장음표시 사용
31쪽
eylindrum Z CL D; sed maior est cylindrus X AI B,quam columna X A M B inseri
ta, per ρες δει--; ergo dc cylindrus ZCKDest maior, quam coluinna QIN F; quod eli impossibile fler victam n laιum. Non est ergo maior linea E F, quam linea C D. Si autem minor, tunc conuersim erit, sicus cylindricus Z C Κ D ad cylindrum X AI B, sicut cubps EF adcubum AB; sit ergo sicut cubus EF ad cubum AB, sic cubus CD ad cubum GH, perpracedentem: eritque sicut cubus CD ad cubum G H. sic cylindrus Z C ΚD ad cylindrum X AIB ; & quoniam C D maior est, quam EF, ideo er8. i 2.9 34. quinti, erit GH maior, quam AB. Unde sequitur idem impossbile, ut scilicet cylindri primi ad cylindrum secundum ratio sit, sicut eo- Iurnina diametri primς basis ad columnam lineae maioris diametro secundae basis. Non 'est ergo minor linea E F, quam linea C D: Sed nec maior fuit: aequalis ergo. Et hoc fuit demoastrandum.
Similes Coni sunt Cubis, qui ex Basium Diametris proportionales.
O Mnino eadem demonstratio, si pro columnis pyramides lateratas conis includas, & ijsdem argumentationibus utaris.
Similes Coni-coluri sunt Cubis, qui ex Correlativarum Basilum Dia- metris fiunt Proportionale . . NAm similes coni- coluri rut similium conorum similiter factae portiones, sed'
praecedentem, integri coni, sunt cubis, qui ex basium diametris,proportionales, & abscissi coni, sunt cubis, qui ex basium stetridium diametris fiunt, propori ionales ; sed hi eubi simi illis proportionales, quoniam basium harum diametri, b.ilium illarum dirimetris sunt proportionales, propter similitudinem portionum . Igitur abisscissi coni sunt integris conis proportionales. Quare er I9. , & relictae portiones, qui sunt ipsi coni- coluri, sum tam abscissis, quam integiis conis, , ideo correlaistiuarum basium cubis proportionales. Q 9d fuit ostendendum.
PROPOSITIO XXXVII. similia solida tornatilia, hoc est, a dimidijs smilium planarum multiam
sularum Figurarum super fixas Di ametros semel circumductis descripta, sunt Cubis ipsarum Diametrorum proportionalia.
NAmque huiusmodi solida compacta sunt ex similibus, numeroq; aequalibiis e nis, inter quos bini, & bini, qui lant ad extrema diametrorum, sunt perfecti; caeteri vero coluri coni: inter quos tamen sunt quandoq; bini cylindri; verit ριν 34. 3-36.8r coni,correluti uos correlativis comparando, sentcubis. qui ex diametris correlatiuam basium fiunt, diametris proportionales hi autem cubi sunt cubis diametrorum super quas dimidia figuraru circumducutur, proportionales, quandoquiuem diametri diametris proportionales sunt, propter similitudinem figurarum. Igiturper 13. νια--α aSῖsegata omnium conorum, hoc est, ipsa
32쪽
solida tornatilia Hiegra erunt cubis earundem diametrorum proportionalia. Quodsiit demonstrandum.
sphaerae sunt Cubis Diametrorum proportionales. SInt duae sphaerae AIB,&CΚD, quarum diametri AB, CD; sitq; per 33. Mius
sicut sphaera AIB ad sphaeram CΚD; sic cubus AB ad cubum alicuius lineae Ecdi demonstrandum eris,quod linea E F aequalis erit lineae C D: nam securierit aut m tori aut minor. Si linea E F maior sit quam linea C D intelligatur sphaera E L F concentrica sphaerae CK D, &per 33. ia. Euclid: & per figuram planam multiangulam. inscribatur sphaerae ELF iolidum tornatile EN Fcuius superficies minimὸ tangae sphaeram CKD, &ei simile solidum A M Binseriti tur sphaerae AIB; eritq; per praec dente sicut cubus AB ad cubum E F, fies iidu tornatile A M Bad solidum tornatilo E N F, quare sicut solidum AMBad klidum E N F, sie sphae. ta AIB ad sphaeram.
tim, sicut solidum A M B ad sphaeram A I RQ solidum E N F ad 'haram CXD sed
maior sphaera AIB sol ido A M BIer Mntum sutum i et go, di sphaera C K Dina ior solido EN F, quod est impossibile, per psuiatum. Non ergo est maior linea E F diametro C D. Si autem minor; tunc conuersm erit, sicut sphaera C Κ D ad sphaeram AI B.sie eubus E F ad Obu A B. Sit ergo per 3 3 .huiur,sicut cubus E F ad eu.bum A B, sic cubus C D ad eubum G H, eritq; iicut cubus C D ad cubum G Η , sic sphaera C Κ D ad sphaeram AIB.&quoniam CD est maior,quam E F, ideo per ρυ--sse , or a . quinta, GH maior erit, quam A Brunde sequitur idem impossibilG, ut scilicet sphaerae primae ad sphaeram laeuudam ratio sit, sicut solidum inscriptum primae ad solidum lineae maioris secunda diametro . Non est ergo minor linea EF diametro CD, sed nec maior fuit : aequalis ergo. od fuit demonstrandum.
similes Sphaerales Cunei sunt Cubis Diametrorum proportionales.
SPhaeralem cuneum intelligo Corpus sub conica superficie vertice in centro Sphae. rae habente, & sub assumpta sphaerica superficie comprehensum, quod quidem conraonitur ex cono, & sphaerica portione communem basim habentibus circulum, qui sphaeram per inaequalia secat. Demonstratur autem haec non aliter,quana praemissa hoc excepto, quod pro totalibus sphaeris, cunei sphaerales similes capiantur: Et pro inruatilibus solidis tornatiles cunei capiantur. Componitur autem tornatilis cuneus exsono supradicto cunei sphaeralis & portione tornatilis solidi cadente intria sphaericam portionem. Nam huiusmodi tornatiles cunei similes sunt, quandoquidem intra
33쪽
intra similes sphaerales cuneos cadunt : &ideo per antepraemissam, sunt tabis dianistrorum sphaeralium proportionales. Atq; etiam cubis dictarum basium diametrorum quippe quae sphaeralibus diametris sint proportionales, propter portionum similitu
Similes Sphaericae portiones sunt Cubis Diametrorum proportionales. NAm cum sphaerica portio per definitionemrapraemissa assignatam sit relictum
solidum post coni i sphaerali cuneo abscissionem, atque per praecedentem,tales cunei, per 3 s. aut tales coni quia similes ) sint diametrorum basium. & etiam sphaerarum cubis proportionales, hoc est,cum tota sint abscissis proportionalia; erunt. de relicta totis proportionalia, hoc est, sphaericae portiones dictarum diametrorum cubis propoitionales. Quod proponitur demonstrandum. : Cum igitur similes sphericae portiones hemisphaerijs minores sint diametrorum cu-bis I froportionales, erunt dc relicis sphericae portione. hemisphaerijs maiores iis de cubis proportionale . . .
PROPOSITIO XLI. . Cui libet dato solido aliquam Sphaeram esse aequalem.
E Sto quodvis datum solidum A, exponatur quaelibet linea B D, super quam diametrum sphaera B E D intelligatur. Aut igitur sphaera B ED aequalis erit solido
A. aut minime, si aequalis, constat pro- 1 positum: Sin vero, tunc sicut est sphaera B E D ad solidum A, sie sit cubus lineae lBD ad eubum lineae CF eritque fer 33. huius, sicut cubus BD adcubum CF, sic sphaera B E D ad sphaeram CG F; itaqne eandem rationem cum habeat sphaera B E D ad solidum A, quam . . de ad sphaeram CGF, aequalis erit,ianu. . asphaera C G F solido A. Rui sum ergo constat Propositum . . . . . . .
PROPOSITIO XLi I. 'Datis duobus quibuscunq; Solidis, esse aliquod Solidum uni eorum.
simile, Si alteri aequale. ylE Sto, exempli gratia, solidum quodlibet A, & conus B E D super hasim , cuius
diameter B D. demonstrabo iam,conum aliquem esse cono B E D simileth, de saelido dato A aequalem; sit enim per 3 3. huius, sicut conus B E D ad la lidum A, sie cubus lineae B D ad eu-bum lineae cuiuspiam CF, & super circulum CF conus CGF erigatur similis cono BE D eritq;per 3 .huius, conus B E D ad conum CGF,
34쪽
ideo siret eoius B E D ad solidum A; eandem ergo rationsi cum habeat B E Dad solidum A, quam & ad conum C G Raequalis erit iam conus C G F solido A. Comstat isitur propositum. Quod si super basim, cuius diameter B D cylindrus suppona. turi similiter , &ρer 3 o. o 33. huius, cylindrum GC F similem cylindro E B D, de
aequalem solido A, esse demonstrabimus, Idem quoq; per 33. 9 35. pro conis colu-ris :ρre 37. pro tornatilibus solidis :per 30. pro sphaeralibus cuneis:ρον o. pro spaericis portionibus efficiemus. Non aliter de cubis, aut prismatibus, aut pyramidibus, aut parallelepipedis . aut polyhedria regularibus, siue irregularibus solidis propositum constabit e quandoquidem, ut in Eument. a a. ostensum est, similia solida sempersunt cubis correlativorum laterum proportionalia.
Circulus aequalis est ei, qnod producitur ex semidiametro in, Semiperipheriam.
SIt circulus AGH, cuius semidiameter AB, superficies autem C sit id, quod fit ex semidiametro A B in semiperipheria circuli A H G. demonstrandu est,quod circulus A H G aequalis est super iei C. Nam per i . hams, erit circulus quispia aequalis superficiei C ; sit ergo circulus D IK cuius semidiameter B D aequalis superficiei C;&ostendendum erit, quod BD linea aequalis erit ipsi B A; nam secus,erit virauis maior, & circulus D IK describatur,concentricus circulo AGH,&per ra. II. cIια intra maiorem horum circulorum describatur figura mulii ingula, circulum minorem
minime tangens, fiet'; per. ι .sexti Euclia. ut superficies talis figurae inscriptae sit aequalis ei, quod fit ex aliqua linea inter ipsia AB, BD, quaesit B E. in E L M semiperim atru ipsius figurae ; quod productum sit F; itam si A B sit maior, quam B D erit tune B E minor, quam ΑΒ linea ;& proinde superficies C maior superficie Rigitur ille ei reul' DIR
qui aequalis figurae Cpositus suit maior erit figura F, seu EL M, sest impossibile per tertiam psaiarum. Si auistem A B sit minor, qua BD, tune B E maior erit, quam A B linea..; quare superficies F maisior tunc est superficie C, & idcired figura F sev E L M erit maior spatio C seu cirem Io D IK intra quem inseribitur: quod est impossibile fler dictum pastinuum. Cum ergo linea B D neq; minor,nem maior post esse,quam linea A B,erit aequalis. Quod
5'militer aWinoslandemus, quod superficies olindricii aequalis est ei, quod fit
35쪽
me latere eylindrico in peripheriam basis. Idq; per columnam inscriptam maiori cylindro, ita ut minorem non tangat. Item quod superficies contea aequalis est et,quod fit ex latere conico in semiperimeriam bans. Idqι per pyramidem inscriptam maiori no , ita, ut minorem similem, vel sub eodem axe positum non tangat.
in duobus Circulis inaequalibus, id quod fit ex Diametro maioris in peripheriam minoris, aequale est ei, quod At ex Diametro minoris in peripheriam nutoris. Iden que de Semidiametris, & Semiperipherijs est dicendum. SVnto duo circuli inaequales A G E. & B H F, quorum diametri A E. & BF, & p
ripheriae earu aequales sint lineis C, D, hoc est, viper x s. linea C sit aequalis peripheriae circuli A GE,εlinea D aequalis peripheriae circuli BHF. demonstrandum ergo est,quod rectan. gulum A ED aequale est rectan- - . Hgulo B F C; nam cum per 8. hu- - ius, sicut est A E ad BF , sie sit C ad D; iam per 2sexti Eument. Euclid. constat prima propositi pars, quod si AI & B L suppo-
nantur semidiametri, ia per eam μ' -- ---i --
8. lineae C&D tunc erunt semiperipheriae. Unde constabit, quod supererat demonstrandum.' ,
In tribus Circulis, quorum Diametri sunt in proportione continua, id quod fit ex Diametro primi in peripheriam postremi, aequale est ei, quod sit ex Diametro medij in peripheriam suam. Idemque de Sem, diametris , & Semiperipherijs dicendum. 1 . INtersit enim per sextam huius, ipsis A G, & B L diametris media proportionalis Iinea EI, eritq;perodrauam huius, F peripheria circuli, cuius diameter EI, medi&proportionalis inter C, dc D peripherias: quandoquidem peripheriae sunt diametris proportionales.& demonstrandum erit, quod redictangulum AGD, siue rectangulum B L C aequalia enim sunt per pracedentem aequale est rectantulo EI F; nam cum A Gad EI sit
eb constat prima propositi pars & reliqua similiter ; nam si A N, E O, & B R lineae supponantur semidiametrii erunt per 3.-ipsae C, F, D, semiperipheriae. Constat ergo Propositum.
36쪽
In tribus Circulis , quorum semidiametri continuae proportionales,' quod fit ex Semidiametro primi in Semiperipheria postremi, aequale est circulo medio. Idemque dicendum, si in primo, & postremo integrae Diametri, & integrae Peripheriae lineae ipsae appellentur.
NAmque cum ρορ ianum, in eadem destriptione, tam rectangulum A N D. quam rectangulum B R C aequale sit re tangulo Eo F, quod sciliuet fit ex Eo semidiametro in suam semiperipneriam F, quodqueter aequale est ipsi circulo, cuius semidiameter EO, iam&ipsi circatus cuius semidiameter E O ualis erit tam rectangulo AN D, quam rectangulo BR C; quorum vide licet utrumuis fit ex semidiametro alterius extremorum in semiperipheriam reliquis siuE mauis ex diametro tota in peripheriamtotam,iuxta suppositionem. Constat ergo id, quod proponitur demonstrandum. Expletum Thermis hora noctis prima diei Iouis in extremo emisptiuiri qui filii mensis Februarii tredecimus VIII. Ind. M Dia
37쪽
Triangulum rectilineum descriptum super chordam portionis circulatas semicirculo non maioris,eandem cum portione celsitudinem habens,maius est,qualia dimidium portionis. SP circuli ABG, cuius centrum D, portio A B G non maior semicirculo; sectachper 29. 3. perpheria ABG bifariam in puncto Bi ductaque chorda AG, connexisque A B, BG. aio quod triangulum ABG maius est, quam dimidium portionis ABG. ducatur semidiameter DB secatas Α G apud E, & per signum B agaturis si D Bperpendicularis ZB H, quaeper II. 3. ea det extra circulum,eritq; ipsi A G parallelus fler 28. t. quando recti sunt anguli apud E, quoniam scilicet D Bbifariam secat arcum A BG, dc ideo chordam . A G: Vnde per 3. 3. eandem ad angulos secabitrzctos. Itaque compleatur rectangulum A Z H G, eruntq; recte A Z. , H extra circulum i quoniam portio A BG non est maior semicirculo. Maius ergo Crit rc et.ingulum A si portione A n G, sed pcr t. t. triangulum ABG dimidium est rectanguli A H. ergo triangulum A B G maius quam dimidium portionis ABG, quod est proposicum.
Si l puncto extra circuli im daae lineae ducantur, circulum contingentes de figura sub contingentibus, S assi impio arcu comprehensa plus quam dimidium abscindet recta, quae circulum contingit apud punctum medium arcus assia mpti.
Α P cto E extra circulum A BG, ducantur duae metie E A, E G. contingentes Ix circulum in punctis A, G, ct bifariam periphcria A B G in puncto B, aoatur per signum B recta Z B H circulum contingens, dc apud Z, H occurrens ipsis Assi. E Gi aio quod triangulum Z E id maius est . qua dimidium figurae E A B G. contentae scilicet subi cis E A,EG, periplieri δ A B G.coaa. ctaatur enim rectet ri B, B E,BG.
38쪽
cumeriptum, vel aequilaterum circulo inscriptum aequale est tria .r a num lateram, quae circa: ctum angitam
aequale astrai pqrmdicularium praedictamna, reliquum vero aequa te perimetro rectilinei E to rectilinea figurii A BGD Hilia sua a quodam
interno mcto, ut pote Z, ad latera singulata
perpendicula.' res sint aeqvxolle ducatur autem ad un*m lateru:utpote
39쪽
AZH, sitq; triangulm T K L rectivn. qui apud Langulum MD sexuis latus et g iuuin sit perpendidulari Zii, latus vero Κ L aequum sis pepimetro agurae ABGaio, quod aequale est polygonium A B Oariaosus' T Κ L coqflectanturienim anguli figurae A, B, G cum punisto Ζ, &diuidatur KL in D uom tot, quot sunt latera figurae A BG singulo singulis lateribu a ius, quando tot κινnnN later,
guloru A Z B. Κ T. Ni bases im sunt aequales, &celsitudinesaquales; Ideo fler i. s. aequalia sum inuicem triangu j AZR,TΚΝl, similiter. & ipla triangula BZG, MTN inuicem k ΔJpsa GED. NT X inuicem, & ipsa D ZE. XTO inuicem, &ipsa EL A, OTLinuicem aequalia erunt. Qityre totum rectiliceum Ay c toθr mio a Fum est, quod est propositum. Et a sulendum, quod figurμ circulo circumscripta perpmdicula es. nil circuli ad Iatera figurae sunt aequales, namque rectae a cόntro ad pumMirps Raaisi egredientes sunt per i 7. 3. ipsis lateribu pypendi ul/xesciquit per dissi circuli nant aequales. Item in figura aequilaterΙ circum inscripta perpendiculares a centro ad la
Circulus aequalis est triingulo rectanguis, cuius quo hi fid8 exesturo
' i. A - aeqiralis est casum quae cireum rectium anguluis lG: Pperimeter autem basi otii, orrum mori blAio quod aequalis est circulus ABG triangulo C E F rsit enim, si possibi est, .ma inicirculus trigono in spatio quopiam, utpote Z, & inscribatur circulo νεν. .dratum A B G, sectisq; peripheri bifariam isseribatur octogon A
'Vramam L aetas, triangulum,HE. man lia dimidium posuimus circ Amo Κα&umiliter reliqua triangula reliquis ortioni f. hoc autem totiessapi donec per I. Io. relictae portiones sint minus quam statium Z. itaque inscriptiun polyg lnium AKB maius erit trigo CEF. -- - to di i . Capiatur una perpendkula tum a centriamstuli N ad latera polygomj A lcvt p i
40쪽
crigono rectangulo, cultu laterum . quae circa rectum, alterum, Ipsi NX, relia quum perimetropoly ij ΑΚΒ est aequale, sed tale trigonuminus trigono CERquandoquidem trigoni C E F latera, quae circa rectum, maiora sunt, vepote quorum altera
semidiametro N K circuli A BG, quae maior est perpendiculari NM reliquum perimetro circuli, qui maior perimetro polygonii, aequali est: ergo polygonium A K B minus erit trig no C E F, fuit aute ma ius quod est impossibile.
A B G maior trigono C E F. st nune ,s possibile est . minor BG triangulo CE F in spatio quovis, ut paea Z, dc circumscribatur circu- Io quadratuiti OH euiolatera contingant citculum apud puncta A, G, . t in Deria ABbitariam in signow similiter de resiquae; asatur per X circuismeonti s PKRla bos quadrati circumscripti occurrens ama p. st, &simi. tiit in reminis peripherijs B G, G D, D A, eritq; 'ri. M i. s. triangulum POR ma. ius quam dimidium Murae A O B quae videlicet sub rectis A O, O B .& arcu A X B comprehenditur, similiter reliqua triangula apud ingulasquadrati OH maior , quam dimidia reliqiurum figurarum, non ergo cetabo ab huiusmodi peripheriarumbi adorione, duo pre 3. ro. figurae.quaea, ei mul μ ηἰ rijs, de lateribus circu- scripti pSaonii comprehenduntur. re ni t ' pi nus spatium spatio L itaquGcircumscriptum polrgonium APRB erit minus trigdno C EF. eotin tue go
centrum N eum uno punctorum, in quibus latera polygonii A P Κ contingunt circulum, ut nute cum puncto Κ,eritqster pia demem polygonium A P K aequum trigonori cuius later bini ouae cirea rectum, alterum ipsi NK, resi quum perimet mimisebnii A PK est aequalestiuiusmodi ergo trigosum maius est trigono CERquam coquidem trigoni C E F laterum,quae circum rectum. vnimi ipsi N K est aequale, reliquum vero perimetro circuli,qui minor est pei imetro poligonii A P K: quare polimnium A P K maius e st trigono C E R*ii autem minus quod est absurdum. Non est igitur circulus A B G minor trigono C E F, filii ostensiam quod nec maior. aequalis ergo erit circulus A BG trigono C EF, quod est propositum, Hinc manifestum est, quod circulus aequalis est rectangulo, quod sub semidiam tro circuli, de linea aequali, dimidio peripheriae comprine uur.
MAnifestum e re quod ex ductu semidiametrian dimidium peripheriae pro/
circulorum diametri sunt peripheriis propestimiles
Sumis duo cireult AB, CD, quorum centra E. T. Italidiametri EB, et D , M. quod sicut se iamcier E B ad semidiametrum Zo sie peripheria AB adpetiapberiam