장음표시 사용
141쪽
altera B c , quod fiet dum instatione uiciniori distantia 1 ter te et basim minor est altitudine rei, et tunc quidem secatur latus B c ec in statione distantiori , distantia inter te re hasim, maior est altitudine rei, & tunc secatur latus D c ,, in tali casu oportebit partes quas secat A E in una statione redigi ad numerum partium eiusdem stationis cum partibus quas secat in altera statione, id fiet dum per numerum parstium ,quas secat A E in distatiori statioe diuiserisiac o in se mutiti plica,qus facisunt 144oO OOstuc numer9 quotiens, erit numerus partium eiusdem rationis canumero partiss
statione secat A E ,harum partium eiusdem rationis differentia strua pro numero primo, pro secundo, tene nnmeriim mai6rem,earum partium,& pro tertiodistantiam inter ambas staticines,duc tertium per secundum,di diuide per primum,exibit di
dus est 1'Ao,tertius distantia stationum,di sitsecubiti. Mula
142쪽
ε seo secundunt interitu,& diuido per primis, eunt 3 'cushils,distantia A Fquesita. Demostratio, In distantiori secet laα trus D cIn N, Continuetur B c in occursum, cum A Gin M, B D N ad D A futA Bad B M, sed D Ain A B,facili44O OO Igitur hisdiuisis p D N,exibit B M notu. Iamycedet ratiocinatio, sicut in prscedente demostratione,*o B ad A A F, ut Μ B
Qubd praecedens proponit aliter inquirere.
DVm non potes tantum plani habere, ut tibi pro duabusitationib9 sufficiat. Fige hastam longitudinis io tres i2 cu G bitorum in plano, quo stas orthonosnaliter,cui applicabis gnomone tuti,
' primo in parte inal feriori deinde in P parte superiori, ita
ut latus D C sit uersus altitudine me stiedam, & oculus p lcum A in parte inferiori,5 uisa summitate rei per ambo foramina regulae, notabis partes quas rei gula abscindit in utracp appiscatione. Seceturin primo utrobiolatus D s uersiim. Notabis etiam spacium hastae, quod est inter loca D gnomonis in utram applicatione, & illud spacium sitiis hi numerus tertius. A uffer num eluer partium minore a maiore, residuum sit numers primus, secundus aut sit 12oo scilicet lat9B c , duc secundu in tertium, Si disride per primu, exibitdistanotia inter te basim rei. Exemplum,ptes qus in applicatioe inaferiori secantur: sunt Iocio, quae uero in superiori sunt 99o,
horum qifferentia est decem, numerus primus, secundus est,
143쪽
QT ADRATUM GEOMETRIc Valetr ro.Tertis distantia inter applicationes qua HesIMMeuhitos, Multiplica secundum interuti,divide per primu, exeunt 3so cubiti,distantia inter me et basim rei quisita. Demonstrastio,ila DD A A,ad A A P. Sicut D D Μ,ad P S.Item DA, ad A F . sicut D N , ad F G. Quare D M , ad P G.sicut D N, ad F G. Igitur residui ad residuum M N, ad F P. sicut D N , ad F G. Sed D N , ad F G, est sicut D Α , ad A F. qua re M N, ad F P. sicut D Α , ad A P. quod est intentu. Si aut in utram aps
plicatione secaretur latus B c rectum,
habebis ,3, uias. Prima, reducas mesreelas,ad partes lateris uersi, ec Moesdas,ut iam dieium est,& procedet demonstratio sua. Secunda uia,duc numeru Ptium unum, in numeru partiualterum,producstum constitue numes
rum secundum. Item due differentia partium,in uo o, 8c quod exit,constis illve Primum. Tertius sit distantia inaeter applicationes. Multiplica itam se eundum in tertium, diuide per primu,exit qussitum. Exem plum,ates sunt scio ει 'oo, distantia inter applieationes sit cubiti,quem constituam tertium,differetia partium est ioo,duco Loo per raoo, fiunt uo ooo numerus primus. Item so OP soo,faciunt 2I oo numerum secundum. Duco secundum Ptertium,divido per primu,exeunt. 35.cubiti, distantia inter mere basim rei qussita. Demonstratio,secentur in applicationib9 latera B c ,in superiori, partes resects sint B Q maiores, In infesriori sint B R minores. A R,secet D c,continuata. A G, quiσdem in N.A A. G sto in M.quia ex prscedenti demostrationem N ad D Α proportio est, sicut P F ad F A. Propterea ex RQ n A B,Pueniet L nsier' prim9. Ex in B,in R B, proueniat
secundus, 29o,dico I ad O proportione esse sicut P F,ad F Α .
144쪽
seu sicut AI N ad D A. Quia enim N Diad D Α est sicut A avid B R. Item, II D ad D A sicut A B ad B Q quare sequitur. Vt N D ad D AI, sit sicut Q B ad B R, AI N ad N D, sit sicut R Q ad QOB. Et cum proponio M N ad D A sit aggreae sata exduabus i cet M N. ad N D.& N D.ad D A. sed AI Nad N D . sit scut Rfad QI .ec N D. ad D A. sicut A B . ad 'B R. Erproportio I. ad O . sit composita ex eiusdem duabus, sequitur ut L. ad o, proportio sit sicut AI N. ad D Α. quare etiam scut P F . ad F A , quod est propositum. Tertia uia dis uide 12 o per ambos numeros partium diuisim, 8c minorem quotientem aufer a maiore, si residuum ita se habebit adun sicut spactu inter ambas applicationes se habet ad distantiam A F. Exemplum in priori casu, diuido raoo Per Soo, exeunt una duodecim diuido etiam per 'oo ueniunt una tredecim minorem a maiore demo,manet . Dico igitur 6 cubitos,sciliscet distantiam applicationu esse sextam parte A F, Est igitur quod querebatur. Nam quotiens a B. in B Α A. totiens A A P . siue Α F. est in P G . Et illud cognitum fiet diuidendo A A B. per in B. Item, quotiens R B . in B A .totiens A F. in F Q. quod quosp cognitum set, diuidendo Α Β .per R B. dumital scio quotiens A F .sit in P G. Item quotiens ipsiam fit F Smanifesta erit proponio, P F ad F A . quae querebatur. Sed ii in una applicationum secaretur latus rectum in alium risum, reducas si uoles Iatus rectum, ad genus alterius lateris, oc agas secundum doctrinam primam huius. Sed sine reductione sic, Partes lateris recti multiplica per iroo,ec proueniens tene Pro numero secundo. Item partes uersi in partes recti multiplicatae,ausserantur a I44o o oo,residuum sit numerus primus. Spacissaut9nter applicationes sit tertius, duc secundu in tertia, & dis uide Prim exibit distantia quaesita.Exemplu,partes rebi sint soa, partes uersaesiat Soc, dc spactu inter applicatoines sit ioαubiti,sci numerus primus,72oo oo se dus 1os o oo,spacin sto inter applicatioes sitio cubiti, duco secuduin tertiu, diuido
145쪽
- immonstratio: A E, secet D c, continnuatum in N, ex demonstratinepti,
ma huius propositionis patet, ' N, ad F P, esse licut D A. ad A F, di permustatim, H N, ad D Α,sicut P F, ad F A . Sed primus numerus sit L, secundus f L , sit ex o B. in D m ,et producto asblato a quadrato A B. Cum aute duracis o B ,in D N,εuenit quartum AB., eo Q A B ,st medio Ioeo proportionas iis,quare sequitur, ut L ,sit, multiplicastio O B. in N Μ. sed et 3,fit o multis plicatione B O ,in B A ,seu D A . Igitur quae est moportio N Μ, ad D A,seu P F,ad F Α,ea est L,ad S, quod est propositum. PROPOsITIO QUINTA.
Rei altae in plano sitae, oculo in plano eodem exime, altitudinem deprehendere. Dispone instrumentum in plano,quemadmodum in prsce denti propositione praeceptum est, & uide per foramina
pinularum summitatem res, ec nota ubi Regula A E , secat alseerum laterum, D c, aut B c. Nam si neutrum secat, sed secat angulum C, tunc altinido scilicet F G, est aequalis distantiae scilicet Α F, quae tibi cognita est: siue per mensuram P dum si accessibilis fit, aut iuxta doetris nam alicuius praecedentium, si non sit accessibilis, quare re altitudo nota fiet. Si autem secatur latus D c,runcdistanaetia A F, maior est altitudine F G. Ideo A F, multiplica P numere partia, quas secat A E,&diuide per raoo, et exibit altitudo F G,qussita.Exemplum: Numerus partiuscilicet D N
146쪽
12OO,PUenaut Io cubiti, autitudo FG, qvssita. Nam in ligura AD, ad DN,est sicut proportio A F ad F G . Sed si .ecatur Iatus B c,tunc distantia Α F, est minor altitudine, F G.Ideo multiplica A F,per numeru 1Zoo, et diuide per numeru parrium quas seca Α E,et exibit aliaudo F G,quaesita.Exen,
plum, Sit numerus partium so O,spacium, A F, sit 3oo. Multiplico 3O. per 3 o, 6c diuidoper soc, proueniunt εο o cubiti, ab ilitudo quae quaerebat. Nam in figura o Bad B A, proportio est scut Α F, ad F G. PROPOSITIO SEXTA.
Aliter 8c absin noticia distantiae inter te 8chasim, repotes Mutudinem talis rei sic. FAc duas stationes. Vt in tertia proposietione dieium est, et secet A E , in ambarhus stationibus,primo latus D c,Q uersiam inscribitur, in utra statione, nota numerupartium quas secat Α E , diuide laoo per utrumlnumerum, re quotienrem minorem ausserae per residuum diuide distantiam inter ambas statione. 8 .exit altitudo quaesita. Exe lum. In propinqui se , numerus partium lateris uersi fir σο, in altera sit aο diui
digerentia est 1ο, 2 h modistantiam viati ii quae sit seo
147쪽
. - QS AD RATVM GEOMETRYcV1 .: In qua propter similitudine triangulorum N D. totiens conti,netur in D A .quotiens G F. in F A. Ideo si diuidis D A. quod in instrumento nostro supputatum est Oo per N exit nua
merus ostendes quotiens G, sit in F A. Similiter O D. totiens est in D, Α Α, quotiens G F in F A A . ideo notus est numerus ostendens,quotiens G F . in F Α Α, sit. Ideo notum siet quotis cens G F, sit in Α Α, A, quare A A, A , diuisiam 2 hunc numera quories, exibit aItitudo F G ,quae querebatur. Vel sic age dum tegula A E, secat latus D c in utra statione,differentiam par lium in utra stationemultiplica in iacio, oc quod exit sit nuo merus primus. Item numerum partium unius stationis,mulatiplica in numerum partium alterius stationis,& quod exit, sienumerus secundus, per hunc multipIica spatium inter utras stationes,qproductum diuide per numera primum, & exibit altitudo rei quaesta. Vt in iamposito casu. Numerus partia in una statione sit so, in altera sit 4o,ec spaciuminter utra stationes sit so o cubiti, datarentia partium est 2o, quae ducta
in 12oo, facit 24o oo numerum primum. Item cso in A. fairciunt 24 o numerum secundum hunc multiplico in Fo cuσhitos,& diuido per 24 oz: ,exeunt 3 3 cubiti altitudo quaesita. Demonstratio. Sumatur prima figura, et continuetur A O, A N ad concursum, cum B c. continuata in P et tunc ex modo de ovili attonis secundae figurae tertiae propositi.nis , . ' Proportio
148쪽
Proportio Q P ad A A , A ,est sicut Q B ad A F scilicet Q B,ad A F,est et sicut A B ad F G, quare QP, ad A, A A, sicut B A ad F G, et permutatim Q P, ad B A, sicut A Α, A, ad F G. Sed in proposito, numerus premus se habet ad secimdum sicut m , ad B A quod sic ostendo Numerus primus sit L , qui prouenit ex N O,in A B ,secundus sit Μ, qui prouenit ex N D, in D O , dico L, ad Μ, proportionem elle, Vt Q , ad A B . Nam ex eo Q N D ad D A ,sit sicut A B ad B Q item o D , ad D A ,sicut Α B ad B P, Sequitur ut N D,ad D o, lit sicut P B ad B Q. Indeo N, ad N D,sicut QP ad P B. Proportio autem L ad Μ ,co Ponitur,ex duabus scilicet proportione O N, ad N D, & prosportione A B seu A D, ad D Oicilicet O N, ad N D, proporito est sicut QP ad B P. item A D, ad D O proportio est siciat P B
ad Α B,quare sequitur, Vt L, ad Μ, proportio sit sicut QI ad A B , quia est propositum. Deinde in utra statione A E secet
latus B c,quod rectum uocatur. Disserentia partium in utra statione sumatur pro primo numero, Pro secundo sumanatur IZoo,pro tertio uero sumatur distantia inter ambas statiois neq'scilicet A, A A . Ducatur secundu in territi,dc diuides prora ductum per primum Sc exibit altitudo quaesita. Exemplum in uiciniori statione, numerus partium lateris recti sit io oo in A A F, ut N E , ad A F, ergo
149쪽
QS A D R A T V Μ G E o M E T L 1. c V M . sicut N B, ad A F, sed N B, ad A F, est ut Α Β, ad F G, quare. N Ο, ad A, A Α, sicut A B , ad F G ,sed cu prima tria data sint, quartum cognitum fiet,qd est intentum . iterum alia uia dum Regula Ala, secat latus uersum, scilicet B c, diuiderio o per utruml numerum partium quas secat, di minorem quotientem duc in distatutamduarum stationum,& quod exit serua apdiuidendo. Item auffer minoremquotientem a maiore, & ro
sduum sit diuikr, per quem si diuidis diuidenta seruatil, exit
distantia inter statione uiciniorem,oc hasim rei,quam mullis plica per numerum quotientem maiorem, ec cxibit altitudo. quaesita. Demonstratio di exemplum patent in iam dicta gura, sint o B. 12 partes, B N, uero sinto, diuidendό raco Perra, ueniuntioo, est ergo A A, F ceracies in F G. Item distridendo oo 26o, ueniunt 2o,ergo A F. est ingeses in F G, distantia autem inter Α,& A A, scilicet duas stationes, sit ascubiti seu hrachia aut ulnae.. Cum itam cubiti & distantia A A , F, sint, esima pars F G , ipsa uigcsses sumpta, faciunt 3lo cubitos,&quantitate Α Α, F ,uigesies sumpta &id aequaahitur F si,sed et Α Α , F,cencies sumpra,aequalis est E G,igitur cubiti quantitaS A, A A, F,uigesiessumin aequabun tur quantitati A A, F, cenetes sumptae, dum ab aequilibus aesqualia demas, fiet ut 3ao cubiti aequales sint quantitati A A, Fod uagesies sumptae, diuidendo 3ao per Eo ueniunt A. igiturA A. F. est A cubitorum, quare F G. erit Aoo cubitorum
quod est propositum. Tantam in statione uiciniori secetur latus recitum, Θc in distantiori uersum, in hoc casu posses nim
meam Parrium lateris unius, reducere ad numerum partium
altorius, re fieret deinde opus, ut in iam dictis casibus ostem sum est. Tamen sine redusione sic facies, partes lateris uersi Mucin ιμ- ec Proueniensiarua pro numero secundo.
Item multi Uartea uersi lateris,si partes recti lateras, &τroductum aufinia44oo io oesiduum tua pro numerosimo, per numerum iacundum multiplica spinuminter amae
aasiationes, di pro tam diuide Asematum Fro primin
150쪽
numero, ecexibit altituado quaesita. Exemplum snumerus partium lateris recti in uicinios
1 ocio. In alatera sit numes rus partium lateris uersi, Noo, ducoso o per no o sunt toso ooo, seruo pro numero secundo. Item multiplico Io oo per se o, ueniunt 'OO OO, quae demo ab i44oo oo remanent s4o ooo, quae seruo pro primo numero. Distantia inter stationes sit so cubiti, duco 1oso oo O perso proueniut c Aso oo oo, diuido PFqoO QO, exeunt o altitudo quaesita . Demonstratio haec est: Repetas eur figura tertia secundae propositionis. In ea enim propter similitudinem triangulorum Μ B . ad A F. sicut A B. ad F G .
Sed di H B . ad A F. scut o M. ad N A .ut ibidem ostensum .habetur, quam O Μ . ad Α Α, A. sicut AB. ad FG. 8c Ο Μ. ad A B . sicut A. Α A. ad F G. Quod autem o M . ad A B . easdem sit proportio sicut numerus qui pro primo tenetur, ad Πω merum qui pro secundo. Ex hoc ellae, q, primus dc secundus, tales sunt aequemultiplices ad Μ Ο. et Α B. Nam ex D N. in m B. proueniunt 144o ovo, propterea Q Α Β . sit medio Ioa 'co proportionalis inter eas, quare dum ducis D N. in o B. 8c
Produ stum dempseris, ab i44oo oo, manebit id quod fit
ex D N. in Μ Ο. Item cum dueis D N . in i2oo, prouenit id
quod fit ex D N in AB. Sunt te tur hii duo numeri adin. uicem in eadem proportione, quae simi Μ O . 6c AB, quare clarum est propositum. Propositio