장음표시 사용
31쪽
At si erit semicirculus maior ABC, capies duos semicirculos ΑED, E FC. ut docuimus in prima nostri,& sint intus contenti a maiori, dico arbitonem A B C F Α esse aequale duplato E FD, quod ex figura patet; nam quod replicatur in figura EF D, descit arbiton in sua figura AB CF.KΔLuz B Idem euemet. In figura G H I: nam duo semicircu
nostri, capiunt aream continentis circuli G N I, unde duplatum ML N est aequale arbitoni G HIL G. Potest etia euenire, ut arbiton mediu P-Ρ est squale duobus eaetrinsecis circuli partibus o P L; TR S, ex superi
ut arbiton YZ T. V R Y sit aequale duob' circuli extrinsecis parti bus A YXV SA. Si duo vel quamplures circuli in fine diametri flectus puncto ducatur linea eos secans, arcus sem inter Iesmiles erunt. Frop. 2P. .
S i R et duo circuli AB E, ADC se mutuo tangentes in fine
32쪽
diametri A, duc tur recta AD B2Cans arcus D C in G, & B E in F, diis co arcus DG,G BF, FE similes es.se. Quoniam duci anguli D A C, de D G C duobus an MIis B Α Ε,& BF Eaequales sunt, quod duobus rectis aequales sint, & oto communi angulo B A C, erunt reliqu1 D G C, B F E aequales,& proinde arcus B E, D C iunt sinules ex siurulium arcuum definitione, & sic de reliquis. Data circuli portione eam multiplicare.
SI et data circuli portio A B, quam voIo dupIare, & sit eius
circulus ABC, & sit semicirculus Α D E duplus dati, per primam nostri, & linea A B trahatur Iongius in D, & si voluerimus Quadruplare, sit circulus A FG quadruplus, & linea A D in F extendatur: dico portionem D A ipsius B A dupIam,di F Λ ipsius B A quadrupIam, cuius ratio patet ex anterIOLI.
33쪽
duabus parsionibus similibus imam similem facere, HIDM
ς τ dux inaequales irculi portiones p Q, Ο N, sed simi.
O les nam unaquaeq; est tertia circuli pars. Pῆrficiantur ci
bantur quadrata B G, E B, vel eorum diametri, di iungantur ad rectum angulum ΑΒ C. & secundum AB describatur quadratum δε in eo circulus M L I, & sit M tb latus aequi lateris tri-laguli. Portio M L, erit aequalis duobus ia dictis portionibus. V elli ex M L porta ne voluerimus portionem P Q subtrahere. erecto quadrato A C, ac supra A C semicirculo descripto, po- 'ur RIS uadrati ' ta& eius latus B A latus quadrati portionem similem continentis. Et sic possumus ex pluribus Hii: 'ςςrς re omnia illa de integro circulo re Datumsemicurvilineum trianguIum duplare, subducere, velὸ duo. . bussimilibus unum facere. Fr . S I T semicurvilineum triangulum D G E,quod volo dupla-
34쪽
re, ωsit circuli quarta pars F D E fiat etiacirculi dupli pars, & sit A G C, circa eam quar tam etiam quadrati parte circumscribo ABCF, dico triangulum semicurui lineam ABC G duplii esse D G E. Quia quadra tum A BC F duplum est D GF E,inscripta portio proportionalis erit,& sic subtrahere & ex multis unam facere poterimus
ei supradictis. E Vm modo triangulum D E F duplare poterimus quod est aequλὶς iam dictomam quadrati dimidiu B HAest aequale B A G, si dematur portio B ΙΑ, aequalis B C G, remanet tria gulum B A C aequale ΒΗΑ iam di . Vnde si voluerimus praedictium E D Fsemicurvilineum triangulum duplare duplato quadrante H AB G, protractoq; diametro B Α, circulus duplus ΒΙ Α, qui erit B C describatur B C, &erit triangulum ABC duplum tria
35쪽
SI eidem addideris, quod prius dempseris,quantitas aequa.
Si nota quantitas a nota subtrahatur, quod remanet norum erit. Triangulum semicurvilineum ex aqualibus iisdemq; cireumferentiis compositum quadrare. Prop. I.
STO triangulum quodpiam semicurvilineum A D BC E, aequalibus nimirum, iisdemq; circu- ferentiis A D B, Λ E C, & recta B C basi constitutum, volo illud quadrare. Ducatur linea AB, & Λ C aio aream trianguli semicurvilinei Λ D B
36쪽
C E esse aequalem triangulo rectilineo ΑΒ C. Quoniam circumferenistia ADB, est eode,& squalis AEC, portio ADB est aequalis portioni AEC, ablata ADB, repositaq; in AEC aequale remanet triangulum rectilineum ABC, semicurvilineo D primum axioma. Vel fiat triangulum aequale rectilineum ABC, & sit A F C, ex a a. I. Euclidis, ergo semicum ilineum triangulum . Α D B C E est aequale triangulo semicurvilineo Λ E C F, dempta communi portione AEC, remanet rectilineunta Λ F C , triangulo semicurvilineo aequale A DE CE.
stius erit, & portionis lineae neutiquam intactas circumferentias relinquent, sed per medium transibur, eadem operatione idem assequi poterimus. Sed quo res dilucidior euadet, rem exemplo copletemur. Esto triangulum AD B CE, &circumserentia A D B aequalis sit A E C, trahanturq; rectae lineae AB, AC, &secet AB circumferentiam A E C, aio rectilineum ABC aequale semicurui lineo ADBCE. Quoniam portio ADB, aequalis est AEC,
D dempta communi A E F remanet AD BF Ε aequalis A F C,apponatur uti iq; areola F B C, erit AB C rectilineum triangulum semicurvilineo triangulo propolito ADBCE aequale. Vel ad eadem praestandet , possiimus easdem circumferentias in plures rartes diuidere, nempe binas, ternas, q a-
37쪽
ternas, ut AC circumserentiam in ΛΒ, BC, & A E in ΛD, DE. Vnde exclusae partes AB, BC, in elusis AD, DE, erit area rectilinea ARCE DA, aequalis semicurvilineo ABC EDA. Triangulum semimruilineum ex variis circumferensiis cumpositum , quarum altera alterius dupla sit, quadrare.
curvilineu ABCDE, cuius circumferentia E D C sit circuli dupli ipsius ΑΒ C, sed EDC sic os ana pars circumferentiae sui circuli G ED C, circuli vero ABC quarta, aio triangulum semicur- uilineum Λn CDE rectilbneo inuestigari posse parem . . Remita moliemur. Completa circumserentia C E, & sit C EG, & coiugatur A C, mox pomtionem CEG, diuidatur per medium, & sit diuisionis linea E F. dico triangulum AF E Iemicurvilineo triangulo parem esse. Quoniam tota portio ABC, aequalis est dimidiae ECF. id propterea dempta ABC portione , &reposta E F C, semicurviline um Λ B C E abiit in
triangulum rectilineum Λ C F At si circulares lineae magis cohaerebunt, ut circumferentiarum bases introrsum se secent, eadem erit operatio, & demonstratio, ut in prima propositione Iroductis lineis portionis AC, & semiportionis E FC, triangulum rectilineu ' A E F C, semicurvilineo par erit. Quoniam spa-Uλipsa portionum Λ B di E F C aequalia sunt, ablata inter
38쪽
iacente portione D C,quod reliquum est ABCD, ipsi AD CF
aequale erit, addita viriq; areola A E D, erit totum triangulurectilineum Λ E F C, toti semicurvilineo ABCD E aequale, nam quanta pars ex demptione abiit , tanta ex reposii tione substituta est. Vel potest & transpositis lineis alio modo triangulum semicurvilineum costitui. Sit circumferentia dupli CD Eretro, C B Λ ante, tunc ex puncto C, super basim A E cadat ppendicularis C F& connectetur C A, di sic triangulum semicurvilineu A B C D E recti lineo FCΛparem iri. Ratio in superiori. At si, ut diximus, ex variis, & inaequalibus circumserentiis orbiculata triangula composita erunt, tunc mente concipiendum, si circulus duplus alteri sit, subdupli duae circumserentiae partes v ni dupli respondent, si quadrupli quatuor, & sic deinceps. Esto, verbigratia, circuli dupli circumstrentia E D C, & sit octaua suae circum se retiae pars, respondet duobus octauis subdupli circuli ABC. Diuidatur ambiens linea A B C hia, fariam in B, & trahatur Α B, B C, N E C, erunt duae A B, B C pori iones uni E C aequa-Ies: sic una E D C, duas illas Α B, B C absumet. Vnde si triangulum semicurvilineum.. duabus octauis circumstretiae partibus de-erescimus A B, B C: augemus Una E D C, S sic par pari rest
Potest & aliter euenire. Sit triangulum semicurui
Α DE semicirculus subdupli, docebimus quomodo
possis rectilineum triangulum aequale semicum ilineo facere. Trahatur ex puncto
39쪽
A per medium Α D E usque ad C. & linea D E: Erit triangulum semicurvilineum Α Β C D E aequale rectilineo D C E. Quoniaportio ABC est dupla ipsitus A D per a o. primi nostri, & huic nempe portioni AD, aequalis D E: dematur dimidia portio
A B C D, addatur O E compar, remaneatq; communis are
la D C E F utraq;. Sic enim rectilineum triangulum D C E aequale semicurui lineo ABCDE sic excessus unius alterius deis sectu rependetur. Sic & in aliis notis circumferentiis, quadruplis, quintuplis eodem methodo uti poteris.
emicuruilinea triangula ad verticem constituta, ex eisdem, e qualibus circumferen ι-s constituta, vel ex aqualibuo noιa quadrare. Prop. 3.
triangula ad vertice constituta ex eisdem , &aequaIibus circumferetiis fuerint, ductis a vertice ad bases rectis lineis , erunt recta gula circulosis aequalia. Si primam huius libri leges, non secus esse inuenies, quam diximus. Si acciderit,ut circumse rentiae eaedem ad verticem sint inaequales, ted in id conueniat oportet, ut dextra interior sinistrae exteriori aequalis sit. Sine
inaequalia triangula se inuicem decussantia B A E, A C D segmenta sint aequalia, ut B F Α, Λ Ι D, & E H Α, Α G C. Tuc pr tractis rectis B A, AD, Α Ε, Α C triangula.recti linea n Α E, Λ D C erunt circulosis aequalia: B F Α H E, A G C D I A. Quoniam segmetum B F A, aequale est AI D. Si B F Δ seorsum ex pelt imus,ac A ID sua vice complectemur: sic etiam reiicimus Α G C, reponimus E H A. At si fuerint duo semicurvilinea triangula B E A F D , && AC G IH costituta ad verticem A ex inaequalibus circumferentiis notis, qu arum D Λ C sit circulus duplus ipsius B A I.
40쪽
Trahatur duae lineae per pudiculares ex A ad CD ct sit A L , tu Α xl. ad B I, di binae aliae rectae BA, As, dico rectilinea triangula A L I, A B M simul lucta aequalia esse se inicurvili
neis BEAFD, CGAHs Quonia peristria D AC est circuli dupli quarta, . N B A I subduplus semicirculus, duae semiportiones A FDM, AG CL absumet duas portiones B E A, Λ Η Ι, demptis igitur B EA, A G C L, repositisq; A H I, AFDM rectilinea trianguIa B Λ M, L AI aequi-
ualebunt semicumitiistis iam dictis. curvilinea triangula ex eisdem ex aequalibus circumferentiis ,σ ex rari s noris. Prop. q.
triangulum ex tribus circuieretiis ABC, C D, D A, eiusdem cum
DC constitutum, qu .d quadrare intedimus, d co protractis aequalibus
subtensis Α B, B C, C in D Α, quadri laterum rectilineum ABCD esse aequale curvilineo ABCD. Quoniam demendo portiones A B, B C, addendoq; A D: D C, quae simul aequalia sunt, voti compos fies, nil aliud dicimus. - Poterimus alio modo id assequi. Protrahatur linearic, &hinas A E, E D, & lineas C F, F D, ut semiportio AED, sit aequalis ABG, & D EF, ipsi BGC, nam chiae portiones dimidiatae A D E, C D F, aequi ualent mi integrae ABC, una hac dempta, his additis, quod diximus eueniet.