Io. Bapt. Portae Neapolitani Pneumaticorum libri tres. Quibus accesserunt curuilineorum elementorum libri duo

11쪽

h IO. BAPTISTAE PORTAE

Quoniam Iinea A B bifariam diuisa est in E, quadratu ABCD quadrupi iam est ipsius Λ E, & sic in quatuor quadrata aequalia Α I, E S, F H, I D, & haec a quatuor diagoniis bifariam diuita sunt, E F, F H, H G, G E. quatuor igitur triangula extrinsecab A E , E B G , G D H,hCF, quatuor interioribus aequalia sunt, ergo totum quadratum ABCD, quadrati g F H G du plum erit,eaden.qi ratione quadratum EF HG, ipsius o P QI, dupJum erit, N. primum ABCD huius quadruplum.

Annitemur etia per qua drata dupla ambientia ideri mari, & absoluer . Esto datus circulus ABCD, cui quadratum Λ B C D. circu- struimus: mox ab oppositis

angulisducto diagonio AD& ἱ puncto C superne Ue sus A signa lineam eiusdem longitudinis ipsius AD,&sit C E, & ex parte inferiori sit C F, mox trahe diagonium E F, & iterum S iterum quanta E F figura in linea C G, & inferne linea C FI, S id toties repetendum quoad satis videbitur. Sic quadratum exca H, duplum est quadrati E F, &quadratum EF duplum A D, S A D duplum A C. Sed quod exprimirfigura, dem 5stremus. Quoniam quadratum A D est aequato quadratis A C, CD, & A C, C D latera aequalia sunt , ergo quadratum ex AD, duplum est quadrati AC, sed A D est aequale E C, ergo quadratu E C est duplum A C. Sed quia E F est aequale duobus quadratis E C, C F, S E C, C F aequalia sunt, ergo quadratum ex E F duplum est E C. Eodem modo G H,duplum ipsius A C. Et si idem

variis modis ame qui posset, tanquam suffecturos reliquos censuimus missos facere.

Libet

12쪽

Libet non p termittere alium quadrupladi modu. Sit circulus CB, que intendimus quadruplare , circa quem aequilaterum triangulum , per secundam te tit destrinamus,& circa illud altu circulum,per quintam eiusdem, quem quadruplum pronunciamus.

Quonia D Gest tripla ipsus G A, ex ra. I 3. Si qua dratum DG erit duodecim

nam quadratum G D quadruplu est G B,suae dimidiae: sed quadratum A G est aequale quadratis G B, B A, igitur si quadratum G Α erit talium 4, & quadratum G B, talium 3, erit qua-a dratum B A talium I. Sed Α E erit 4, quoniam est aequalis ΑG, a & quando quadratum tolli est, & sui pars I. erit linea P medium diuisa, ergo A B ipsius A E dimidium erit, ergo tota AD. ipsius E B quadrupla est. Si vero cireulu diuidere voluerimus, ' Poterimus conuersa uti operatione, & si facilia quidem sint,

quo tyrones iuvemus, apponere non pigebit.b sit

missae quadratum tantae quantitatis, quantae duplaremo B ci

13쪽

cireultam di inde dum fieri cupis, &sit ABCD, cuius medio fige punctum A, bper quo ambitiosa linea circumducatur, que omnia quadrati tangat Iadera, deinde manectae lineas. rectas a centro ad angulos duos A C, CD, R constitue triangulu ACD,

S aliud priori par triangulum constitue, cuius angulus F erit rectus, est igitur Α C D F secundum quadratum primi dimidium. In medio puncto huius diagonii C D, qui sit G, pone pedem circini, & reliquo vago describe circumferentia tangentem sui latera quadrati Α C D F, & hoc modo in infinitum poteris circulos dimidiare. Demonstratio ex superiori pendet. Datum circηIum triFicem, quin uin- , erseptuplicem

SIe dati circuli diameter A B,qu

volumus triplaro . ElongeturA B in C, & sit A B, aequalis AC. &fiat circulus ex diametro A C, & sit A B aequalis A D, qua; ire citculo Iocetur per primum .& ducatur DC, , dico circulum ex D C diametro,cim culi ex A B triplum esse. Cuius demonstratio pendet ex Ia' Euclidis. 13. libriAi vero quintuplare voluerimus. Sit data diameter A B circuli quintuplandi, elongetur quanta A B,& sit B C, circumducatur ei circulus Α D C, in quo pentaganum aequitate rum instribatur per undecim 4. & sit linea subtendes duobus Iateribus DC, pentagoni latus A C, dico quadratum

qoinrupi, esse. Demonstratione quaere ex secunda . Euclidis. At is modus, uniuersalior, & Commodior visus. Sit datus circulus A B dimetiente delcriptus, volo tergeminum reddere. Puasin igitur B, ipsius lineae An ad rectos angulos adiunga-

14쪽

tur DB,paris quaqtitatis. Mox trahatur Α D, dein ipsus lineae D A, tu puncto D alia adiugatur D C, ad reis ctos angulos, & usdem quantitatis A B, & ducatur C Α, & dimetiente C A sat circulus, qui Α B circuli tergen inus erim Quoniam potetia lineae A C, potentia linearum AD, DC sibi vendicat,& A Dipsas A B, B D, igitur AC valet tres circulos,ctatus iRest ΑΒ.Q-d si uintuplare, aut per alios impares numeros multipli-αem reddere Molvorimus: Addemus puncto C liacam alteram ad pares angulos quantitatis A B, mox trahemus lineam , cui A metamus ciuia aquantuatis A B, & Gu 2'ntupla in Possiimus etiam, si velimus,alio modo idem exquirere. Statuatur circulus ABCD septies multiplicandus, cui circum ducatur. quadratu, & latus eius prolungabimus, illudq; in octo

15쪽

partes diuidemus a cuius principium D, finis E, mox DE per medium diuidatur in F, positoq; pede Mircini in p, &μlio D F, circumducatur, quousq; semicir lum absoluat D C. , datus C B quadrati producatur ultra d in continuum, rectumq; , ad arcum D E,&vbireum contin i, illic scribe literam G, &ex C G fiat quadratum C G Η F, an quo circulus inscribatur, qui continebit septies ipsum B A. CD. Quonia C G est media proportionalis inter E C, CD, igitur per I 3. 6. vi E C, prima ad tertiam C D, ita C H quadratum secundae, ad B D quadratum tertiae, per xo. 6. Est autem EC per eonstructionem septupla ipsius C D, igitur qu dratum H C septuplum ipsius quadrati B D, quod probandum assumpsimus Datis diuersa quantitatis quamplurimis eirculis , num formare cuisu circuitur omnium capiat guantitates. ProbL 3. '.

16쪽

comprehendere quod ita propemodum faciendum existim mus: Esto enim circulidiameter A B, costituatur ad rectos angulos er B e, moxducatur linea ab M ad C,&haec dimetiens potest binos circulos AB, B C. Porro puncto, Α lineae A C recta linea erigantur ad'recto angulos,quae sit AD,& a pucto D trahatur linea Dc, & haec dimetiens est, capiens tres circulos ΑΒ, B C, C D. ipsi demum C D recta linea ad rectos erigatur D E, quarti circuli dimetiens.Trahaturq; ex E ad C linea E C, 1 haec est dimetiens potens quatuor circulos. Postremo& lianeae E C ad rectos iterum excitetur, quinti circuli E F, trali turq; perF C dimetiens, capiens iam cunctos circulos. Et hoc 'modo omites licet quotquot volueris compraehendero. -- monstratio habetur ex penultima primi libri Euclidis. Ex dato circula datum p rem subtrahere.

Si dati circuli volumus ter

tiam, vel quartam partem extrahere, hoc modo facito. Esto circulus Λ B C D, circa . eu describe quadratu ABCD, cuius abscinde partem tertia, ac transuersa linea conuenit a reliqmadistinguere stperneis . F E. Procurati igitur A C in G,& fiat C G aequalis C E, supra lineam A G dimidium rotu dilatis arcu excurrat, & linea D E C eousq; produceda erit, , quo circumserentiam in I ODRndat.Linea CΙ potest quantum parallelogrammam A C F E, se circulus I C diameter v t, tertium circuli Α Β C D. sie de quinta, & septima parte. Cuius demonstratio ex ultima secum di depencit.

17쪽

Datis duobus eireuus inaequalibua, a maiori minorem subducere, 'o' circarum dare reliquo aequatims Mis. ProbL s.

SVbducitur etiam circuris

minor a maiori.& circulas etiam formari potest ut vivia usq; differentiam capiat. Esto marit circulus ABD, volo ab eo circulu subducere, ac mox alium circulum sormare, qui lunulam A B D C, inter utruqὴ relictam capiat. Subducendo circulas Α C hqreat in fine diametri A B in A. Positoq; circiani pede in A, vagum ad circu- ferentiam traducito ubi ea incidit,ibi locetur D.Mox ex D acl B transuersa ducatur line dico lineam D Besse eius circuli dimetienteminita retiam ca-mientem inter A B, Ac disserentiam. Quoniam trianguli ADR.angulus D ad circumserentiam rectus est,subtensa A B potest. ut A D, D B , si igitur ex Α Β subducatur Α D circulus, rema oet alter D B, differentiam capiens utriusque. '. adiungatur linea UC, di sit B C, positoq; B centro, interuallis o AB,

18쪽

ELEMENTORUM CURVILIN. M

A R, facio semicirentum ADE 1 tum super C eriga per odist

cularem C D, quousq; tangatur circumferentia in puncto μει B D connecto, dico C Des quaesiti circuli diametru. Quo i niam Clangulus rectus, quadratu subtensae B D aequale est quadratis B C, CD, & quadratum BD est aequale Λ B,quia ex ce ima ergo quadratum C D, tam mmullest quadrato B D,qua tum quadratum B D.

dimetiens maioris circuli C B, & ab ea amputetur dimetiens minoris circuli C D, & linea B C tantundem extendatur ad Α, i vi puncto C facto centro, circumducatur semicirculus A N B, di a puncto D, ubi minor dimetiens maiorem abscindit , eriges per transuersam A B ad rectos D N, & ubi D N periseriam se-- Cat AN B, istic pone N, &haec linea erit dimetiens circuli inali ueriendi, qui disserentiam capiet inter maiorem, & minorem .i M cirr

19쪽

circulum. Ex linea B C describatur quadratiam peri S. I.& siC C E B F, ducaturq; diagonium B E, & per D punctum descendat parallelus ipsi B F, sitq; DG, seeabitq; diagonium in K. ecper Κ signum excitetur alter paralleius ad A B, &sie H MKL.& ex A ad H ducatur alter parallelus ipsi C M. Quoniam supplenientum C Κ, supplemento KF per. 3. g- est aequale, Udatur commune quadratum D L , crit C L aequale D F, sed quia A M est aequalis M B, quia A C, & C B sunt aequales, ergo A Mipsi D F est qualis,addatur gommune C Κ, erit totu Λ Κ equa te gnomoni M DI Eil quonia M D F estexcessus maioris quadrati C B E F super minore M K E G, & quadratum lineae D Nest aequale quadrangulo Α Κ,&ex consequenti gnomoni MBF, quae cst differentia utriusq; quadrati, ergo D N circulus est dis.

ferentia duorum inaequalium circulorum. Quod crat demoα- strandum. .

SI τ amplius qualem quis c

fice

ficere velit circulus ADER, sintq; pro arbitrio bini circuli

AB, C D, quorum areae totam non contineant continentis amplitudinem, & ij, vel in seipsos flexi, vel mutuo intercisi, ut in exemplo:Volo constringi circulum, qui reliquum spatium contineat, scilicet interceptum vacuum. Ex tribus AD, DC, BRfiat triangulum AC D,quod o tutum erit , producaturque alterutrius minoris circulatus,videlicet D C, cousq; sit productionis meta, quousq; a trianguli supercilio, quod praedictae lineae incumbit, linea ad perpe diculum descendat, sitq; A G. His perfectis: truetur parallelogramum, cuius productius latus sit ex ias geminata. di sieMLs

20쪽

aonec aequetur Io, & sit I H, & extrema lineae ora terminetur Per circuitionis arcum M QI . elongeturque o I, inser turque coeunti lineae cum arcu Iitera infe ex linea IV, rat circuIus RS capiet iam dictam differentiam. Quonia angulus Α C D est obtusus, quadratum lineae A D, maioris circuti seperat quadrata D C, C A minorum circulorum perrectangulum compraehensum ex D C, & CG bis, per I 1. 2. Eucli. Et ex his constitutum rectangulum MI,-diameter ini capiet Compraehensam aream, ex qua circulus R S qiissitam differen- tiam continebit. C Daιis