장음표시 사용
231쪽
De proportionalitate Arisbmetica , ω Ham
1m Proportionalitas Arithmetisa es excessuum, βυe disserenariarum aqualitas. Quatuor nempe magnitudines dicuntur Arith metice proportionales. cum excessus prima supra secundam excessum adaequat tertia supra quartam , aut excessus fecundae supra primam est illi aequalis, quo tertiam excedit quarta . Tres quoque magnitudines Arithmetice proportionales vocantur, cum diseferentia prima, o secunda est aequalis disserentia fecundae , ct Hientiae. Sic quatuor magnitudines a, b, e,d erunt Arithmetice proportionales, si facta hypCiliesi, ut sit a -b zz in ,& e -dtan, vel b -azax, & d - cta I, suerit m 'n , a Similiter tres a, b, c crunt Arithmetice proportionales, si posita a - bta d, b ctas, aut b - a 'r, & e - b ta p, fuerit ditas, r p. HYPOTHESIS I. I9I Ad indicanda proportionalitatem Arithmeticam qua, tuor magnitudinum a, b, c, d scribitur a - btae -d, vel b-azd-e. Alii tamen utuntur signo , scribuntqueb c. d.
232쪽
fecunda, ct tertiae magnitudinis eadem est cum disserentia prim ,σ fecundae, ae proinde etiam tertia, O quarta . Discreta vero tune habetur, eum disserentia fecundae, σ tertia eadem non est cum disserentia primae, σ secundae, atque adeo etiam tertia, quartae . Ut si fuerit a b a b -e 'tae - d, vel b- a Te - b a d c , quatuor magnitudines a, b, c , d erunt eontinuo Arithmeticu proportionales. At vero docrete tantum propo tionales, si fuerit dumtaxat a - - d, vel b - az d e.
193 atuor magnitudinum continuo Arithmetice pr in portionalium secunda, & tertia dicuntur dua mediae continoo proportionales. Trium quoque magnitudinum continuo Arithmetice proportionalium siccunda media proportionalis nunc patur.
r9- Proportionalitas continua Arithmetica indicatur, prinfigendo signum ipsis terminis proportionalibus: ad exprimendam scilicet proportionalitatem continuam Arithmeticam magnitudinum a, b, c, d, scribitur a. b. c. d.
Si fuerint quatuor magnitudines Arithmetice proportionales , summa extremarum erit aequalis fur a mediatrum. 193 Esto a --bzze - d. Dico, esse a --d c.
Cum enim sit per hypothesim a-bzet e -d, si utrique membro aequationis eadem magnitudo d adiiciatur, erit a b-d 'e -d--d sa). Est autem e -d--dtae, cum sit - d--dzzo. Ergo erit a- ἐγ-d , atque adeo a - bis d
233쪽
--b Te --b a , sive a d . Itaque s suerint &α quod erat ostendendum. c OROLLARIUM. Si fuerint tres magnitudines continiso Arisbmetice proportionalas, summa extremaraim erit dupla mediae.1 6 Videlicet si fuerit e, erit a. emas. Est enim et E a. b . c perinde ac a -bmb-c.
Si fuerint quatine magnitudines, ex quibus summa extrema mst aequalis Ia me mediarum, illa erunt Arithmetice proportionales. I97 Sint quatuor magnitudines a, b, e , d , ex quibus summa a --d extremarum sit aequalis summae mediarum. Dico, esse a b me-d.
Quandoquidem, cum si per hypothesim a--dπb--e , erit quoque a m d - bta. b. e-b, sive a d - btae s h . Quamobrem, si utrique membro hujus aequationis subducatur eadem quantitas d, erit a--d -b-d, sive a - b 'e- d c . Si fuerint ergo quatuor magnitudines &c. quod erat ostendendum.
234쪽
COROLLARIUM Si fuerint tres magnitudines, ex quibus summa extremarum sit aqualis duplo media, ilia erunt eontismisithmetice pro Nionaler 198 Si nimirum suerit a- Tet 2b, erit ΕΘ a. b. e. Hae enim iacta hypothesi, habetur a -bzzb--eca , sive
Datis duabus. magnitudinitus , mediam Arithmetice preHportionalem invenire. ris Inter duas σ, d mediam Mithmetice proportiona lem invenire Oporteat ia
b , ac proinde a. b. d la .. PROBLEMA II.
Datis duabus mamiud bus . tertiam . rubinetice promportionalem inmatre..χω Datis a, b, invenire oporteat tertiam: Aritti lice proportionalem.
235쪽
Resolutis . . - Duplo secundae magnitudinis b, nempe 2b , subducatur prima a. Residuum ab--a erit tertia proportionalis quaesita a
Datis tribus magnitudinibus , quarta- Arithmetice pro ditionalem invenire. Σox Datii tribus magnitudinibus a, b, c, quartam Arbthmetice proportionalem invenire
Fiat summa b-e ex secunda b, de tertia e , eique sum ducatur prima a. Residuum M c - a erit quarta proportio .nalis quaesita.
2G2 Tres magnitudines dicuntur harmonice proportionales , eam disserentia prime, oe fecunda eam balet proportionem ad disseremiam seeunda , O tertia , quam habet prima ad tertiam , soatuor smubter magnitudines harmonice proportionales vocari
236쪽
tur, cum disserentia prima σ secMda est ad disserentiam temtia o quarta, ut prima ad quartam. Sic ham ce proportionales erunt tres magnitudines a, b, c, si fuerit a - b. b- cma. e, vel b - a. c.-lima. c. Quatuor itidem magnitudines a, b, c, d erunt harmoaice proportionales, si fuerita -e - d a. d, vel b - a. d -cta a. d.
2o3 Tres magnitudines dicuntur e traharnmise proportionales, si disserentia prima e V seeunda fuerit ad disserentiam secunda σ tertia, ut tertia ad primam . Quatuoν itidem magnitudines sunt contraharmonice proportionales, eum disserentia prima O secundae em habet rctionem ad disserentiam tertiae σqηorta, quam habet illarMm quarta ad primam. Nimirum em- traharmonise proportionales erunt tres magnitudines a, b, e , si fuerit a b. D -ez c. a, vel b - a. c-b T e. a . in tuor quoque a, b, c, d erunt contraharmonice proportionales, si fuerit a- b. e-ata d. a, aut b - a. d - cz d. a.
si prima trium magnitudinum Arithmetice proportionalium mul-s ti uetur seorsim per secundam o tertiam, oe secunda in tertiam dueatur, tria huj modi producta erunt harmonice proportisnatia. χ Esto 'Ha. b. e. Ducta autem a primo in b, deinde in e , fiant producta ab , ae. Multiplicata quoque secunda b per tertiam e P fiat productum be. Dico, esse ab - μ.
Cum enim sit 'Ha. b. e, erit a- Ob sa atque adeos utrumque membrum hujus aequationis multiplicetur per
237쪽
eandem quantitatem ale, erit aabe abc zz 2bde ca); ac proinde rabe - babetabile - ea, tb . Est autem baia - eabc, live GH - acte productum extremarum ab - ac, bc , ficaabe --bale, sive aeab - beab productum mediarum ac - M, ab sc . Ergo erit ab ac. ac , b Tab. H d) . Itaque si prima trium magnitudinum &c. quod erat Ostendendum.
Datis duabus magnitudinibus, mediam hamonice proportionalem invenire. 2os Inter duas masnitudines a , b mediam harmonice proportionalem invenire oporteat . . ,
Multiplicatis inter se mutuo magnitudinibus datis a, b, duplum lacti ab , scilicet Σῶ, dividatur per illarum sum-
238쪽
LI' Dara duabus ninnitudinisus, terrum harmonice proponi nasim invenire. xos sint duae magnitudines a ,b. Invenire oporteat tertiam harmonice proportionalem.
Factum ab ex ductu magnitudinis a in masnitudinem bdividatur per M b, per duplum scilicet primae a tam, ab nutum secunda b. Qtratus - 'erit tertia harmonice pro
Datis tribus magnitudinibus , quartam barmonice proporti naum inruenire. 2σ7 Sint tres magnitudines a, b, e . Invenire oporteat quartam harmonice proportionalem. E e χ R
239쪽
Factum ac ex ductu primae a in tertiam e dividatur per M-b, videlicet per duplum primae a imminutum secun-
da b. Qiotus - - erit quarta harmonice proportiona-
240쪽
De progressionibus Arithmetica, & Ge metrica tam finita, quam infinita.
DE progresonibus eximia prorsus , & singularia tra
didit summus Geometra P. G orius a s. Vincentio, ut, Tacqueto teste, nonnisi spicas ex sua messe ceteris colligendas reliquerit. Nos pauca dumtaxat, praecipua tamen , quae ad illarum theoriam , & praximspectant, hoc in libro trademus & explicabimus.
I in genere est series plurium magnitudinam feram mI e dens pi opo tionem continua erescentium, vel durescentium. Si termini continuo augeantur, progressio dicitur ascendem, descendens vero, si continuo decrescant. Utraque similiterves finita est, vel infinita , prout nimirum earum termini numero finiti sunt, vel infiniti.
z Duo quicunque termini a, b progressionis a . b. e. de . f. g. b miualiter hinc inde distare dicuntur a duobus imiermediis d, e, cum tot sunt termini inter primum a , &seeundum d , quot inter tertium e , & quartum b. Duo similiter a , gin progressione a. b. e. d. e.fg dieuntur hinc inde aequaliter distare a medio d , si tot numerentur terminia primo a ad medium d, quot ab eodem medio dad tertium g. Win