장음표시 사용
221쪽
2oa. Elementorum B D Fm, ta n, - 'ta p, erit - m. n. p. q. Enimvero
Si fuerint quotcunque magnitudines in eadem serie constituta, ratis pinna, ad ultimam erit eoue ita ex omnibus rationibus intermediis.
I 6 Sint plures magnitudines a, b, c, d, e,s in eadem serie constitutae. Dico, primam a esse ad ultimam f in ratione com- a b e d eposita ex omnibus rationibus intermediis - , -, - .
abede Productum - exprimit rationem compositam ex ratio.
tudinem f est composita ex rationibuS - , - , - , - , - . Si
222쪽
Si fuerint quotcunque magnitudines continuo inter se pranditionales , prima erit ad tertiam in rarione duplicata , au qaartam in ratione triplicata, ad quintam in ratione quadruplicata σc. prima ad secundam.
- 277 Ut si saerit Hi a. b. e. d. e. A ratio - erit dulicata ,
ratio - triplicata, ratio - quadruplicata dec. rationis -. Est
erit ad magnitudinem e in ratione duplicata , ad magnituditudinem d in ratione triplicata, ad magnitudinem e in rati ne quadruplicata ejusdem a ad secundam b M. COROLLARIUM II.
Si fuerint quotcunque magnitudines continuo inter se πο- portionales,. prima erit ad secundam In ratione subdu- πι -- plicata prima ad tertiam, subbiplicata prima ad quartam , subquadruplicata prima ad quin- .ram cte. oe se deinceps. I78. Patet ex praecedenti. Si namque ponatur a. b. GC c Σ d. e. I,
223쪽
d. e. s manifestum est, ex ratione ducta in seipsam emeia ab a
da b a d ationem - a . Ergo ratio - erit subduplicata rationis ,su e a b aerDiplicata rationis - , subquadruplicata rationis - , atque ita d edeinceps b .c OROLLARIUM III. si fuerint plures minitudines in duplisi seris em istat. ,
ordinatam proportionem habentes, ratio duarum extremaπum ex una Parte aqualis erit rationi duarum extremarum ex alia
IN Si nimirum ex una parte habeantur magnitudines A, A a BB, D, & ex alia totidem ' b, d, fueritque - , - π
, erit - α - , sive AE D. V a. d. Cum enim sit -
224쪽
c OROLLARIUM IV. si fuerint plures magnitu ibies in dup ici ferra constituta , quarum prima in una feris habe tu majorem rat.onem ad secundam . secunda ad tertiam cte. quam babeat in au ra serie prima ad secundam, seranda ad tertiam. σc. prima in priori serie majorem rationem habebit ad ult mam, quam prima in m fleriori serie ad ultimam.
serturbatam proportionem habentes , ratio duarum emtremarum ex una parte aqualis erit rationi da rum extremarum ex alia.
igi Videlicet si ex una parte fuerint tres magnitudins
225쪽
e OROLLARIUM VI. Si prima plurium magnitudinum in una serie mallorem habuerit xationem ad secundam , ct secunda ad tertiam , quam habeat in altera serie seeunda ad tertiam , σ prima ad secundam , ratio quoque prim ad tertiam in priori serie ma or erit ratione prima ad tertiam in serie posteriori. 182 Positis nempe tribus magnlaudinibus A, B, D ex una; parte, totidemque a, b, dex alia, quae sic la habeant,. ut sit A b B a A a ', erit quoque Demon
BD D db d s c H O L I O183 Ex hoc demum theoremate ostenditur method us aliata tradita d . reducendi frinionem fractionis M. fractionem primam. Pro intelligentia idcirco notandum est, fractionem uactionis ad fractionem primam reducere idem esse omnino, ac invenire, quot, oc quales particulas unitatis fractio ipsa secundae
226쪽
cunda adaequet, seu quamnam fractio secunda ad unitatem rationem habeat. Diximus autem, fractionem fractionis ad fractionem primam reduci, si numerator unius per numeratorem alterius, & denominator per denominatorem multiplicentur, & ex productis respective nova fractio constituatur;
ut si sit fractio fractionis,factum esse fractionem
primam, ad quam fractio se revocanda erat. Ostendendum ac bidcirco est, factum rationem exprimere fractionis secu n-a Mdae - ad unitatem. Itaque cum denominator b stactio nisb a csecundae - adaequet valorem fractionis primae ain ,
numerator a partem, vel partes designet hujus valoris, quas
ad stactionem primam - , ut numerator a ad denominato-d arem b; atque adeo fractio ipsa - erit exponens rationis, quam
a b ehabet fractio secunda ad primam - o. Similiter cum e b d
stactio prima - sit ad unitatem , ut numerator e ad denωd eminatorem d din, Dactio - crit exponens rationis ipsius frae dctioni. - ad unitatem e . Constat autem, positis tribus
d a e aquantitatibus - , - , I, primam - esse ad tertiam Iin ram
227쪽
tion. composita ex ratione primae - ad secundam - , &
ex ratione secundae ad tertiam I a , atque adeo in eadratione, cujus exponens sit factum ex exponente rationis, quam
habet prima ad secundam - , multiplicato per exponen-
ram rationis, quam habet secunda - ad tertiam I b . Ergo, da ccum exponens rationis primi termini - ad secundum - sit
- , ut modo vidimus, exponens rationis , quam habet scarid a Mctio secunda ad unitatem, erit factum adeoque &c.
Si fuerint quotcunque magnitudines continuo geometrice proportionales , quadratum prima erit ad quadratum fecunda , ut prima ad tertiam, cubus prima ad cubum secundae, ut prima ad quartam , quadrato quadratum prima ad qt aurato-quadratum fecunda , ut prima ad quintam , est sic deinceps.18 Esto a. b e. d. e. Dico, esse a . b a. e, a3. b3
228쪽
Ergo erit quoque - α - , - α seu . . ba e bt d D eb a. e., a3. t 3 π α d, ob et a. e d). Itaque si fuerint quotcunque magnitudines &c. quoel erat ostendendum. OROLLARIUM LMagnitudines quadrara smi in ratione duplicata , cubica in ratione triplicata, quadrat quadrata in ratione quadruplicata m. suarum radicum.
18s Videlicet ratio quadrati a ad quadratum D est duplicata , ratio cubi a3 ad cubum b3 est triplicata 6α. rationis ra-
dicis a ad radicem b. Ostensum est enim, rationem - essessi
plicatam, rationem - triplicatam rationis - e .
229쪽
F adster quadrata sunt in ratione subduplicata , radices e lacae in ratione subtriplicata , radices quadrat quadrata in ratione subquadruplicata G. sua rum potestatum.
86. Demonstravimus enim. , rationem - esse subduplica α ab tam rationis - , subtriplicatam rationis - , subquadruplicatamae drationis - a
c O R O L L A A. I U M IMPotestates e Udem Dadus, qua aquales sunt inter se , aqvHex: radices habent ; ct vicissim potestates ejusdem gradus, quis aquales radices habent, sunt aeqxales..187 si nimirum fuerit aambb, erit quoque ames; ωvicissim, si fuerit aeti, erit similiter Omilis. Etenim cum
230쪽
Gustates Dusdem gradus nis nitudinum proportionalium sunt inter se proportionales ; σ vicissim potestates e usdem gradus inter se proportionades habent radices itidem
188 Ut si merit a. btae. d, erat quoque M. istaec .dd, & vicissim si fuerit aa. bb taee. dd, erit similiter a . b tae. d. Quandoquidem cum sit a. stac. d, sicuti magnitudines quadratae M, M sunt in ratione duplicata radicum a, b a , erunt quoque in ratione duplicata radicum e , d .
Sunt autem etianv magnitudines quadratae ec, O in ratione duplicata radicum e , d. Ergo ratio duarum vi , is sinii-lis est rationi duarum te, G b , estque propterea aa. isee. dd c . Eodem ratiocinio ostendetur, esse a. btae. d, si fuerit, . bbtaee. G. Quandoquidem cum radices a, b snt in ratione subduplieata magnitudinum quadraticarum ua, bb d), erunt quoque in ratione subduplicata duarum te,dd. Sunt autem etiam duae e , d in rarione subduplicata duarum ec, G. Ergo ratio duarum a, b similis est rationi duorum e , d, atque adeo erit a. btac. d te . Eodem modoratiocinare de potestatibus altioris gradus. COROLLARIUM RTGestates e Udem gradus magnitudinum eontinuo proportionalium sunt tantinuo inter se proportionales; o vicissim ra&ces potestasum est dem gradus continuo proportionalium sunt itidem eontinuo inter se proportionales .