장음표시 사용
241쪽
3 regis Arithmetiea est feries magnitudinum emtinuo Ar rametste proportionalium. Hujusmodi eli series magnitudiniim
. . a. Pin. , quemadmo dum etiam series magnitudinum a. a- m. a --Σm. a- m.
a --. a- m . Altera enim progressionem Arithmeticamasseelisenum g altera progressionem Arithmeticam desiendent exhibet. c OROLLARIUM T. 4 Quilibet terminus progressknis Arithmetica ascendentis estntinet primum , seu minimum , ct insuper toties communem exincessum, quor a primo inclusive ad ipsum exclusive termini numerantur . Sic terminus a--ψm progressionis a. a m .a--Σm.a- Mn. praeter primum a , quater complectitur communem excessum m, sicuti quatuor sunt terminia minimo a ineiasiis ad ipsum a m exclusis.c OROLLARIUM II. Hinc maximus terminus proiressimus Arithmetica finita cendentis toties continet eommunem excessum, praeter terminum minimum, quot in ipsa progre ne sunt termini, uno demto. COROLLARIUM III. 6 Differentia duorum quorumcunque terminorum in progressione Arithmetica toties eontinet conmunem excessum, quot termini ab illarum uno inclusive ad alterum exclutive numeraritur. Sic differentia 3m termini a--sm supra terminum a- 2m
242쪽
a--6m ter complectitur excessum m , sicuti tres sunt termini ab uno a--Σm incluseris ad a-- m exclusis.
In progressime Arithmetica quatuor quicunque termini, quoram duo extremi aequaliter distent a mediis, sunt Arithmetice proportionales.. In progressione Arithmetica a. a m. -2m. -ῖα avi . m. a -- m. --6m. a-7m . quatuor. spectentur termini a m ,- - , quorum duo extremi a--m , a W9m aequaliter distent a mediis a--w,a-6m. Dico, eos esse Arithmetice proportionales.
Est enim ob hypothesin a in m ain ym -' 3m a). Ergo erit a--. --ψm a-6m. a--pm tb . In omni igitur progressione &c. quod erat ostendendum. OROLLARII M. In omni progressione Arithmetica summa duorum quorumlibet terminorum adaequat summam aliorum duorum aquae in hine inde ab illis diantium. 8 In progressione Arithmetica a . b . c.. d. e. f. g erit a.' π - e, e . Cum enim sit a. b f. g erit a-Tta f. Similiter ex eo quod habeatur a . e ::: e. I, erit aurita e-e . Demum cum sit b . e e. f, erit quoque
243쪽
Tres quis que remini in progresone Arithmetica, qaorum duo extremi aqualiter distent a medio , sunt continuo Arithmetice proportionales.s In progressione Arithmetica a. a m. a --3m.a-w. a- m. a--6m. tres termini spectetur a-- ν, a inrum, a-Tm, Livorum duo extremi a-- , a--7 m aequaliter distent a medio με m. Dico, eos esse continuo Arithmetice proportionales,
Ea enim in hypothesi habetur a -----α - προ-a--m ' 3m ca . Igitur erit J- a . a-- . a-7m tb . Ergo tres quicunque dic. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM. In omni progressione Arithmetica summa duortim quoruml bet terminorum est dupla sibus , a quo duo ipsi termini aqualiter hine inde Mant.1ci Sic in progressione Arithmetica a . b . c. d. e. f. gerit a et 2d. Quandoquidem habetur per hypothesima. d. g c . Ergo erit a-et ad dὶ.
Summa progressonis Arithmetica adaquat productum , quod fit multiplicando summam ex maximo, o minimo termino per dimidium numeri terminorum totius progressionis. II Duo casus Pro demonstratione hujus theorematis db
244쪽
distinguendi sunt, alter scilicet, in quo numerus termino rum totius progressionis sit par, alter, in quo sit impar.cήius I. Esto progressio Arithmetica a. b . c. d. e. f, cujus sex sint termini. Dico, -κ3, seu 3a E,sactum ex multiplicatione summae a--s extremorum per 3 , dimidium scilicet numeri 6 terminorum totius progressionis, aequare ipsius
Cum enim sit a U----π- ca , erit Hoc autem aggregatum est summa tot us progressionis, ut est evidens. Ergo est sumim totius pringressionis .ci sus II. Modo numerus terminorum datae progressionis sit impar, esto nempe progressio a. b . c. d. e.f. g. Dico , summa totius progressionis aequare iactum ex summa a-ra extremorum Imultiplicata per 3 - , scilicet per dimidium numeri termi-
245쪽
summam totius progressionis. Ergo ctiam -- summam totius datae progressionis ae-
quabit a . Manifestum porro est , essea Ergo Nuabit summam datς progres-2 χsionis. Summa igitur progressionis &c. quod erat ostende
COROLLARIUM Lsi stimma ex maximo , ct minimo termino Arithmetica progressonis ducatur in numerum terminorum , productum, q- Κηρ esscitur, est duplum summa ratius progresonis.12 Ut si maximus terminus datae progressionis fuerit a , minimus p , & numerus terminorum x, erit a. pNx, sive ax--μ duplum summae totius progressionis. COROLLARIUM ILSi summa ex maximo, ct minimo termina Arithmetica μγgresonis ducatur in numerum temporum , σ prori ctum per binarium dividatur , quotus erit totius progre nis summa. ax Erit nempe ' - -- summa progressionis, cujus ma-
ximus terminus sit a, minimus p ,& numerus terminorum X. Patet ex praecedenti.
246쪽
COROL. LARIUM summa progressionis inithmetica adaquat productum, quod fit multiplicando numerum terminorum totius progrfsionis per semissem fumma extremorum. aist Videlicet iisdem positis, erit xκ suaama totius prin
gressionis. Est enim idem productum , quod essicitur, sive
OROLLARIUM IRsi numerus terminσrum Arithmetica progve sonu fuerit impar , productum ex ductu medii termini in numerum terminarum aquale erit summa ratias progresonis.
Nimirum si impar fuerit numerus x datae progrzssio nis, cujus maximus terminus sit a, minimus ν, & medius d, erit G summa totius progressi cmis . Cum enim tunc sita, a - md , erit quoque --κx dκx b . Factum
autem - adaestuat summam totius progxessionis se .
Ultimo terminorum, ct excessa datis, progressone Arithmeticam continuare. I6 Postremus terminus datae progressionis sit O , & com. munis excessus m. Progressionem ipsam continuare oporteat. F f 1 Re-
247쪽
Si progressio sit ascendens, communis excessus m adiiciatur postremo termino d , & fiat d-m , cui iterum adiicia,tur excessus ipla, & sic deinceps . Si vero progressio su
rit descendens, excessus m subducatur termino postremo d , tum ex residuo d-m idem excessus auferatur, atque ita deinceps. Habebitur in primo casu progressio ascendens d--m . d. 2m. d 3m &c. In secundo vero progressio descendens. d--2m. d m 6α.
Manifesta est ex ipsa natura progressionis Arithmeticae tam ascendentis, quam descendentis. COROLLARIUM. Si primus terminus progressionis Arithmeticae descendentis fuerit magnitudo fisita, progresso ipsa continuari nequit in infini--n per terminos positivos. II Communis namque excessus, qui continuo subtrahitur , aliquoties sumtus summam tandem constituit primo
Datis numero terminorum, excelsu , ct minimo termina progressionis , maximum ejusdem terminum invenire. 8 Numerus terminorum datae progressionis Arithmeticae sit x, communis excessus m, & minimus terminus p. Invenire oporteat terminum maximum. Re
248쪽
Numerus terminorum unitate mulctitus, scilicet x I , multiplicetur per communem excessum m , & producto ---m adiiciatur minimus terminus P. Erit mx-m-N maximus terminus quaesitus.
Datis maximo termino progressonis , numero terminorum , creommuni exesu, ιnvenire terminum minimum.
Is Maximus terminus datae progressionis Arithmeticet sita, numerus terminorum X, & communis excessus m. Imvenire terminum ejusdem minimum.
Numerus terminorum unitate mulctatus , scilicet a I, multiplicetur per communem excessum m , de productum xm-m subducatur maximo termino a 2 Erit a-a m n minimus terminus quaesitus.
Cum enim maximus Arithmeticae progressionis terminus toties, praeter terminum ejusdem minimum , communem excessum complectatur , quot in ipsa progressione num rantur termini, demto uno ta , si communis excessus multiplicetur per numerum terminorum unitate mulctatum, fiet productum, quod a maximo termino deficiet valore termi
249쪽
Datis. minero tem rim, maximo ct mirum termim, communem excessum iuvenire. Eo Numerus terminorum datae progressionis sit x, m. ximus terminus a & minimus p . Invenire communem excelsum.
Minisse terminus p auferatur a maximo a , & residuuma γ dividatur per numerum terminorum umtate mulct
tum, scilicet per x - Iia Erit excessus quaesit
Sicuti namque,. si numerus terminorum unitate mulctatum multiplicetur per communem excessum, fit maximus terminus minimo imminutus a , ita vicissim, si maximus progressionis terminus minimo imminutus dividatur per numerum terminorum unitate mulctatum, consectarium est, ut quotus ut communis excessus b) Igitur Sc.
Datis maximo ct minimo, termino pro vessionis .-sthmeticae , simulque numero terminorum, illius summam invenire. 2I Maximus terminus datae profrinionis sit a , minimus. numerus terminorum x. Totius progressionis summam invenire ἀ
250쪽
Summa extremorum multiplicetur per - dimidium
numeri terminorum. Factum erit summa quaesita.
Summa extremorum a-s multiplicetur per x integrum numerum terminorum, & productum a -- per binariam