itaq; aliquis terminus in i nea CD intra quem lahaeritarum portiona superficies nunoreS runt superficie A,ne tra que maiores x Esto talis terminus punctum D: eritq;m praeerim. rem, ex dictarum sphae. ricarum portionum superficiebψs , qua cuum intra punctum D --
hq sepertate sphaerim Liportionis, cuius basi, semidiameter CD, quareunque autem extra puncto Dm ror eadem: Quando itaq; Urficies data A,&superficies sphaericae porthmis, cuius basis semidiameter C PGllatae dolan blitinsuperficiemi latri, extraue punctum D sumptam, sint simul maiores, aut simul minorest Id oper---Pφω- aequi iς ax; quod est propositum .. iiii sola tici ' .
26쪽
terunt ergo rectangulum EF, FC&rectangulum BG, G A inter se sequaIIa . Quare ριν i s. ii E. . sicut B G ad B F, sic F C ad G A. Et propter similitudinem,tria gulorum G BF. DCF, sicut DC. hoc est, A B ad CR. sic FC, ad G A. Item pro ter similitudinem triangulorum GA D. DC F. sicut DC. ad CF, sic G A. ad A D. hoc est ad BC. Itaque quatuor lineae AB, CF, G A, BC sunt continuaeproportionales. Et hoc proponebatur demonstrandum. Et hic quidem est modus Heronis, qui Mechanica scripsit. Subiiciemus nune aliorum Philosophorum circa idem Problema ex Eutocio sumptas traditiones.
Idem aliterdemonstrare. SVnto datae lineae A B, BC,&compleatur rectangulum ABCD, instuosam
. mulid. circulus circumscribatur: Μ-iater B A, B C , indefinitum proaurus deducatur recta FDHG, hac conditione , ut ipsae FD, H G sint inter se, aequales ; tunc enim C F , A G erunt i, ter ipsas A B, B C datas mediae pro γtionales. Nam per 3 s. tertis Eucli rectangulum A G, G B aequale est recta gulo HG. GD,&rectanguluCF, FB aequale est rectangulo D F, F H; Sed re.' ctangulum DF, FH aequale est rectangulo HG, GD; quandoquidem DF, G H lineae supponuntur aequales: Igitur rectangulum CF, FB aequale est rect gulo A G, G B: ciare ρον κυ. ti, Galiter, quam in praecedenti. ex similitudine ipsa triangulorum demonstrabu tur AB, CF, G A, BC, continue pr portionales. Et hic est modus Apollo-nij, & Philonis Byzant ij. ut testatur Ioannes Philoponus Alexandrinus. Et est idem ferme cum modo Meronis: quamuisdemonstrationes aliquantum disterant.
Aliter idipsum ostendere. S Voto datae re AB, BGada
gutumTectum positae: quae pro ducantur . sintque B E, B D singulae ipsi AB aequales, ad cuius spatium. super centro B describatur semicir-
ducatur ad periphetiam in punctum Ζ, & circa puncium E moueatur canon ET donee portio canonis Ticinter peripheriam, & A Z per aequa
27쪽
& per punctum K ipsi BD paralestus agatur MN, sitq; sicut M A ad AB, sic EM ad M X: Itemque sic N M' ad M o. Dico itaque quod B G, M X, M O, A B lineae sunt continuae proportionales. Agatur enim ipsi B D paralellus T P ; eruntq; B P, B M aequales, quandoquidem TL, L Κ iisdem paralellis interpositς fuerunt inter se aequales: Quare Uxi ad ME, sicut T Pad P E; & ideo sicut NM ad M A;&ideo sicut MEadbi N: quandoquidem MN media proportionalis est inter ipsas A M, MEi igitur, &M Eiplis L M, M N media proportionalis est. Non dubium ergo, quin Κ M, M TM N. M A sint in proportione continua ; Sed sicut B G ad K M, sic A B ad M A, pro ter similiti id inem triangulorum: Itemque per hypothesim, sicut MXad ME,& sic MO ad MN. Ergo ex permutata proportibne sequitur , ut ipsae quoque lineae BG, M X, MO, A B sint in eadem continua proportione. Quod erat demonstrandum. Est autem haec traditio Pappi in Mechani s. Et hac cadem uti videntur Diocles. &
Id ipsi im aliter demonstrare.
SUnto datae rectae lineae R B, B C ad rectos angulos positae: quae producantur in infinitum, sintq; A B D, C B E; & fabricetur rectus angulus FGH,&in uno crure, ut pote F G moueatur regula Κ L in canali quopiam, qui sit in ipso F G, utq;KL regula parallelus sit semper ipsi G Halterum regulamentum ipsi G H cruri insertum,icilicet, H M ipsiq; F G parallelum aptetur; ut Κ L rcgula ipsaru F G, H Maptata canalibus, ipsiq; GH parallelus vltro citroq; semper ad aequi distantiam ipsius G H moueatur: Huic demum , si tueture ipse A B C angulus ita erit ac- . cc Odandus, ita,inquam,rectae A B D, CLE regula mentis tuterponendae, ut A punctum contingat regu Iam Κ L, &iplia in C punctum contingat regulam G H, utq; A B D eat per angulum G, &Iinea C B E per angulum Κ. Hoc enim pacto fioni n: milum ipsi A E D, E DC anguli recti. Quaic per T. I 'xtr etiment. his assula piam, crum lineae A B, B E. B D, B C continuae proportionaleS.Itaq; datis duabus AB, C totidem interiacent lineae proportionales. Quod erat ostendendum Fuit autem haec inuentio Platonis, cum, Delijs pestilentia laborantibus, cot lius Apollo respondἰή et .vt lues cessaret, Aram esse duplicandam; quae cum Cubi formam haberet , cubu': aliter duplicari non posset, nisi per duarum mediarum prinportionalium interpositionem, proposita fuit huiusmodi quaestio.
28쪽
dis nendaq; sues parallelogrammata in eodem plano, ut eorum bases ininore su per eadem recta BK iaceant, & eorum diametri, atquidistent inter se,& iso manente parallelogrammo medio compellatur unuin supra,alterum inis eundem, aptata in eodem plano;quousq; pu i i ι . cta A,Ea extrema diam trorum, in una recta linea ΑΚ cadant; quae praeterea cum recta B K, extremi parallelogrami lateris porti nem C D abscindat aequa Iem minori datarum. Hoc enim facto ipsae EF, GH mediae proportionales erutinter ipsas AB, CD. nam B F
proptertriangulorum simi- vilitudinem, sicut AB ad EF,
si eut autem A K ad ΚΕ, sic FK ad KG; sed & FK ad KG; si mi EF adHG. Igitur sicut EFadHG, sie AB ad EFr Rursum, sicut EF adHG, sic EK ad Κ-ficut autem E K ad K H, fie G Κ ad K Sed & G K ad K C. sicut H G ad C D. Igitur E F ad HG, sicut H G ad C D. Constat ergo lineas A B, E F, HG, G D esse in proportione continua, sicut fuit demonstrandum. Et haec est Eratosthenis traditio.
29쪽
A B , B D ponantur aequales, & mox per A D puncta parabole A DH deseribam. αreliqua, ut prius, eriti r iam demopstraxa sicut BD, hoc est A Bad ΤΗ, sic A TU AG, sed ευ 2 o. prim i Cm e. ratio AB ad AT dupla est radonis ipsius nD. hoc Bad TH: Igitur sae via fient A B, TH. AT, AG continue proportionales: haec opus est ipsius A L interpositione, quemadmodum Meriaechmus docet.
Adhuc id ipsum aliter demonstrare.
Vnto datae rectae AB, BG, quarum maior AB, describarursuper AB diame-o trum circulus B G A intra quem ρη ec odam quarti E MIM. coaptetur B G, quae producta occurrat ipsi AD tλngenti circulum in puncto D: Item EG secet ad rectos angulos diametrum AB in puncto Z, dc super E G diametrum fiat semicirculus E H Grectus ad circulum BG A, hinc super semicirculum BGA erigatur hemicylindrus rectus; & in rectangulo, quod ροr axem cylindri describatur hemicirculus super A B, diametrum, qui semicirculus moueatur super planum circuli B G Asemper re ctu, ad idem planum,moto scilicet diametro A B verius G, manente ter no B ima moto, sitque semicircui in im motus T K d suppr diametro B T secante petiistianias G Aio puncto quo
quidem motu peripli ria TR B describet in , superficie cylindrica Ii- .neam quandam curua; inde moueatur triaguintum d D A super axem A B, quo mora punctu
G circumsuetur in pe- .ripheria, EΗ Gδε linea B D. M circulata d .isibereoni ami iuret asciem , dx secabit Enri . curvam in sit perficie cylindrica descripta in puncto quodam, quod sit Κ, in quo peripheria Τ Κ B latus ipsum B D motum secabit: Sit ergo B D A triangulum ad talem situ translatum ipsum B M A triangulariter; latere scilicet B M ipsam T K B peripheriam secante in plincto Κ, in ipsa cylindrica superficie. Et coniugatur Κ L reei A i quae erit eommunis sectio plani T Κ Λ, &eylindricae superficiei, quoniam scilicet cylindrus re stus est, atq; ideo planum ipsum T K B basi cylindricae reistum aequid istat axi cylindrico. Quare Κ L eidem axi parat, letus erit circulo B G A, di ideo rectae T a perpendicularis; praeterea communis s ctio circuli T K B, dc circuli E H G sit recta H N, quae per i . -Geimi ci culo B A G, dc ideo rectae TR perpendicularis erit ἱ dc coniungantur ΤΚ, L H. Aio itaque, quod B L, B Κ ipsis B G, A n interiacent mediae proportionales. od sic
Nam per EumeM. Eaeliae quadratum H N αquale est' rectangula EN, N O M ideo adducta rectangulo BN, N Lo quo fit, ut angulus B H Cum anguli B L Κ, B R. T recti sint i erunt 'ob id triangula B H L. BLR. ΒΚΤ similia; suandoquidem aequiangula. Vnde sequi: ur, ut ipsae B H.
v L, BR, B T siot continuo processu proportionales et Verrem B H aequalis ipsi BG, . qui Di iliaco by Corali
30쪽
la suist latera misi recti, cuius axis BZ, vertex autem B: Item B Taequalis ipsi B A. per hypothesim. Igitur&BG, BL, ΒΚ, BA continuae proportionales erunt. Quod filii demonstrandum. Est autem inuentio Archytae Tarentini, ut resert Eude mus, & Eutotius t ingeniosa quidem, & tali viro digna speculatio, cuius pravis, do fidissicilis sit, facillime tamen demonstratur. . '
- PROPOSITIO XXXIII. Esse aliquem Cubum, qui ad datum Cubum datam habeat rationem.
SIt data ratio, quae magnitudinis A ad maPitudinem B. datus eubus lineae C. Eritiam re huius, sicut A ad B, sic linea C ad aliquam lineam, quae sic D. Itaq; ipsis C, D, per quamuis sex
pracedentiam,interiacebunt duae mediae proportionales, quae sint o-. μ . BE,F: eritq; ρ' 3αν dec mi - ,
eis sicut Cad D, hoc est, sicut ,... T T D . A ad B, sic cubus C ad cubum H εIgitur cubus datus C ad cubum E, datam habet rationem, quae A ad B. Qusd est Propositum
similes Cylindri sunt Cubis, qui ex Basium Diametris proportionales.
SVnto fimiles eylindri XAIB,&ZCΚ D,quorum basium diametri A B, C D, sit que sicut cylindricus X AIB ad cylindrum Z C Κ D, sic cubus AB ad cubum lineae EF per praecedentem: Et dem lirandum erit, quod linea EF aequatis erit lineae C D ; nam secus erit aut maior, aut minor, si linea E F maior est quam linea C D intelligatur circulus i t di inscribatur circulo E LF figura multiagula ENPminime tangens circulum C Κ D. per 33. duodecimi melia. Et ei similis figura A M Binseribatur circulo AI B,&super tales figuras e m
lumnae Q. EN F, de X A MB ipsis iam cylindricis QEL F, X RIB similibus inscriptae; eritq; permota sie columna XAM Bad columnam quandoquidem similes sunt columnae, sicut &cylindri; quare sicut colum