장음표시 사용
251쪽
Datis numero terminorum, summa progressionis , o communi excessu, invenire maximum ct mi nimum terminum. 22 Numerus terminorum sit x, summa progressionis I,& communis excussus m. Maximum & minimum terminum ipsus progressionis invenire.
Summa progressionis dividatur per numerum termin rum x, sitque - αν. Numerus terminorum x unitate mul-
ctatus; scilicet a I, multiplicetur per communem excessumm, & factum m-m auferatur a quoto p, duplato , nempe
Cum enim summa progressionis Oriatur ex numero te minorum ducto in seminem summae ex extremis sa , si summa progressionis per numerum terminorum dividatur , quo-tas erit 1emissis summae extremorum b). Facta igitur hypothesi , ut sit - p, erit p semissis summae extremorum , a Ique adeo u eorundem summa. Rursus quoniam numerus terminorum unitate mulctatus, si per communem exces-
252쪽
sum multiplicetur, dat terminum maximum ipsius progressionis minimo imminutum a), erit maximus ter. minus progressionis imminutus minimo . amobrem si summae V extremorum subducatur πω-m, erit Z xm in duplum minimi; quatenus nempe summa' π ex maximo, &minino subtrahitur valor se , qui a maximo termino deficit valore termini minimi. Diviso ergo ae a m--m per Σ,
23 vrogressio Geometrica tam ascendens , quam destendens est series magnitudinum continuo inter se Geometrice Proportionalium. Ut si fuerit a. bmb. e m c. drad. e,, series magnitudinum a. b. e. d. e erit progresso Geometrica finita, ascendens quidem si termini continuo augeantur; desiendras vero, si continuo decrescant.
ΣΑ. Denominator 'progressoris Geometrica est exponens rationis, secundum quam termini sese consequantur. Ut si in progressio-
ne a. bc. d. e fuerit - α m, quantitas m erit denominator
ipsius progressionis a. b. c. d. e.
253쪽
ο tuor quicunque termini provessionis Geometrica , wrum extremi aequaliter distent a mediis , sunt Geometrice proportionales. 23 In progressione Geometrica a. b. e. d. e. f. g. b quatuor spectemur termini a, d, e, b, quorum duo extremi.b aequat, ter distent a mediis d, e . Dico, esse a. d V e. b.
dcc. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM. In omni preri e Geometrica prosistam duoram term norum extremorum adaquat productum duorum qu rumlibet mediorum , a quibus extremi' aqualiter bine inde distent.16 In progressione nimirum Geometrica a. b. e. d. e.f. g erit Q - Enimvero cum sit a. c ' e. g id), erit quoque
254쪽
In omni progressione Geometrica tres gulamque termini, quorum duo extremi aqualiter istent a medio, sunt continuo proportionales. 27 In progressione Geometrica a. b. c. d. e. f. g tres sumantur termini a, d, g, quorum duo extremi a, g aequaliter distent a medio d. Dico, esse a. d. g.
Coincidit eum demonstratione theorematis praecedentis. a d Etenim si denominator progressionis sit m, erit mε a , ac proinde a. d' d. g, sive - : d. g b . Itaque in omni &c. quod erat ostendendum. COROLLARIUM. In omni progresone Geometrica productum duorum γοα- liuet terminorum aequaliter hinc inde a medio distan. tium est aequale quadrato medii.
18 Videlicet in progressione a. b. c. d. e. f. r erit a G. Id enim ex eo sequitur, quod si et: a. d. g c . Τ Η Ε o R E M A UI. .
In ormi progresone Geometrica ascendente , qua ab unitate incipiat , tistius terminus as unitate ess quadratus io ceteri omnes unum intermittentes: quartusis unitate est cubus , ct ceteri omnes duos intermittentes.
255쪽
incipiat, videlicet I. a. b. c. d. e. f. g. b. m. Dico tertium besse quadratum, sicuti etiam ceteros omnes unum intermittentes, puta d, f, h. Quartum vero c esse cubum , quem ad modum etiam L m, quos inter duo termini reperiuntur.
Cum enim sit I. a. b, erit etiam a. I ta b. a ta . Est a b autem - zz a bὶ. Ergo erit quoque - π a M, atque adeo
aa zzb d). Similiter cum sit a. b za b. c, habebitur quoque λ
ut proinde progressioni I. a. b. c. d. e. f. g. b. m haec alia substitui possit I. a. a . a 3. a . a . a . a7. a . a'. Manifestum est autem, terminos a , a', a , a esse quadratos; cum exterminis a, a , a 3, a in se ductis consurgant; terminos veroa 3 , αε , a' esse cubos; cum fiant ex quadratis a , as , a
multiplicatis per suas radices a, a , a . Ergo termini quinque b, d, A b sunt quadrati; cubici vero termini G L m, ac proinde in omni progressione &c. quod erat ostendendum
In progisone Geometrica finita ut disserantia maximi termivi supra proxime minorem ad in iam terminum pro-. Xι- -κorem maximo , ita excessus maximι --pra minimum ad omnes simul reliquos temminos collective sumtos. 3o Esto progressio Geometrica descendens a. b. c. d. e. Di
256쪽
co,a-e, differentiam maximi termini a supra minimum e, cile ad summam reliquorum , ut est a - b, excelsus maximi a supra proxime minorem b, ad ipsum b, vide,
Multiplicatis namque extremis a - e, b, atque mediis be--d-e, a b inter se mutuo respectise, producta fiunt aequalia. Est cnima e N. bra ab eb, Zeb --c--d-e N a b zzzab-πι ad inae b-k-M--be sa). Constat autem, cise ae b), ad' is, & M lcὶ , ac proinde tam . M - bb, quam --ad c, nec non in a bd zo, 6c ideo ab ac-----ae b-be G zza-be, quod est etiam .productum extremorum α'e, b, ut patet. Ergo erit ore. ----e a b. b d . Itaque in omni progressione &c. quod erat oste dendum. COROLL. RIUM I In progressione Geometrica finita ut ipsius denominator unitate mulctatus ad unitatem, ita maximus ejusdem terminus mimmo imminutus ad omes reliquos eolistae sumus. 3i Ut si denominator progressionis Geometricae descendentis a. b. e. d. e fuerit m, erit a ' m - I. I.
Enimvero cum per hypothesim habeatur m, erit a. bta
257쪽
In prouessone dupla sinita excessus maximi termini supra misimum adaquat summam omnium terminorum imminutam maximo , in progregione tripla excelsus i is est duplus , in progressisne quadrupla est triplus summa omnium imminuta maximo termino , ct sic deinceps. 32 Ut si habeatur progressio descendens in ratione dupla a. b. e. d. e erit a e si merit in ratione tripla, differentia a se e erit dupla summae b-e-d-e: si in ratione quadrupla, excessus a e erit triplus summae --e, atque ita deinceps. Patet ex praecedenti. Cum enim in primo casu denominator progressionis sit x, in secundor,& in tertio , in primo erit a see. zz Σ - I. I, Inlecundo a e. b--c--eta 3 - I. I, & in tertio a - e. b-e --e I. I. Est autem Σ I I, 3 I I I. Ergo dic.
Si excessus maximi termini supra minimum in progresone Geometrica finita druidum per ipsius progressoris denominatorem unitate mulctatum, quotiens erit omnium summa maximo termino imminuta. -- 33 Esto progresso Geometrica descendens a. l. c. d. e, cu-
ius denominator sit m. Dico, esse μ
258쪽
excessus &c. quod erat ostendendum. COROLLARIUM LSumma omnium terminorum progressionis Geometricae frita imminuta maximo termino , ducta in illius denominatorem unitate mulctatum, sicit 'oductum aequale maximo Udem termino minimo diminuto. ΔΛ Nimirum iisdem positis, erit-κ m- I' a- e.
COROLLARIUM II. Si exesus maximi termini supra minimum in 'progresone Geometrica finita dividatur per summam omnium rem minorum maximo diminutam , quotus erit denominator ipsius progressimis unitate mulctatus.
259쪽
. In omni progressione Geometriea sinita ut duorum maximorum terminorum disserentιa ad maximum terminum , ita excessus maximi supra minimum ad onmium summam mulctatam minimo. 36 Esto progressio Geometrica descendens a. b. c. d. e. Di
37 Ut si denominator progressionis descendenti a. b. c. d. efuerit m, erit a- e. a-b-c m- I. m. Cum enim sit per
260쪽
ib . Est autem a - e. a - b. a e . Ergo erit quoque a - e. m- I. m d). OROD LARIUM II. In omni progressione Geometrica finita ut est ipsius denom nator ad se um unitate mussitatum , ita summa omnium terminorum minimo diminuta ad exesum maximi supra minimum. 38 Videlicet, iisdem positis, erit am---- d. a -e m. m- I. Etenim cum jam sit a - α --c--d m- I. m, erit etiam a- e . a etam. m I te .c OROLLARIUM III. Si summa omnium terminorum progressionis Geometrica fin tae, minimo termino diminuta, per illius denominatorem unitate mulctatum multiplicetur , o productum per eundem integrum dividatur , quotus erit maxιmus dem terminus mulctatus minιmo. a-b -e--ocm - I39 Nilnirum, iisdem positis, erit - - - -- a - e.