장음표시 사용
21쪽
Dasu tribus circulis duos a maiori, qui duobus circulis anguRiον-,subducere, σ circulum dare reliquo spatio deficienti
ES et o A E B circulus, qui capiet duos circulos AC DB,
quorum uterq; concauitatem arcus capientis contingat, suisq; areis continentis aream excellant,vestigandus est circu- Ius, qui differentiam excellentis areae excipiat. Fiat triangu-
Ium ex tribus lineis AB, AC, DB, per a x. I. Eucl. & sit G F I, qui erit acutus: cadat ex apice F trianguli in substrata basem G Iorthogonaliter linea F H, &ubi eam abscindit, illie fige Iiteram H. Porro ex geminata base GI, & linea G H in se ductis, fiat paralleIogrammum Mo, & superior linea MI procur
22쪽
rat quousque sit aequalis I Ο, & sit P. mox partire interuallum MP per aequalia in D, &ex D ceutro describe semicirculum, e longeturq; linea O quousq; attingat arcum M P in χ& I Q di metiens erit futuri circuli differentiam capientis. Quoniam quadratum F I minus est F G, G I quadratis tantum,quantum rectangulum bis sumptum ex linea I S , GH per I 3. a EucIi. quod erit N I. & linea I uerit dime tiens continens aream NI, circulus igitur R S,ex linea I Q costitutus, differentiam capiet, quantam duo illi circuli aream suscipient circuli A E D.
circulum formare, qui arbiIonem capiat duorum eircularum abavero contentorum,qm duo circuIi aquales simi continenti. Probl. 8.
& sint duo circuli min res ΑΒ, BC, quorum arcus in diametro sese inuicem tangant in B, & ex alia parte co- cauitate maioris circuli A C. volo inuestigare dimetiente circuli, qui aream capiat arbitonis ABCD. Producatur linea ex mutuo circulorum contactu B, donec rotundationis
maioris circuit aream tetigerit B D, dico eam esse diametrum futuri circ qui arbitonis A B C D aream continet. Hanc cta structionem demostratione praesenti rectam sustulciemus. Quoniam linea AC secta est in puncto B, quadratu quod fit ex A C, aequale est quadratis, quae fiunt ex A B, B C, & parallelogrammo, quod bis fit ex C B, B A, ex imperio ψ. secundi Euclidis .Sed parallelogrammum ex C B, B A est aequale quadrato D B, circulus ergo ex D B, est aequale arbitoni A B C D. Quod quadratum ex D B aequale sit quadratis AB, B C. patet etiam ex II. 6. Eucl.Vel quoniam circulus ex DC aequalis est duobus circulis ex DB, BC, quia B est angui us rectus,& circulus ex D A, circulis ex A B, BD: ergo circulus ex B A est aequalis duobus circulis A B, B C, & duobus circulis ex D C,qui in eo continetur, arbiton igitur ex circulo D B constat. C a Con-
23쪽
Correlarium. Ex hoe prouenit correlarium , dato arbitone , posse illico dari circulum ei aequale, scilicet lineam erigendo ad circumfere tiam ex coniunctionis puncto. dato circulo alium in datam proportionem abscindere .
E Sr o datus circulus A B, volo aliss
construere, ut ad eum datam proportionem habeat. Sitq; data propor-t o C D ad E F, scilicet sesquialtera, iungratur angulo binae lineae, quarum una G H sit aequalis lineae CD, protedaturq; quousque HI sit aequalis E F, mox alteri lineae aequetur diameter A B, quae sit G L, iungaturq; H L, & GL extendatur, & a puncto I, lineae H L parallelus excitetur IM dico x Mdiametrum esse quaesiti Oirculi AO subsesquialteri,& erit quarta linea proportionalis inuenta. Quoniam proportio G H ad H I, est sicut G L ad L M ex ia. sexti Euclid. & G H ad H I, est sesquialtera ergo GL diameter ad A O diametrum sesquia,
tera est. Ex duobus in equa Iibus circulis duos aquales facere. Probl. II.
SI N x duo circuli in aequales AB, C D, volo hos duos circulos inaequales ad duos aequales reducere. A B, D C: coniun-
24쪽
G E, E F, dico duos circulos duarum dimetientum G E , E F, esse aequales duobus dimetientibus G H, H F, & proinde circuli , I, Quoniam angulus H est rectus, quia ad circumieren- tiam, ergo quadrata G H, H F sunt aequalia quadrato G F, &quadratis GE, E F etiam aequalia quadrato G F, & quae aequalia ni tertio, aequalia inter se, ergo circuli I, L sunt aequales AB, CD.
circulum formare, qM capiat arbitonem trium minorum circularum ab uno maiori contentorum, qui tres circuiι aquales sesdiametro continentis. Prop. 9.
ro circulus Α D cnins dimetiens AD tribus circul int-r D C, C B, B Α, postulamus circulum formare, MI arbitonem, vel interceptam aream a maioris
25쪽
te , & minorum convexitate contineat. Ex B D diametro circulus fiat B F D, di per superiorem propositione arbiton n F D Ccapiatur, mox lunulae A D E F B D, qualitas cognoscatur per octauam, aqua circulus A Bsubtraliatur Per Ionostram, & sic de
Si solidum cubum, vel parallelipedum auera parte longius oblique ex oppositis lateribus seceιur , semo altera parιe
G H, & secetur a plano BDEs, oblique ex oppositis cubi lateribus B D, C F, dico B D, E F esse altera parte longius. Quia D G, G F aequalis est. DF autem subiacens linea est aequalis duobus quadratis D G, GF, ergo longior B D, quae ipsi G D aequalis est. Ide dicendu de altera parte ΒΗ, Η Ε,quia B E maior est B H, H E igitur B D E. Faltera parte longior est. Idem quoque dicendum de solido parallelipedo altera parte Iongiori. Si Olindrus plano secetur per obliquum, eiusfectio onalis erit.
Sit cylindrus A B C D, di secetur recte Α G sectio Α G s
26쪽
circulus erit: si oblique se cetur, ut in I E H F, sectio sphaerois erit. Ex ea quae Serenus probauit in sitis cylindricis. ει ιntra solidum parallelipedum altera parte langius ylindrus inscribatur, tangens sui circuli basis latera eius quadrati, o parallelι- pedumsolidum oblique secetur, ea proportio erit cim culi quadrato, quam sphaerois figura ad suum altera parte longius. Prop. I . SI τ parallelipedum solidum altera parte longius ABCD E F, & sint cylindri in eo descripti,bases ABCD, EFGH, circuli in ea descripti Α Β C D, E F G H, & planum oblique secans illud sit C D E F, & sphaerois in eo descripta C D E F, dico sphaeroidem intra se descriptam eandem habere proporti nem ad suam figuram altera parte longiorem, quam circulus AB CD ad suum quadratum ABCD. Cuius demonstratione omittimus, nam ex his, quae Euclides in suorum elementorum D. N Archimedes in a i. propositione descripserunt, demo
27쪽
Data sthaeroide circuIum eiusdem area describere. Probi. I s.
A B C l , iubeo ci culum eiusde spatii. Cir ca datam sphaeroide quadrangulum circumstriabatur, ABCD, di latus Α B proIongetur usq; ad F, ut B F sit aequalis B D.& circa A F semicirculus describatur, elongeturq;B D, donec circumsereatiam feriat, & sit in puncto E, dico circuIum circumscrIptum circa B E diametria CO tinere aream sphaeroidis Α Β C D. Haec clara sunt ex demon-stsatione Archimedis libro de sphaeroidibus, &conoidibus, parte s- . sphaeroidem describendi modum mechanice,& Π tia commoditatis proponam ex Alberto Durerio . Describe quadrangulum In duplo, triplo. aut sesquialtero,&st in circulo lis pra R B, inferne C D, cuius latus C D diuide in puncto E per medium, ac posito uno circini pede in puncto E , interuallo E C, ducatur per superiorem partem usq; ad D, continget hic arcus lineam R B, deinde partire Iineam C o in octo aequales partes,& ex singulis diuisionibus protrahe sursum parallelas in nuper descriptum arcum. Dein fac iuxta quadrangulum A B C D adhuc alium quadrangulum aequalis altitudinis, sed longitudinis quantae volueris, cuius superior linea FH, inferna vero G I, & seca id quoque in octo partes aquales, veprius
28쪽
prius, postea producito ex singulis sectionibus sursum lineas parali elas.Dein ex singulis intersectionibus prioris arcus,quet Per octo lineas parallelas factae sunt, parallelas transuersales Per omnes perpendiculares longioris quadranguli, & per metiones illas longiorem parallelorum arcum produc linea a Cualem de puncto in punctum, incipiendo ab angulo G, & finiendo in I, ut videS. Datam sybueroidem duplare, νel quadruplare. ProbI. I 6.
SI τ duplandum quadrangulum E CIO, quod idem est aeduplanda sphaerois,quae intra illud circuscripta est,& qu drangulum erit simile, similiterq; positum: quemadmodum &sphaerois. Producatur latus quadranguli E C, usque ad A, & sit AEdupla ipsius EC, ac in ipsius AC medio D,l posito circini pede, D A interuallo, describatur circulus ABC, producaturq; IE usq; ad circumferentiam B,& erit E B latus unum rectanguli describendi. Rescindatur igitur ex C A linea C F, aequali E B, & ducatiar diameter CI, dein per F ducatur parallela ipsi EI, quousque occurrat diametro C I in G,& per G altera parallela ipsi F C producatur, quae sit G Η, compleaturq; parallelogrammum F Η erit igitur hoc parallelogrammum ipsi CΙ simile, similiterq; positum, & duplum. Quoniam A E, E B, E C sunt tres lineae proportionales ex I3. sexti,erit ut A ED pri-
29쪽
prima ad E C tertiam, ita parallelogrammu F Η ex E Fsecun . da nam C F sumpta est aequalis E n) ad parallelogrammu E Ο, supra tertiam E C, quod simile, similiterq; descriptum. Si circuli diameter bifariam fetetur, o ex una parte circiam fati
hic eris totiua pars quarta. Frop. II. RATrout s circulorum sequuntur rationes quadratoru eis circumscriptorum, vel inscriptorum, & quemadmodum si quadrati diameter diuidatur, quadratum ex una parte erit quarta pars totius ta & circulus. Exemplum. Latus AB, quadrati AD diuidatur bifariam in E, dico quadratum ex Λ Ε, quod est AF est AD quadrati pars quarta. Trahatur E P parallela ipsi A C, & int ipsi A B, & erunt quatuor parallelogramma rectangula,& si probari potest per ε. a. rationem reperies apud Platonem in Memnone. Socrates enim puerum hoc mOdo docet. Sit bipedalis Iinea Α Β, dico suum quadratum essequatuor pedu. A Qerit unius pedis, erunt duo quadrata Q F, F R. sit & altera pam CD duos pedes longa, unum alta C in runt enim duo quadrata C F, F D, tota igitur quatuor erit pedam. Sit ergo circulus OIL M, cubus diameter o N S, diuia datur bifaria in N, ex quantitate O N quatuor circuli inscri-'bantur, dico quatuor hos circulos toti aequales esse. Ratio exsuperiori pendet: nam & circuli se habent ad quadrata, ut Corrum diametri. circularum vacua metiri, quando maioν minores contineaι.Frop. I3.
SIT magnus circulus A E F D H G cuius diameter Α D d,
30쪽
uidatur in tres partes, & in eo ς - fiat tres circuli AB, BC, CD,
C supra duo alii, & duo infra II inscribantur: nam sex circuli in T. aequales intra unum inscribun-- a. M xVr ς vj. q. & ex praecedeti to
M tuS circulus noue circulos con
u t ebit: nam diameter trifarias diuisa est, sunt intus septe con I xonti, ergo omnia vacua duo et G ru'x circuli vinuuλ tertia Pars
circulo, capiet, αν D capiet nouem semIcarculos, 'fetinuum sex semicirculoru
qualis AIB, si substuleris P . . 'AECH BI, erit semicirculus AEC quatuor semIcirculorum qualis Α IB, demptis duabus AI B, ' erit arbiton duorum semicirculorum. Si quaerimus a em Λ F D G C E A erit ex iam dictis quatuor semicirc