장음표시 사용
41쪽
Sectoreirculi aequalis est triangulo rectangulo, cuius unum eorum lat nim, quae cire rectum angulum aequale est et,quae excen- it
em, reliquum vero peripseriae sectori
x circulo A BG, cuius centrum D . abinindatur sectorD B G, de ponatur ars
ne est circulus ABG ad lectore DBG sicqt tota peripheri ABG ad periphetiam BG , &ideo sicut a T ad κ H, dc ideo
per i. 6. sicut triangulum EaT . iad triangulum EZH,estq; circulus A BG triangulo EZT aequalis; igiturIre r. s. di sector DBG erit trigono Ea H aequalis. quod est propositum. Hinc messestum est, quod se r circuli aequali est tectangulo, quod sub semidi it trucuculi,& linea aequali dimidio peripheriae assumptae contineatur. ν
42쪽
' Α vende quod ex 4. minis circuli superietes producitur ex ductu semidia me
αλ tri in dimidium peripheriae, ex praesenti vero Sectoris superficies producitur ex semidiametro circuli in dimidium peripheriς Sectoris quemadmodum trigoni rectanguli superficies consurgit ex ductu alterius uterum, quae circa re m angulum in dia dium reliquiper 3.
Exhac quoque propositione sequitur, ut Sectorum ratio componatur ex rationiabus semidiametrorum,& arcuum. viqi similium Sectorum ratio fit ficut semidi metrorum duplata, utque sectores, quorum semidiametri sunt arcubus reciproci, sine inuicem aequales. Similiter ut portionum circularium similium ratio se quae chord rum dupla.
Circuli peripheria tripla est diametri,& adhuc excedit minori quam . septima parte diametri, maiori autem, quam decem septuagesimis primis.
Sto circulus A G, cuius diameter A G, dc centrum E; aio quod peripheria A Gminor quidem est, quam tripla sesqui septima diametri AG, maior vero quam tripla superpartiens decem septingesimas primas. Agatur ipsi A G ad rectos angulos MGR, quae cadet extra circulummos. 3, ponat que angulus GER dimidium Uguli trigoni equilateri, hoc ita tertia pars . .recti, eritquO . EG perpendi- . vlaris aba suis trianguli aequilateti ad latus opposita. dupla ergo erit
E R ipfius RG, ae ideo quadratum E R qu
43쪽
G Rerit sicut EG ad G H. itaq; ratio EG ad GH maior erit, quas 't ad isti inteeae pisau. l.ratio EHad GH maior quam Isr- ad is 3. Rursum lecto bilatiam anguil
EL non aliter Crit ratio E Gad G L maior quam 6 3 ad i 13. 'niam ergo angulus G ER tertia pars reae quater lectus est bifariam, ideo angulus GEL erit pars R. recti, ponatur ergo ipsi GEL aequalis GEM eritq; totus LEMag. pars recti, itaq; LΜ est latus polygonii 95. angulorum circulo A G circumscripti. Cum ergo ML ipsius GL . de AG ipsius E G dupla sit, erit sicut A G ad M L, sic E G ad G L, & ideo sicut A G ad nonagincia. piunt sexcuplum ipsius ML, hoe est ad perimet tu polygonij dicti,sie EG ad non sincuplum sexcuplum ipsius G L: fuit autem maior ratio E G ad G L, quam 4673L. adis 3. multiplicemur ergo is 3. nonagies sexies fientq; r 688. quare maior erit
ratio EG ad nonagincuplum sexcuplum ipsius G L quam 46 3 ad 1 688. itaquia maior ratio AG diametri ad pertinetrum polygonij 9ο. laterum circulo circumscripti. qua 4673 . ad 36688. sed numerus i 688. continet numerum 4673 . ter, di s persut 66 L qui minus est quam septima pars ipsius 673 . quare didu po gon peri meter triplus est diametri,& excedit minori qua septima parte: sed polygoni,
rimeter maior est circuli perimetro, a sortiori ergo circuli perimeter triplus erit vias metro, & excedit minori quam septima parte, di haec est prima pars propositionis. Ducatur nunc intra circulum AB, BG, sitq; BAG angulus tertia pars recti; it sicut superius, si AG ponatur partium is εο .fiet BG partium 78o. quare ratio Anad B G minor quam a 3s r. ad 8o. secetur bifariam angulus B A G ducta ΑΗ secana te ipsam B G apud R,de connectatur H Geritq; angulus B AH aequalis angulo BGH
44쪽
angillo II A G. igitur triangula H A G, H G R angulos B G H , H A G sequale, ha bentia ,&angulum ΑΗ Geommunemὶ sunt ad ipuicem aequiangula. itaque sis 4. 6. Leut AH adHG, sic GH adHR,&AGadGR, sed AG ad GR μν a. s. o 33. s. . ficut aggregari ex G A, A B ad BG, ergo sicut aggregatum ex G A, A B ad BG , M AH adHG, quare AH ad HG ratio minor quam 29ir. ad 78α& ideo Nato A Gad GH minor qua 3or 3 Lad 78o. Rursus secetur biseriam angulus HAG ducta T A,& eonnexa T Gifiet ijsdem adductis, ratio Α Τ ad T G minor qua soria.
'AGadGT minor quas 976. ad 78ci. Item' secetur Τ A G angu- Ius bifaria ducta Aiaci conexa Κ G erito; similiter ratio A Rad ΚG minor quam
ad M. Adhuc sectoqhifaria angulo X A GPer lineam A L du .ctaque L G non aliter fiet ratio A L ad LGGubrquam Io 1εLad εα de Ideo retio A G ad G L minor adi ad M. sed angulus L A G est quadragesima octaua . Pars recti .& ideo est ρον xy. 3. angulus quem substendit peripheria L G ad eentruci circuli est vigesima quarta pars redii. Quare recta LGest latus polyγω, aequilateris s. angulorum circulo inscripti, multiplicentur igitur 66. nonagies sexies fientq--ε336. itaque ratio A G ad perimetrum dicti polygonii minor erit quam a or L ad ε336. quare conuersimper 2ο. s. perimeter dicti polygonii ad A G diametrum ratio maior erit quam 533Mad aos 7- sed ratio 6336. ad ior II maior quam tripla super Partiens deeem septuagesimas primas. ergo ratio perimetri poligoah ad diametra maior est quam tripla superpartiens '' sed circvii peripheria maior est polygonii mrimetror igitur a sertiori rario circuli peripheriae ad diametrum marior est quam uipla repaniens - , quod est proptati residuinu.
EX quo iidem escula manisestum est, quod si elaeuli diameter matur partes. 697. peripiaria erit maior qui deah quam partes assi. minor vero quam parte
45쪽
3 ARCHIM. EX MAUROLIC. PROPOSITIO VIII.
Circulus ad id, quod a diametro quadratum rationem habet, quam v ; decim ad quatuόrdecim sere.
It cireulus, euius diameter A B, cui circumscribatur' 7. . quadrata G Do lines GD dupla, sit quη D E,ipsius aure GD pars se mima,quet E R& connecta lut A D, A E, A R, perpraecedente recla G R aequalis ferE peripheriaecirculi Α B.
sed A Gρeν 7. . aequalis semidiametro circuli eiusdem,ergoper huius circulus ARςqualis fere trigono A G Rarigonu aute A G R ad trigonii A D Gper i. o. ct coniunctam proportionem sicut balis G R ad basim G D, ergo sicut aa. ad 7. sed trigonum ADG ad quadratum GH, sicut 7. ad 28. quoniam quarta parscius et igitur trigonum AG Rad quadratum GH, sicut aa. ad 28. hoc est sicut ri . ad ι . quare, & circulus A B,aequalis iam trigono A G R,ad quadra tum GH ficut et r. ad rq. quod est propositum. v
qim i circuli simul aequale signi tr. quadratissimuLLVI 'uibus anscribuntur. Patet, nam per circulus ad quadratum suae diam ctri est sicut et r. ad r . ergo υιν. t 3. 30 xl. circuli ad I r. quadrata simi sicut a I. ad rq. ergo c6uersim tr. quasi ara ad at . circulos sunt sicut a . ad 11. ergP I . cir-:culi eam habent rationem ad i r.eireulos,quam a I. quadrata ad eosdem ri. circulos, , quare er9. . a circuli aequales sunt i a. quadratis suorum diametrorum.
PRaeterea paret, quod si quadratum diametri alicuius cireuli multiplicetur unde cies producti pars i . area a circuli. Contra si circuli area quatuordecies coaceruetur, ploducti pars undecima erit quadratum, quod ex circuli diametro. Haec autem secundum rationem triplam sesqui septimam, non secundum rationem triplam superpartientem Erit circulus ad quadratum suae dia tri, sicut aa 3. ad 284. unde a . circuli erunt aequales a 23. quadratis. mare si quadratum diametri multipli tur bis centies vicies ter producti pars ducentesima octuagesima quari
46쪽
Greulus super latus trigoni rectanguli angulo recto stibtensum deseri, tus aequalis est aggregato duorum circulorum super reliqua . latera similiter descriptorum. SP rectangulum trigonum ABGrectum qui ad Bangulum habens .eso quod ei
. culus, euius diameter A G aequalis est aggregato duorum circaeoriam, quorum diametri AB, BG; nam in a. ra. sicut quadratum Adad quadrivum AG, seci milux ex diametro AB ad circulum ex diametro A G, itemque sicut quadratum B Gad quadratum A G, sic cireulus ex diametro BG ad cireulum ex diametro AG quare 'a s. erit sicut aggregatum quadrat cum A B, BG ad quadratum A G , sic aggregatum circulorum ex diametris A B, B Gad circulum ex di metro A G, sed per penast. r. aggregatum quadrat tum A B, B G aequum est quadrato A G, ergo, & -- gregatum circulorum ex diametris A B, BG aequum est cireulo, eruus diameter Aquod est propositum. Similiter ostendam, quod ei reuli, quorum semidiametri A B, B G simul aequales sunt circuIo, cuius lamidiameter AG, quod etiam in proposito videtur includi.
Propositis duobus circulis, eorum aggregato aequalem comperire
circulum. - V o duo circuli, quorrem diametri A B.BGoporcoincomperire circulum eorum aggegato squalem. Componantur A B, BG ad areulum rectum apud B, ciconnectatur A G, saper quam diametron circulus describatur, qui per fracedentem aequalis est circulis, quorum diametri A B, BG : quod faciendum proponitur. hinc potes quotcumque circulorum datorum aggregato aequalem inuenire circulum.
Propositis duobus eireulis inaequalibus, eorum differentiae aequalem
comperire circulum. . dii circulum, citius diameter B G. saper A B deserubatur semicirculus A GB, intra quem per t. coayreturi no Bipsa BG, de connectatur AGserique ριν 3ο. a. angulusAGBrectus, dc ideo' --- . . . . io Unto duo cireuli,quorum diametri A BAE amo. rum maior A Roportet comperire et rculsi aequalem excessui, quo circulus, cuius diameter A Bexe
47쪽
missam circuli, quorum diametri A G, G B simul aequales circulo,cuius diameter A B: quare circulus cuius diameter A G effexcessis , ii irtii lux cuuis diameter A B, ,- cedit circulum,cuius diameter B G. circulus erso, cuius diameter A G, est qui quaere
Comperire circulum, qui ad datum circulium datam habeat rationem.
DAtus circulus sit A C B,data ratio qua D ad Goportet describere circulum,qui ad eliculum A C B sit licae D ad G. sicut est G ad D, sic sit' i o.6.diameter A A. au lineam E. de ipsis A B, E metiir erv. s. m M proportionalis ΖΗ, super D diametro describatur circulus Z FH aio qudd si ut est D ad Gisic est circulus Z FH ad circulum A C B,quod sic ostendam.
Lineae AB, , E sunt continuae si pio portional S, ergo per i 7. sicut . e. A B ad Ε, sic quadratum, quod ex . . r. NAB ad quadratum, quod ex ZHai- x Λςut autem quadratum An ad qua-----u es dratum ΖΗ per a. ra. sic circulas i i . . AC B ad ei reuiua FH, igitur sicut tA Rad E,sic circulus ACB ad circu Ti lsi Z FH, sed AB ad Z sicut Gado, ita iiicut Gad Date ei reul AC a : - .... ad circulum L F H,&conuertim.ergo sicut D ad G sie cireulus Z F H ad cireulsi A C B. descripsimus ergo circulicitat Hi, qui ad cinchium datum A C B rationem habet. quam D ad G datam, quod faciendum proponitur.
HI ne ergo dato sectori, qui datam habeat ad situm eliculum rationem, Mua lem comperire circulum. Nam si, exempli gratia, sector quispiam sit quinta pars sui circuli, videlicet assumens quintam totros peri aeriae partem, tunc circulus, qui sit quinta pars illius circuli per praesentem inuentus, est huiusmodi sectori aequalis.
Libelli de dimensione circuli. . . . c '.
SVper diametrum A B destri satur semicirculus
ACB super centrum D,sitq; C Iasemidiam ter ipsi A n perpendicularis.& cciii A C describatur super A C semicirculus AEC.aio quod me-niscus contentus semicirculo A E C, di quadrante A F C aequalis est trigono rectilinea A OD. eo. nectatur enim B C,& erit per 3 3. angulus Asi nrectus i qu Vς ρς s. prvosit. tibiam de κωπριι is
48쪽
semiciressius A C B aequalis erit duoruia semicirculis, quorum diametri AC B. duplex ergo est semcirculus A C B ni circuli AE igitur quadrans eirculi AE CD aequalis est semicirculo A E C, itaq dempta portione A F C communi superes mentit δε ECF aequalis trigono rectilineo A CD, quod est demonstrandum μαα exponatur super diametrum A B semicirculus A B, & super diametrui CDi ΑΩ duplam. semicirculus C EFD eritq;ρ .ra. semicirculus C EFD quadruplus semicirculi A B, & in ipso CED semicirculo coaptemur tria latera hexagoni aequilateri C EERF D, super qui a singulis desesibantist semicirculi CG
E H F , Dc D, qui singuli erunt ipsi A B.ie circulo aequales, quoniam scilicet C DEF,F D sunt Ligulae dimidio iusius CD
& ideo ipsi AB aequales,itaq;/emicirc. . . Ius C E F D equales est tribus semicircu- .lis CGE, EI F, FKD, & semicircuis
Ad,dematur ergo comunes ipsae CLE, E M. F, F N D portiones,& supererit tr i. Eium C EFD aequum tribus meniscis. , G L, H M, KN, & semicirculo A Bt a Glserantur ergo de rectilineo CEFD tria triangula tribus menistis aequalia, modo. inuper tradito inuenta,&supererit recti, '
lineum ipsi A B semicirculo aequale. quod duplatum faciet rectilineum tini eirenioe aequala ; inde quadratum ipsi rectilinea aequale comperietur re vis. a. di peri G
quadratismerit circulo aequale. M.
Videtur autem hic Hippocrates voluisse decipere Geometras,non enim tradidit doctria m. - periensi Noctineum aequato euieumqt .merusco, sed solum et, qui sub se clxculo, dc Mad te concluditur: ad quadraturam vero circuli opus erat inuenire te lineum ei merusco aequale, qui sub semicirculo, & sexssime continetur Corruit laq/iae Hippocratis demonstratio, subducto suadamento.
AD comperiendum rectilineum circul aequale siet proeedam, esto semicirenI A B CD super diametro A D centrum E ; in quo sumatur portio ABC, it ut arcus ABC datam habeat rationem: ad tutam circuliABC peripheriam, & B si ipsi diametro A D parallelus
& connexa A B assignabo circulum aequalem disterentiae ipsarum portionum A B C, A B. connectantur A C, B E, E C, &quonia datur ratio arcus ABC ad totam peripheriam ideo datur, dc ratio arcus BC ad totam A EL Dperipheriam , quare pervis. dabitur ratio sectorix E B C ad totum cireulum talem, eigo rationem' vis. luem de ἀ- - cireuti habeat circulus F ad circulum A B C.eriri re p. . circulus Faequa
49쪽
A C. & arcu B C contentae, ergo circulus F aequalis est figurae ABC, quae est disseis . tentia portionum A B . A B C, quod volebam. Sit deinde semicirculus G Κ L super . diametrumGL centrumq; M, inq; ΚMipsi GL perpendicularis, Item GH sit latus . hexagoni,&conne Mntur GK,M H, eritq; sector MΗΚ duodecima pars circuli; sit ergo circulus N aequalis sectori MHΚρονωθ. likitia e duM Date eiscati compe
ius. Item sit circulus P aequalis differemiae ipsarum pomonum si H Κ, Grufi -'dum docuimus, inuentus rerit autem circulus Nmaior circulo P,quoniam sector M H Κ maior est, quam disterentia portionum GHK, GH, quae differentia est figura GHΚ subrectis GH, GK, ct arcu ΗΚ contenta r itaqueper et r. Meui-n eriremisit ipsorum circulorum N, P disserentiae aequalis Urculus, qui aequalis erit diL feretiae triagulorum rectilineoru MGH, MKG. nainq; subducta differentia proportionum G H G H . circulo videlicet P. de differentia sect
tuis M G Κ. M G H circulo videlicet N, sup rerit differentia triangulorum M G Η, M Κ λeirculus videlicet in sit ergo triangulora ΜGH, M Κ G diserentia trigonum R, quod erit aequale circulo ruitaq; circul, aequale descripsimus rectilineum. Verum in hoc deficit problem
quod non docet prima regula inuenire circulum aequalem disserentiae quinamcumq; circularium portionum, sed solum earum, quarum peripherie semielaeaeum eonfieiunt opus auatem erat extendi regulam ad portiones GH Κ, GH, quarum peripheriae circulum
non complent. Itaq; quoniam hoc modo non succedit, alia aggrediemur via; si memus aut m docti tiram aequalium momentorum, docentes quo pacto queat centirum grauitatis propositae figurae planae inperiri. Sit rectilineum, vel alia qualiscumqι plana figura A B. euius oportet centrum grauitatis inuenire riu cndatur rectilineum a signo quovis, utpote A.& ducatur perpendicularis ad horirontem A B, quae sicut is Hem momorior vim aqua m ostenditur, ibit pri centrum grauitatis figu-
rae AB, item suspendatur figura ab dio signo, ut pote C, de ducatur ad horizontem perpendicularis C D s eam ipsam AB in signo E. ibit enim similiter C D per centrum grauitatis figurae AB; erit E. quod inuenisse oportuit. Nunc parata est proposito
Proponatur circulus qui piam ,
cui oporteat aequum rectilineunta
deseribere, sim circulus A B C, cuius centrum D, assumatur de ipso Portio aliquota, ut pote quadrans A B C D semidiametris A D. D C ductis, & con nectatur A C, capiatur autem,sieut dudum docuimus ipsius quadrantis A B C D grauitatis centrum, quod sit E , capiatur de trianguli rectilinei AC Deentrum, si F. nec non portionis ABC centriam, quod sit G; & quoniam E centrum est aggregam Η-α est sicut an m/motu aquab Mosten.
50쪽
ostensum est, erit Ecentrum in recta G F: item quoniam spatia reciproca sunt trinde ribus, erit sicut triangulum A CD ad portionem A B C, sic spatium GEad spatium E Fi sie ergo sit D C. ad C H sibi in rectum coniunctam, deconnectatur A H. eritque per i. s. sicut D C ad C H, & idecisicut triangula A C D ad portionem A B C. se ti ili gulum A C Dad triangulum A C H. itaq; per s. s. triangulum A C H aequum vit portioni A B C, positoque communi triangulo A C D erit triangulum A H D aequum quadranti A B C D, quadrupletur ergo triangulum A H D, fietq; triangulum. Vel rectilineum aequum toti circulo ABC, quod erat faciendum. Neque hoe contenti scrusti tabimur arithmetieo calaulo, rationem peripheriae ad diametrum annitentes propius Archimedeae veritati accedere, quamquam id olim. Apollonius factitasse narratur inmagnum distulas numerorum aceruum.
o It datus circulus AB superdiametrum A Η, quem quadraia oportet: intelligaturo Cylindrus AC super basim cireularem AB, cuius altitudo BC, aequalis ponatur diametro A B deinde quadratum fabricet ut DE F.cuiux latus aequale diametro ΑΒ.&super tale quadratum cubus DG, stent autem tam cylindrusA C, quam c bus DG super collibrato plano i&impleatur cylindrus A G aqua . siue liquore qum uis, ita ut plana sit suprema liquoris superfici cs: mox essundatur liquor in cubu
Et quoniam maior cubus cylindro, Ut trete, quem circumscribit, aut circum
icribere Potest . ideo non explebiti tum liquor cubumia Impleat sanEusq;
ad in ii, ut videlicet liquoriscelsitudo iit F H plano liquoris H Κ aequEdistante superficiei planae D F.quibus peractis habebimux duo solida aequalia, cylindrum scilicet A C. & parallelepipedum D H. quandoquidem idε . 1 --- Iiquor implet utrumque. Necesse est ergo huiusmodi solidorum celsitudines esse basibuςreciprocas, ut alibi ostensum est; hoc est ut circulus A B ad quadratum D F. siue E G . sic celsitudo F H adeelsitudinem B C, quae est F G. sed fler 1 ς eum υν- sicut FH ad FG, sic rectangaeum E H ad quadratum E G. igitur Mut rectangulum EH ad quadratum EG, siecirculux A B ad quadrarum EG; quare rectangulum EHaequale erit circulo AB. ponatur ipse ERF H media proportionalis linea L. eritq; quadratum ex L aequalerectangulo E Η, de ideo aequale circulo A B, quod est propoutum.