장음표시 사용
61쪽
metra Diuisio accidat nihilominus nostra hac Methodo essicietur. Hinc prorsus reiecta adparet sententiaPappi,& aliorum asserentiu Analogicam diuisionem Anguli Plani, ad Lineare spectasse Genusi&Trisectione ad Solida. Quod omnino falsum ipsa manifestat Constructio.
S I nouus Arcus circa AB describeretur Centro facto
interi is, neque in , aut in C, Angulus minueretur, vel augeretur AC B nihilominus ex eadem Hr, auferretur, tam ex nouo Arcu, quam ex AD , imperata Pars. Quare ante totius Anguli determinationem videtur Pars auferri posse imperata. Quod ad Paradoxi
P Raeceptis Arithmetices instructi, quovis Artificio Logistices; dum ad condendos Canones Sinuum se conferunt, Pretcisionem obtinere nequeunt, Asymmetria id prohibente, qua quidem Geometriae non ossicit Ideo Lineas exhibebunt deinceps Geometrae bene accuratas, Trisectione, Quintuve Sectione AEquale, nec ulterius necesse erit progredi. Quantum postea ad usum spectat, Arithmeticen Geometriae praestare libenter concedimus. Quod quidem hac etiam Methodo exequi licebit, ut aiebat Vieta, I. Ex Sectione Hypothetici Lateris, Media, ac Extrema Ratione, dabitur Perpendiculum Partium xviis.1. Et ex eo per Quintusectionis opus, Perpendiculum inuenietur Partium iij' xxxvj 3. Ex opere Trisectionis, habebitur Perpendiculum
62쪽
svppLEMENTI VIETAE, AC . Et hinc iterὰ Trisecandi, Perpendiculum Partium vj' xL 1. Deinde per Bisectionis opus , Perpendiculum Partium iis xx . 6. Ex Disserentia Perpendiculorum Partium xxxvj '., Partium iis. xx . dabitur Perpendiculum xvj ' . Et ex repetita inde Bisectione habebuntur Perpendicula pro Minutis Primis 3 . . . . Et si placet, ulterius ijsdem opportunis Effectionibus, ad inutiora progredi poteris: ostendisse suffciat, Geometrice, ad omnimodam Praecisionem Canonem extrui posse. Quod hactenus erat ignoratum.
PROBLEMA DECIMUM-SEPTIMUM. Duas Media inter Extremm Lineas in serie uatuor Proportionalium , Geometrice reperire. ANtiqui Sapientes ad hoc Problema referebant, meritb, illud Famosum de Cubi Duplicatione;
quod quidem a nemine hactenus Geometrice absol tum fuerat, quanquam per genera diuersa: Quae omnia. via legibus exorbitantia Facultatis, non admiserunt symceriores Geometrae Et nos simul cum Vietaeo Postulato reiecimus, ostensuri per germana Principia,&facu. te perfici posse , ut sequitur. sint itaque Extremae Dalceri , , Lineae, inter quas oporteat Medias inuenire in Analogia Continua. Ex Semisseri, tanquam Semidiametro, Circulus sit BCL, in quo posita BC, AEqualis, Minori ex possitae,in Duplicetur inici ita ut BD, Dupla sit BC. Deinde per
63쪽
Centrum ex Diuncto, ducaturi A E , cui a Puncto B, fiat Parallela BG. Vsque adhuc constructio Vietaei cuius est eadem Propositio .Supplementi Herigonius in Al-brae Supplemento Prop. P. etiam transfert illam ,&alij alibi, qui inconstructione bene se habent deinde Me chanice procedunt, cum in Aiuncto, fixam ponunt regulam, ut Pars eiusdem inter BG, CB, eductam, colligaturio AEqualis Semidiametro AB. Quae quidem Essebio ejicienda prorsus est. At nostra intra Geometricos consistit fines Nimirtim.
in Puncto B,perCentrum A,altera ducaturDiameter BAF, cui exin Puncto, AEquidistans sat EG, occurrens BC, in Puncto G. Postea exa, per G Punctum,altera agaturLinea FGH, conueiens cum CBeducta in Puncto quod conuenire sit necessu, facile probari potesta Et tandem cuPuncto, per Centrum Circuli A,agatur HAL,secans BC, in I, circulum in K Punctis. Dico qub HI, erit Equa-
64쪽
SvPPLEMENTI VIETAE, Clis semidiametro KA, quod Proportionales eruntii
Constructio itaque hς prorsus Eucsidea est,& Demostratio sic procedit. Ducatur BM,Parallela HL ,αὶ Puncto x altera x Parallela DA Deinde a Puncto P, adhuc poAEquidistans L. Facta hac prςparatione,Triangula iri sola sunt inter se, toti Triangulo AH AEquiangula, disimilia, ex vi Parallelarum, quod iacile uinci potest. Si verbiungatur KM, fiet .ssiquidistans DΗ, iterum Triangulum AKM, tribus illis iam dictis Simile fiet. Sed in Parallelogrammo DMΚP,Latera ex aduerse aequalia sunt paritervi in altero Parallelogrammo B MAEH. Igitur Latus tin, Equale evadit Lateri DP: utrumque enim Lateri xu aequale est. Et cum triaTriangula, RI,DIO,ΚMA, simis milia,Latera eorum erunt Homologa AEqualia, scilicet HB, D, M. Ergbωreliqua Homologa erunt squalia Latera, id est HI, Po,ΚA. Sed Κa est Semidiameter Cir
65쪽
CEOMETRIAE INsTAVRATIO culi. Ergo Hi ipsi Semidiametro KA, vel B AEqualis. Quare a Puncto A extra ducta est Line AH,&Pars eius HI, intercepta a duabus Lineis BG, H,AEquatur Semidiametro Et hoc Geometrice instauratum erat Demonis strandum: Quod Vieta Herigonius, S: alij per Postulatum, sue Mechanice deducebant. Et in sequentibus pro Complemento assumptae Propositionis, Authores illi secundum Geometriς Regulas procedunt,dicunturProportionalesesse continue KL, ΒΗ, ΚΗ, BC: quarum Extremae XL, BC, fuerant Datae, reliquiduet inuentς,4 quidem Geometrice BH, HK. Quoniam enim DA, BG, Parallelisunt constructie, ideo est Hi, ad AB Lita AI, ad DB Est autem HI, ad KL: sicut BC, ad BD, Simpli ad Duplum. Quare est ut KL, ad HB ita Ai,ad BC. Ipsi autem AI, addatur HI,&auferatur KA,quas squales esse Demostrauimus.Igitur a Puncto H,extra Circulum sumpto,sunt duae Recla ipsum secantes,&quod sub Exterioribus earumdem Partibus videlicet, B, HK, fit AEquale est ei Rectangulo quod fit sub Interioribus Partibus, L, de BC. Ergb Exteriores Partes permutatim accepi fiant continue Proportionales, nimirum KL, B, ΗΚ, BC. Datis igitur Duabus Extremis Lineis et , , Duossent Medi in Analogia Continua inuentet. Quod erat faciendum.
OADNOTATIO. A comprehensionem prςmise completam, neces.
sarium est Propositionem v Supplementi Vietet subnectere, quam non assumpsit in suo Algebret Supplemento Herigonius,& sti
66쪽
Silua Linea Recta a Puncto extra Circulum eductae ipse secent,quod autem sitsub Partibus Exterioribus eductarum , quale sit ei quod fit sub Aurioribus, Exteriores Tartes permutatim sumpta sunt
Proportionales continue inter Partes Intenores. SV A Centro descriptum Circulum secent duae Lineae Recta a Puncto B, una quidem in Punctis CD, altera in F, unde Exteriores Partes secantium sint BC, E. Qu9d autem fit sub BC, E, AEquale sit ei quod fit sub DC, E, Interioribus Partibus. Dico
inter DC, OE, Proportionales esse continue BC, BE, assumendo eas permutatim, ut videlicet Interiorem Partem primae secantis, Pars sequatur Exterior secantis secundae, vel Interiorem Partem secundae Pars Exterior primae, nempe esse, ut DC ad Baucitatri, ad BCQ ita BC, ad EF.
Quoniam enim id quod fit sub CD, MEF, squale est,ex Hypothesi, ei quod fit subicini E ideo est ut CD, ad BE:
67쪽
GEOMETRIAE INsTAvRATIO ita BC,ad EF vi per synaeresin, ut CD, ad Br ita BD, ad p. Sed ex ratione constructionis est BE ad BG sicut BD, ad B p. Ergb est ut CD, ad BE: ita BE, ad BC consequenter BC, ad EF. Quod erat Demonstrandum.
PROBLEMA DECIMUM OCTAVUM Cubum Duplicare aut in alia quatis Data Ratione
exhibere. DEnturDuq Extrem Lineae A,B, in Dupla Ratione,&ex praemissis Du Mediae in Analogia continua reperiantur C, D, cum ex Elementis habeatur, quae ratio Extremarum Quatuor Proportionalium in Geometrica
Analogia eadem est Solidi super Primam ad Simile Solidum super Secundam. Si igitur A, i, Extremae sint in Dupla, aut alia quacunque ratione etiam Cubus super Primam adcubum super Secundam fit in eadem rationeDupla,vel in alia Data Cubi namq,sint prorsus Similes Solidi. Igitur factum erit quod oportuit: si Extremae
68쪽
ς suppLEMENT, VIETAE Acin diuersa exponantur Ratione,pariter Solida super Primam ac Secundam in eademna et resultabunt.
PRoblema hoc illud est toties a multis decantatum, vel pro Glauci Sepulchro,vel pro Ara,Regis,aut Deliaci oraculi iussu Duplicandis Propositum ambo enim erant Figura: Cubicae, cilla eadem seruata nesciuerant Artifices Duplum exhibere: Geometria namque inuentio Duarum Mediarum petenda erat,in quidem Geometrice. Quod ante nostra haec pauca, a nemine praestitum fuerat. Hisce itaque expositis perfecimus ea,quae initio eramus polliciti, ut patet. Interim Vnum, vel alterum subnectemus Problema emendatum , deinceps qui nostro fruuntur otio, maiorem ad plura emendanda facilitatem
PROBLEMA DECIMUM NONUM. Dato Parallelogrammo Rectangulo ABCD s Extema Linea Gue oporteat ex Angulo A. Rectam ducere Lineam in oppositum Latus DC , Ut productae occumrens BC, Lxterna Portis EF stat aqualis G Datae. Est Pappi Libro iv.Collectionum, Propositione xxxj.DVcatur Diameter AC, Angulus CB,seceturTrifariam Linea C, ut pars Tertia fiat ACM44 a Puncto M ducatur MH, Equidistans AD, sue BC, in producta AD ,sumatur DK, Dat LineqQ AEqualis: Facto deindeCem tro D, interuallo G,Portio Circuli HK, scribatur occurrens
69쪽
Ggo 1 ETRI. INsT A RATIO. ει Lineae MA, in Puncto, , ab eodem ducatur FHN Paral lata Lateribus AB,DC, quam cum BC producta,conuenire manifestum est: concursus sit in Puncto,&iuncta p, secans DC in A. Dico quod EF, 2Equalis est c, essicit Problema. Compleatur Figura ABFN, cuius Diameter Ap,&AEqualis illi altera BN,Triangulam EF,DLH,sunt Equiangula: quod quidem ratione Parallelarum facile probabitur. At in Quadrilatero DraFH, Duo Latera DE, HF, AEqualia sunt sicut&in altero C FHL, Duo FH, CL. Igitur QDE, AEL, AEqualia erunt. Ideoque in ijsdemmet Triangulis EF LDH, Latera erunt omnia sibi inuicem respondentia, aequalia:&EF, ipsi C, Equalis fiet. Quod erat Demonstrandum
PRaemissa Demonstratio alijs medij posset institui: Ae
nos breuitati studentes omittimus. Caeterum Pulcherrimum hoc Problema per Solida, scilicet Conicas Sectiones, Pappus demonstrauit aded ut in D Puncto, Vertex Hy perboles describendae fieret, cuius Asympto ii AB: BC, Et per Σ ' Libri Secundi Apollonij, complementorum L, CF, probat aequalitatem. At vere in Plano
70쪽
conceduntur Nostra autem instructio omnem rejiciescrupulum, ut patet ex hac Propositione, Vietaei Postulati Geometrica ostendetur Effectio, ut sequitur.
PROPOSITIO VIGESIMA. QUARTA. l
PROBLEM VIGESIMUM. Datis Duabus Lineis Rentis Angulum quemcunque facientibus, s posivione Puncto extra, Data etiam Linea Magnitudinepsibili, hancinterDatas L
neas a Tuncto Geometrice aptare. SInt Lineae ABG AC, Angulum BAC efficientes, Pu ctum extra , positione a quo ducenda Linea sit, cuius Pars inter illas sic aptari opus sit, ut opponens Angulo AC, Pars Equetur Datae Lineae C. Ducantur a puncto D, Parallelae DB, DE, ipsis AC, AB: ducatur etiam DA. Et Angulus D AB, diuidatur Trifariam, ut supra abunde Demonstratum est. Et Pars Te tia